1、第10講7循環(huán)群（Cyclicgroups）本講的教學(xué)目的和要求：研究一個(gè)對(duì)象可粗略地分為兩種方法：一種方法是研究此對(duì)象的內(nèi)部關(guān)系，另一種是把此對(duì)象放在其它對(duì)象的相互聯(lián)系中去研究。當(dāng)我們對(duì)一個(gè)群“孤立地”去研究時(shí)，掌握這個(gè)群的一個(gè)好的生成元（生成元集）常是非常有幫助的，循環(huán)群就是由一個(gè)生成元生成的一種特殊的群。循環(huán)群是所有群中最簡(jiǎn)單的一種群。它的結(jié)構(gòu)可以完全刻劃清楚的。本講中，要求我們了解這類群的特點(diǎn)，從本質(zhì)上領(lǐng)會(huì)“循環(huán)群已經(jīng)完全弄清楚了”的含義。并且要求1、循環(huán)群的階與生成元的階的關(guān)系2、兩類循環(huán)群的本質(zhì)區(qū)別和它們各自的同構(gòu)象.3、循環(huán)群中元素之間的聯(lián)系和性質(zhì)。本講的重點(diǎn)和難點(diǎn)：循環(huán)群的結(jié)構(gòu)

2、定理是本講中的重點(diǎn)。而難點(diǎn)是循環(huán)群的生成元個(gè)數(shù)（誰有資格作為生成元）和循環(huán)群的子群的性質(zhì)（這個(gè)問題將放到下一講中去討論）和子群的生成元問題。本講的教法及教具：仍利用投影儀和展示臺(tái)進(jìn)行課堂教學(xué)。本講的思考題：蘊(yùn)含在教學(xué)活動(dòng)中。循環(huán)群的概念例1整數(shù)加群Zn|n2,3,2,1,0,1,2,3,中，每個(gè)元素都是1的倍數(shù)（因?yàn)榇巳菏羌臃ㄟ\(yùn)算，所以用“倍數(shù)”這個(gè)詞）事實(shí)上，0是1的零倍：001；正數(shù)m是1的m的倍：mml,負(fù)數(shù)m是1的m倍:m(m)1.例2模n剩余類加群乙0,1,2,n1.中的運(yùn)算是“鐘表加法”，易知Zn中每個(gè)元素m都是1的倍數(shù):m111m1m上述兩例都表明了同一個(gè)問題：群中有一個(gè)特殊的元

3、素，使群中每個(gè)元素都是這個(gè)特殊元素的倍數(shù).(因?yàn)槭羌臃ㄈ?，所以用倍?shù).如果是乘法群，則應(yīng)是方冪)。于是，前面有了循環(huán)群的定義(下面通常用乘法群為例)定義1設(shè)G是一個(gè)(乘法)群,而G中有一個(gè)元素a，使G中每個(gè)元素都a的乘方.即Gam|mZ.那么稱G為循環(huán)群.a叫做G的生成元，習(xí)慣上記為G(a).也就是說，G是由生成元a生成的.注意：由定義1可知，例1和例2都是循環(huán)群，并且按習(xí)慣化為Z(1)和乙(1)。其中，1和1分別是Z和乙的生成元.二、循環(huán)群的結(jié)構(gòu)定理.(以乘法群為討論對(duì)象)設(shè)G(a)是一個(gè)群，而a是G的生成元.那么我們有一個(gè)重要的結(jié)論：G的階與a的階一致，即|G|a|.事實(shí)上，(1)當(dāng)a的階

4、是無限時(shí)，這說明任一個(gè)整數(shù)(除了0)t都不會(huì)有ate.于是我們有結(jié)論1：當(dāng)|a|時(shí)，G(a),a3,a2,a1,e,a,a2,a3,，設(shè)ij，而恰有a，aj，不妨設(shè)ijji0.那么aj，e，這說明|a|ji與|a|矛盾。所以只要ija，aj.(2)當(dāng)a的階是有限n時(shí)，乘方“a1”就有可能無限“泛濫”，由鐘表記算法知，“a，”就只能編小在一定范圍內(nèi)，我們有:纟吉論2:當(dāng)|a|n時(shí)，G(a)a0,a1,a2,a3,an1，其中：ea0.首先若0ijn1時(shí),a1aj.其實(shí)若a1aJaJ1e而0jin|a|jin,這與|a|n矛盾.由此知道：a0,a1,a2,a3,an1是兩兩不等的.其次,atG,a

5、t都是a0,a1,a2,a3,an1中某個(gè)兀素:事實(shí)上,如果0tn1,at自然在a0,a1,a2,a3,an1之中.如果nt由常余除法知tngr.0rn.于是atangrangar(an)garegarar.atar.0rna在a0,a1,a2,a3,an1之中.如果t0,由常余除法同理tngr,0rn.atarat在a0,a1,a2,a3,an1之中.綜合上述討論，我們有下列結(jié)論：結(jié)論3設(shè)循環(huán)群G(a).那么?G是無限循環(huán)群|a|.?G是n階循環(huán)群|a|n.我們仔細(xì)觀察下面兩對(duì)群，它們?cè)刂g存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系：a1-T工-3,aI-,frI-以及(5)=碼礙IIII冋-”1循環(huán)群的結(jié)構(gòu)定理：設(shè)

