1、重積分第一節(jié) 重積分的概念與性質(zhì) 重積分 將定積分概念 推廣到平面區(qū)域上的二元函數(shù)或空間區(qū)域上的三元函數(shù)就得到重積分概念。1 重積分的概念與性質(zhì)一.引例例1 曲頂柱體的體積:如果是平頂柱體,則體積=底面積高.以 xoy面上的有界閉域 D為底,曲面 z = f (x,y)為頂,母線平行于z軸的柱面為側(cè)面的柱體.對于曲頂柱體,仿照用定積分研究曲邊梯形的方法:分割,取近似,求和,取極限.二重積分將曲頂柱體任意分成 n 個小曲頂柱體,每一個近似看作平頂柱體.為 的最大直徑.例2.變密度物體的質(zhì)量:設(shè)物體位于空間有界閉域 上,密度為連續(xù)函數(shù) .同理:三重積分1.二重積分定義存在,且極限值不依賴于對D的分

2、法,也不依賴于 在子域內(nèi)的取法,則稱此極限值為函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分.二.概念作和式 設(shè)f(x,y)是定義在有界閉域D上的有界函數(shù),將D任意分成n個小區(qū)域 ,在 上任取一點(diǎn) ,當(dāng) 的最大直徑 趨于零時,如果積分區(qū)域面積微元(1)上述定義可以推廣到一般的n重積分.(2)如果被積函數(shù)在積分區(qū)域上連續(xù)，則重積分存在.注:三. 重積分性質(zhì)(與定積分類似,以二重積分為例)k為常數(shù)2.三重積分定義(與二重積分類似)積分區(qū)域體積微元6.(估值定理)設(shè) M,m 分別是 f (x,y) 在D上的最大值和最小值,則:7.(中值定理)若 f (x,y) 在D上連續(xù),則在D上至少存在一點(diǎn) 使得下式成立:注:

3、上述性質(zhì)可以推廣到一般的n重積分5.如果在D上: , 則特別的:D的面積重積分第二節(jié) 二重積分的計算方法第二節(jié) 二重積分的計算方法一.在直角坐標(biāo)系中的計算方法在直角坐標(biāo)系中,用平行于坐標(biāo)軸的直線將積分區(qū)域D分成n份小矩形,可知:利用幾何意義-曲頂柱體的體積研究其計算方法:將曲頂柱體看作已知平行截面面積的立體,利用定積分計算.化成兩次定積分1.設(shè)X型域abDabxxyzA(x)先對y后對x的二次積分在D內(nèi)任取一點(diǎn)x,作平行于 yoz 面的截面.曲邊梯形2.設(shè)Y型域同理可得:先對x 后對y 的二次積分注:(1).如果D 既是X 型域又是Y 型域,則cdD(2).如果D 既不是X 型域又不是Y 型域

4、,則用平行于坐標(biāo)軸的 直線將D 分成若干子域,利用積分的可加性進(jìn)行計算.選擇積分域和積分次序是計算的關(guān)鍵例如:分塊越少越好第一次積分要易于計算 例1 計算由 圍成.12解一:X 型域解二:Y 型域 例2 計算由 圍成.-12解一:Y型域解二:如果選擇 X 型域,需要將 D 分成兩部分,顯然復(fù)雜.分塊越少越好 例3 計算由 圍成.(1,1)如果先對 y 積分,無法進(jìn)行因此先對 x 積分,第一次積分要易于計算例5.交換積分次序:1-2201二.在極坐標(biāo)系中的計算方法在極坐標(biāo)系中,設(shè)D的邊界與過極點(diǎn)的射線相交不多于兩點(diǎn),化成兩次定積分用過極點(diǎn)的射線和以極點(diǎn)為圓心的圓周將D分成若干子域,如圖可知:r+

5、drr基本類型:D注:(1).只研究先對r后對 的積分次序;(2).如果D是曲邊扇形:(3).如果D包含極點(diǎn): 例6 計算 例7 計算此題若采用直角坐標(biāo)系方法無法積分注意:下列情形適合用極坐標(biāo)計算:(1).積分區(qū)域適于極坐標(biāo)表示,例如:圓,圓環(huán);(2).被積函數(shù)形如 ;(3).用直角坐標(biāo)系計算不出時.例8.化為極坐標(biāo)形式:2R0難題解析xOy1-11重積分第三節(jié) 三重積分的計算方法第三節(jié) 三重積分的計算法一.在直角坐標(biāo)系中的計算法化成三次積分仿照二重積分研究其計算方法:在直角坐標(biāo)系中,用平行于坐標(biāo)面的平面將積分區(qū)域 分成n 份(大部分是小長方體),可知:體積元素zxyD1.設(shè)積分區(qū)域 的邊界曲

