1、專題十一 計數(shù)原理 目 錄CONTENTS考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理1考點(diǎn)二 排列與組合2 考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用3考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理必備知識 全面把握核心方法 重點(diǎn)突破考法例析 成就能力必備知識 全面把握考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理1分類加法計數(shù)原理完成一件事，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法運(yùn)用分類加法計數(shù)原理需注意以下三點(diǎn)：(1)分類加法計數(shù)原理的使用關(guān)鍵是分類，分類必須要有明確的標(biāo)準(zhǔn)，要求分類時“不重復(fù)”“不遺漏”(2)完成一件事的n類方法是相互獨(dú)立的，無論哪種方法都可以獨(dú)立完成

2、這件事，而不必再需要其他的方法，即各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的(3)明確題目所指的完成一件事是指什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算完成這件事完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法2分布乘法計數(shù)原理運(yùn)用分步乘法計數(shù)原理需注意以下三點(diǎn)：(1)明確題目中所指的完成一件事是指什么事，單獨(dú)用題目所給的某種方法是不是能完成這件事，也就是說必須要經(jīng)過幾個步驟才能完成這件事(2)完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一個步驟，這件事都不可能完成(3)根

3、據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步去做，才能完成這件事，各步之間不能重復(fù)也不能遺漏考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理3分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理7核心方法 重點(diǎn)突破方法_兩個計數(shù)原理的應(yīng)用掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是復(fù)習(xí)好本專題的基礎(chǔ)，其應(yīng)用貫穿本專題正確運(yùn)用兩個原理的關(guān)鍵在于：考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理1首先要搞清完成的是怎樣的“一件事”搞清楚“完成一件事”的含義是應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的前提由此要求我們在解題時，要認(rèn)認(rèn)真真審題，真正搞清楚問題的條件和結(jié)論，同時還要注意分類、分步，不能重復(fù)，不能遺漏8【解】(1)要完成的是

4、“4名同學(xué)每人從三個項(xiàng)目中選一項(xiàng)報名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓笠豁?xiàng)，四人都報完才算完成，于是應(yīng)按人分步，且分為四步又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有3333 81(種)報名方法(2)要完成的是“三個項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步而每項(xiàng)冠軍是四人中的某一人，有4種可能情況，于是共有444 64(種)可能的情況考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理1首先要搞清完成的是怎樣的“一件事”1)(1)4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項(xiàng)目，每人報一項(xiàng)，共有多少種報名方法？(2)4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少

5、種可能的結(jié)果？9應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是為了“完成一件事”，完成這件事有若干類不同的方法，用分類加法計數(shù)原理；完成這件事要依次完成若干個相互依存的步驟，用分布乘法計數(shù)原理；若完成這件事既要分類，又要分步，則綜合使用兩個計數(shù)原理考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理2明確事件需要“分類”還是“分步”102)某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目將這2個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，則不同插法的種數(shù)為()A42B30C20D12【解析】方法一：當(dāng)新增加的2個節(jié)目相鄰時，有12種方法；當(dāng)新增加的2個節(jié)目不相鄰時，有A6230(種)方法應(yīng)用分類加法計數(shù)原理可知共有123042(種)

6、方法方法二：記新增加的節(jié)目分別為甲、乙，要完成這一事件，可分成兩步：第一步把甲插入，共有6種方法；第二步把乙插入，共有7種方法應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理可知共有6742(種)方法方法三：當(dāng)7個節(jié)目進(jìn)行全排列時，共有 種方法，而原有的5個節(jié)目全排列時共有 種方法，故不同的插法種數(shù)為 42.【答案】A考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理2明確事件需要“分類”還是“分步”113)3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種放法？【解】方法一(以小球?yàn)檠芯繉ο?：分三步來完成第一步：放第一個小球有5種選擇；第二步：放第二個小球有4種選擇；第三步：放第三個小球有3種選擇根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共有放法

7、種數(shù)N54360.2明確事件需要“分類”還是“分步”考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理12方法二(以盒子為研究對象)：盒子標(biāo)上序號1，2，3，4，5，分成以下10類第一類：空盒子標(biāo)號為(1，2)，放法有3216(種)；第二類：空盒子標(biāo)號為(1，3)，放法有3216(種)；第三類：空盒子標(biāo)號為(1，4)，放法有3216(種)分類還有以下幾類情況：空盒子標(biāo)號分別為(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10類，每一類都有6種放法根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，共有放法數(shù)N66660(種)2明確事件需要“分類”還是“分步”考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理13考法例析 成就能力考法1 分類