6、G(a)是由生成元a生成的循環(huán)群，如果|a|，那么GZ.如果|a|n,那么GZn.【證明】：(1)當(dāng)時(shí)|a|，作i:GZ,i(ai)i.由上述的對(duì)應(yīng)關(guān)系易知,i是雙射.而i(aiaj)i(aij)iji(ai)2(aj)i(aiaj)1(ai)!(aj)GZ(2)當(dāng)|a|n時(shí)，作2:GZn,2(ai)i由上述對(duì)應(yīng)關(guān)系也易知，2是雙射而且2(aiaj)2(aij)ijij2Q)2(aj)(aiaj)2Q)2(aj).即GZn.注意：用代數(shù)同構(gòu)觀點(diǎn)，循環(huán)群只有二個(gè)。一個(gè)是整數(shù)加群Z，另一個(gè)是模n的剩余類加群Zn.三、循環(huán)群的生成元情形1.當(dāng)G(a),a3,a2,a1,e,a,a2,a3,時(shí)，a自然

7、是G的生成元，但除了a外a1其實(shí)也是G的生成元.因?yàn)?a1),(a1)3,(a1)2,(a1)1,e,a1,a2,a3,32123,a,a,a,e,a,a,a,(a)除此之外，還有其它生成元嗎？如果a，也是一個(gè)生成元，(i1)于是必有a(ai)jaijij1.i丄iZ.這表明：無限循環(huán)群gG中只有二個(gè)不同的生成a和a1.情形2、當(dāng)G(a)a0,a1,a2,an1.除了a自然是G的生成元之外，還有其余生成元嗎？為了討論以上的方便，現(xiàn)設(shè)nb.這時(shí)，G(a)a0,a1,a2,a3,a4,a5，可以驗(yàn)證a5也是G的生成兀:e(a5);a5;(a5)2a10a4;(a5)3a15a3;(a5)4a20a

8、2;(a5)5a25a.這說明a5也能生成G，即:(a5)e,a,a2,a3,a4,a5.最后可斷言：上例中的生成兀只a和a5.思考題：為什么說，只有a和a5是6階循環(huán)群G(a)的生成元呢？【證明】：因?yàn)閨a|6，同時(shí)例中也驗(yàn)證了|a5|6.這就是說，(a5)中也含有6個(gè)元素.與G的一樣多.G(a5).a5也是生成元，而其他元素a2,a3,a4,a0e的階都不是6，所以它們都不能成為生成元。所以有“a，也是(a)的生成元Glial.”上思考題告誡我們，尋找循環(huán)群的其他生成元的關(guān)鍵問題是要確定其階數(shù)。于是元素的階數(shù)問題自然很重要了四、循環(huán)群中元素的階談到循環(huán)群中元素的階，自然清楚無限循環(huán)群321

9、23G(a),a,a,a,e,a,a,a,中每個(gè)元素e的階都必是無限的(想一想，為什么？),an1的問題.F面重點(diǎn)討論n階循環(huán)群G(a)e,a,a2,結(jié)論4設(shè)n階循環(huán)群G(a)中任一個(gè)元結(jié)論4設(shè)n階循環(huán)群G(a)中任一個(gè)元ar，若d(n,r).那么rn1a丨dndqi,rdq?這里qindqi,rdq?這里qin,q2并且dd知(qq)i(互質(zhì))首nn先,(ar)d(adq2)daq2n若設(shè)|ar|k,k|n.d其次，(ar)k(an)q2eq2e(*)n|rk(|a|n)這說明陽k，但黑)1汕由(*)和(*)知,k(*).d.即ar|由結(jié)論4知，若d1時(shí)，|ar|n這時(shí)ar就是G的生成元，所

10、以:結(jié)論5、在n階循環(huán)群G(a)中，ar是生成元(r,n)1.【證明】：設(shè)(n,r)d.“”，若ar是生成元|ar|n.但由結(jié)論4|ar|n,nnd1即(n,r)1.dd“”(n,r)1d1.|ar|nar也是生成元。d例3、設(shè)6階循環(huán)群G(a)e,a,a2,a3,a4,a5，求G中的每個(gè)兀素的階和G的全部生成元.解：|e|1,|a|6,|a2|23,|a3|62,|a4|23.|a5|6.232G的全部生成元有二個(gè)：a和a5.注意：定義在自然數(shù)集上的函數(shù)(x)叫做歐拉函數(shù)：其中(n)表示不超過n且與n互素的自然數(shù)個(gè)數(shù).比如：(6)2,(7)6,(8)4,結(jié)論6、任一個(gè)n階循環(huán)群G(a)都有(n)個(gè)生成元.五、循環(huán)群G的元素的性質(zhì)結(jié)論7設(shè)G(a)是循環(huán)群，那么若|a|，則aka1kl.k,lZ若|a|n，則aka1【證