6、面與平行于 坐標(biāo)軸的直線相交不多于兩點(diǎn).例如,與平行于 z 軸的直線相交不多于兩點(diǎn).D為 在 xoy 面上的投影域.上下曲面為:若D是X型域先對z后對y再對x的三次積分同理,可將 投影到 yoz 面或 zox 面上,使三重積分化成其他順序的三次積分:2.設(shè)積分區(qū)域 的邊界曲面與平行于坐標(biāo)軸的直線相交多于 兩點(diǎn).可以將積分域分成簡單子域,利用積分可加性計算. 例1 計算解其中 由三個坐標(biāo)面及圍成將 向 xoy 面作投影,則計算三重積分時也要注意積分次序的選擇 例2 計算其中 由 及圍成4計算過程繁瑣能否把極坐標(biāo)結(jié)合到空間坐標(biāo)系內(nèi)?柱面坐標(biāo)系二.在柱面坐標(biāo)系中的計算法設(shè)空間一點(diǎn)M(x,y,z),點(diǎn)

7、M在xoy面上的投影P 的極坐標(biāo)為則 稱為點(diǎn)M 的柱面坐標(biāo).zxyMPr變化范圍坐標(biāo)面常數(shù)常數(shù)常數(shù)以 z 軸為軸的圓柱面過 z 軸的半平面平行于xoy面的平面與直角坐標(biāo)的關(guān)系體積元素這是因?yàn)?如果用三組坐標(biāo)面劃分 ,大部分子域?yàn)樾≈w,近似看作長方體,則:化成三次積分 前面例2 計算其中 由 及圍成4三. 在球面坐標(biāo)系中的計算法設(shè)空間一點(diǎn)M(x,y,z)可用下列三個數(shù)確定:則 稱為點(diǎn)M 的球面坐標(biāo).變化范圍與直角坐標(biāo)的關(guān)系(1).點(diǎn)M與原點(diǎn)的距離 r ;(2). 與 z軸正向的夾角 ;(3). 在xoy面上的投影向量與z 軸的夾角 .zxyMPr體積元素這是因?yàn)?如果用三組坐標(biāo)面劃分 ,大部分

8、子域?yàn)槿鐖D小立體,近似看作長方體,則:化成三次積分坐標(biāo)面常數(shù)常數(shù)常數(shù)以原點(diǎn)為心的球面過z軸的半平面以原點(diǎn)為頂點(diǎn),以 為半頂角的圓錐面. 例3 計算其中 由圍成. 例4 計算其中 由圍成.與例5.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將 化成三次積分. 由半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面圍成a2a注:選擇合適的坐標(biāo)系是計算三重積分的關(guān)鍵(1).區(qū)域由平面圍成,常選擇直角坐標(biāo)系;一般的:(3).區(qū)域由球面錐面圍成,被積函數(shù)形如 常選擇球面坐標(biāo)系.(2).區(qū)域由圓柱面圍成,被積函數(shù)形如 常選擇柱面坐標(biāo)系;題型解析第四節(jié) 重積分的應(yīng)用第四節(jié) 重積分的應(yīng)用一.幾何應(yīng)用解法一:將立體看作曲頂柱體,利用二重積分計算.兩種

9、解法1.立體體積解法二:利用三重積分性質(zhì)計算. 例1 計算由 和 圍成的立體體積.由對稱性,只要求出第一卦限部分的體積,再乘以8倍即可.看作曲頂柱體 例2 計算由 和三個坐標(biāo)面圍成的四面體體積.曲頂abc2a2a2axyzO2.曲面面積D為 S 在 xoy 面上的投影區(qū)域.在D上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)曲面S :SdA微元法:在D上任取小區(qū)域 ,相應(yīng)的得到S上小曲面dS.用切平面近似代替面積微元同理,若曲面 S 的方程為 x = x( y,z ) 或 y = y( z,x ),可分別把 S 投影到 yoz 面或 zox 面上,得面積公式:或S 在 yoz 面上投影區(qū)域S 在 zox 面上投影區(qū)域 例3 計算例1中立體的表面積.由對稱性,只要求出第一卦限陰影部分的面積,再乘以16倍.曲面方程二.物理應(yīng)用1.物體重心(1).平面薄板:設(shè)薄板占有平面區(qū)域D,面密度 在D上連續(xù).Dxy在D上任取小區(qū)域 及其上面任意一點(diǎn) (x , y),的質(zhì)量對 x 軸 y 軸的靜力矩分別為:于是平面薄板的重心為:(2).空間物體:物體占有空間區(qū)域 ,密度 在 上連續(xù).則物體的重心為:例4.半徑為1的半圓形薄板,各點(diǎn)處的密度等于該點(diǎn)到圓心的距 離,求此半圓的重心.xy由對稱性:于是重心:2.轉(zhuǎn)動慣量(