8、加法計數(shù)原理的應(yīng)用1)四川20156用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有()A144個 B120個 C96個 D72個【解析】方法一：按末位是0，2，4分為三類第一類：末位是0時，首位只能從4，5中選一個，有243248(個)；第二類：末位是2時，首位只能從4，5中選一個，有243248(個)；第三類：末位是4時，首位只能是5，有143224(個)則由分類加法計數(shù)原理可知共有484824120(個) 考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理14方法二：根據(jù)題意，得符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4，5其中1個，末位數(shù)字為0，2，4.分兩種情況討論：首位數(shù)字為5時，末位

9、數(shù)字有3種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有 24(種)情況，此時有32472(個)；首位數(shù)字為4時，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有 24(種)情況，此時有22448(個)由分類加法計數(shù)原理可知共有7248120(個)故選B.方法三：用0，1，2，3，4，5可以組成的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)分兩類第一類：末位是0的有5432120(個)；第二類：末位是2或4的有24432192(個)共有120192312(個)其中比4 0000小的有：萬位是1，3且末位為0，2，4的共有23432144(個)，萬位是2且末位為0，4的共有1243248

10、(個)所以符合條件的五位偶數(shù)共有31214448120(個)考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理考法1 分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用【答案】B15考法2 分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用2)課標(biāo)全國20165如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A24 B18 C12 D9考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理16考法2 分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【解析】除已知標(biāo)記的E，F(xiàn)，G三點(diǎn)外，另記A，B，A1，B1，E1，A2，B2，G1，A3，B3，F(xiàn)1，如圖所示若總體路線最短，則需E到F最短，并且F到G也最短E到F最短，可由EBF或EE1F.顯然，由EBF

11、最短有3條(EBAA1F或EBB1A1F或EBB1A2F)由EE1F最短有3條(EE1B1A1F或EE1B1A2F或EE1B2A2F)，由分類加法計數(shù)原理可知，EF共有6條最短路徑而FG有FG1A3G，F(xiàn)B3A3G，F(xiàn)B3F1G共3條最短路徑由分步乘法計數(shù)原理可知，共有6318條最短路徑故選B.考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理【答案】B17考法3 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用3)浙江201716從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)考點(diǎn)一 兩個計數(shù)原理【解析】方法一：依題意，按照女生的人數(shù)分類第一類，含1女3男，有

12、 40(種)，從這4人中選2人作為隊(duì)長和副隊(duì)長有 12(種)，故有4012480(種)；第二類，含2女2男，有 15(種)，從這4人中選2人作為隊(duì)長和副隊(duì)長有 12(種)，故有1512180(種)根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有480180660種方法二：若不考慮至少有1名女生的要求，則不同的選法種數(shù)為 840.若選出的服務(wù)隊(duì)中沒有女生，則選法種數(shù)為 180.所以滿足題意的選法種數(shù)為840180660.【答案】660考點(diǎn)二 排列與組合必備知識 全面把握核心方法 重點(diǎn)突破考法例析 成就能力19考點(diǎn)二 排列與組合必備知識 全面把握1排列與排列數(shù)(1)排列：一般地，從n個不同元素中取出m（mn）個元素，按照

13、一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列對定義的理解，注意以下幾點(diǎn)：(1)一定取出m個不同的元素(mn)(2)這m個元素按一定的順序排成一列，有順序即與元素的位置有關(guān)，不同的順序?yàn)椴煌呐帕?3)兩個排列相同的條件：元素完全相同；元素的排列順序也相同相同的排列要與相同的集合區(qū)分開，相同的集合只是要求元素相同，不要求順序20考點(diǎn)二 排列與組合1排列與排列數(shù)(2)排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號 表示 n(n1)(n2)(nm1)這里n，mN*，并且mn，這個公式叫做排列數(shù)公式(1)注意排列和排

14、列數(shù)的不同：“一個排列”是指從n個不同的元素中取出m(mn)個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)，是一個數(shù)，所以符號 只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列(2)排列數(shù)公式的特征：第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個因數(shù)小1，最后一個因數(shù)是nm1，共有m個因數(shù)21考點(diǎn)二 排列與組合1排列與排列數(shù)(3)排列數(shù)的性質(zhì) ； 在排列數(shù)公式中，當(dāng)mn時，有 n(n1)(n2)321.這個公式指出，n個不同元素全部取出的排列數(shù)等于正整數(shù)1到n的連乘積正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n！表示，所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫

15、成 n！.規(guī)定0！1， n(n1)(n2)(nm1) 即22考點(diǎn)二 排列與組合2組合與組合數(shù)(1)組合：一般地，從n個不同的元素中取出m（mn）個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(1)如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合(2)從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)，即有序排列，無序組合23考點(diǎn)二 排列與組合2組合與組合數(shù)(2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號 表示 這里n，mN*

16、，并且mn，這個公式叫做組合數(shù)公式因?yàn)?，所以上面的組合數(shù)還可以寫成 .應(yīng)注意“組合”與“組合數(shù)”這兩個概念的區(qū)別組合是從n個不同元素中，任取m(mn)個元素合成一組，是一個具體的事件，而組合數(shù)是符合條件的所有不同組合的個數(shù)，是一個數(shù)24考點(diǎn)二 排列與組合2組合與組合數(shù)(3)組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：這條性質(zhì)表明：從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，都對應(yīng)著從n個不同元素中取出nm個元素的唯一的一個組合，反之也是一樣的，因此，從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù) ，等于從這n個不同元素中取出nm個元素的組合數(shù) .據(jù)此性質(zhì)，當(dāng)m 時，通常不直接計算 ，而是改為計算 ，這樣比較簡便例如： 為了使這

17、個公式在nm時也成立，我們規(guī)定： 1.25考點(diǎn)二 排列與組合2組合與組合數(shù)性質(zhì)2：這條性質(zhì)也可以這樣理解：從 ， 這n1個不同的元素中取出m個元素的組合數(shù)是 ，這些組合可以分成兩類，一類含有 ，一類不含有 .含有 的組合是從 , , 這n個元素中取出m1個元素與 組成的，共有 個；不含 的組合是從 ， ,， 這n個元素中取出m個元素組成的，共有 個根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得 26核心方法 重點(diǎn)突破考點(diǎn)二 排列與組合方法1 排列問題的解法(1)直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算(2)優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置(3)捆綁法：把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部

18、排列(4)插空法：對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中(5)先整體后局部：“小集團(tuán)”排列問題中，先整體后局部(6)定序問題除法處理：對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列(7)間接法：正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法27考點(diǎn)二 排列與組合方法1 排列問題的解法1)已知6人中只有1位是女士，這6人站成一排照相留念，若這位女士不站在兩端，則不同的排法有_種【解析】本題利用“優(yōu)先法”優(yōu)先排女士，在中間4個位置上選1個，有 種排法；然后將其余5人排在余下的5個位置上，有 種排法則共有 480(種)排法【答案】48028考點(diǎn)二 排列與組合方

19、法1_排列問題的解法2)6人站成一排，甲、乙、丙任何2人都不相鄰的排法種數(shù)是()【解析】本題利用“插空法”第一步，除甲、乙、丙外，其他3個人的排法有 種；第二步，3個人共形成4個空，讓甲、乙、丙3個人在這4個空中任選3個進(jìn)行排列，其排法有 種由分步乘法計數(shù)原理，得共有 種排法【答案】B29考點(diǎn)二 排列與組合方法1 排列問題的解法3)甲、乙、丙、丁四個人站成一排(1)若甲與乙需相鄰，有多少種排法？(2)若乙與丙之間必須有一個人，有多少種排法？【解】(1)先將甲與乙兩人進(jìn)行排列，共有 種排法；再將已經(jīng)排好的甲與乙作為一個整體，與丙、丁一起進(jìn)行排列，共有 種排法故總的排法數(shù)為(2)先將乙與丙兩個人進(jìn)

20、行排列，共有 種排法；再從剩下的甲與丁中選一人放在乙與丙中間，有 種排法；最后將剩下的一人放入前三人組成的隊(duì)列中，共有2種放法所以總的排法數(shù)為30考點(diǎn)二 排列與組合方法1 排列問題的解法4)5個人并排站成一排，如果甲必須在乙的右邊，則不同的排法有_種【解析】5個人并排站成一排總的排法數(shù)為 且甲在乙的左邊與右邊的排列數(shù)相同，甲在乙的右邊的排法數(shù)為 【答案】6031考點(diǎn)二 排列與組合方法1 排列問題的解法5)今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有_種不同的方法(用數(shù)字作答)【解析】方法一：將這9個球排成一列有 種不同的排法，再除以2個紅球，3個黃球，4個白球的順序

21、就可，因此有 不同的排法方法二：先在9個位置中選4個位置排白球，有 種排法，再從剩余的5個位置中選2個位置排紅球，有 種排法，剩余的3個位置排黃球有 種排法，所以共有 (種)不同的排法【答案】1 26032考點(diǎn)二 排列與組合方法2 組合問題的解法(1)解決組合問題的幾種常見的方法：正難則反、窮舉法(即樹狀圖法)、隔板法和分類討論(2)組合問題常見的兩類題型：“含有”或“不含有”某些元素的組合題型“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取“至少”或“最多”含有幾個元素的題型解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與

22、漏解，若直接法分類復(fù)雜時，可逆向思維，間接求解(3)解決組合問題的基本原則：特殊元素優(yōu)先考慮；合理分類與準(zhǔn)確分步33考點(diǎn)二 排列與組合方法2 組合問題的解法6)河南2017模擬把3男2女共5名新生分配給甲、乙兩個班，每個班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，則不同的分配方案種數(shù)為_【解析】方法一(直接法)：依題意得，按甲班2人或3人分類討論如下：甲班2人中至少含1名女生的情況包括1男1女 2女 由分類加法計數(shù)原理可知有 (種)；甲班3人中至少含1名女生的情況包括1女2男 2女1男 由分類加法計數(shù)原理可知有 由分類加法計數(shù)原理可知，滿足條件的分配方案有7916(種)34考點(diǎn)二 排列與組

23、合方法2 組合問題的解法方法二(間接法)：由題意，得5名新生分配到甲、乙兩個班，每個班至少有2名，則甲班可以為2人，也可以為3人若甲班為2人，則有若甲班為3人，則有 共有 甲班2人中全為男生的有 種，甲班3人中全為男生的有 種，因此甲班至少分配1名女生的分配方案有【答案】1635考點(diǎn)二 排列與組合方法2 組合問題的解法7)某運(yùn)輸公司有7個車隊(duì)，每個車隊(duì)的車輛均多于4輛現(xiàn)從這個公司中抽調(diào)10輛車，并且每個車隊(duì)至少抽調(diào)1輛，那么共有_種不同的抽調(diào)方法【解析】方法一(分類法)：在每個車隊(duì)抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車可分成三類：一類是從某1個車隊(duì)抽調(diào)3輛，有 種；一類是從2個車隊(duì)中抽調(diào)，其中1個

24、車隊(duì)抽調(diào)1輛，另1個車隊(duì)抽調(diào)2輛，有 種；一類是從3個車隊(duì)中各抽調(diào)1輛，有 種故共有 抽調(diào)方法方法二(隔板法)：由于每個車隊(duì)的車輛均多于4輛，所以只需將10個份額分成7份可將10輛車排成一排，在相互之間的9個空當(dāng)中插入6個隔板，即可將車分成7份，故共有 抽調(diào)方法【答案】8436考點(diǎn)二 排列與組合方法3 排列與組合的綜合問題的解法分組與分配問題是排列、組合問題的綜合應(yīng)用，解決這類問題的一個基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配常見的命題角度有整體均分問題、部分均分問題、不等分問題(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以 (n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)

25、(2)對于部分均分，解題時要注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)(3)對于不等分，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)37考點(diǎn)二 排列與組合方法3 排列與組合的綜合問題的解法8)將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法種數(shù)為()A240B180C150D540【解析】5名學(xué)生可分成2，2，1或3，1，1兩種形式的三組當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1時，有 保送方法；當(dāng)5名學(xué)生分成3，1，

26、1時，有 保送方法根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有9060150(種)保送方法故選C.【答案】C38考點(diǎn)二 排列與組合方法3 排列與組合的綜合問題的解法9)從5雙不同尺碼的鞋子中，選取4只(1)若選出的4只鞋子中，沒有相同尺碼的有_種；(2)若選出的4只鞋子中，只有2只是同雙的，并且將這4只鞋子排成一排，同雙的排在一起，有_種不同的排法【解析】(1)應(yīng)用組合定義，分步乘法計數(shù)原理從5雙鞋子中選取4雙有 種，然后從每雙的2只中各取1只有 種，因此選出的4只鞋子中沒有相同尺碼的方法有 80(種)(2)先選后排先從5雙鞋子中選1雙有 種方法，然后從剩余4雙中選2雙后各取一只有 種，將同雙的捆綁排列有 種

27、，將其看作一個整體與其他兩只進(jìn)行全排列有 種，因此滿足題意的方法有【答案】(1)80(2)1 44039考點(diǎn)二 排列與組合方法3 排列與組合的綜合問題的解法10)某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙2名同學(xué)至少有1人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為()A360 B520 C600 D720【解析】因?yàn)檫x人的結(jié)果不同會導(dǎo)致安排順序的不同，所以考慮“先取再排”，分為“甲、乙同時選中”和“甲、乙只有1人選中”兩種情況討論40若甲、乙同時被選中，則只需再從剩下5人中選取2人即可，有 種，在安排順序時，甲乙不相鄰則“插空”，所以安排的方式有

28、從而第一種情況的總數(shù)若甲、乙只有1人選中，則首先從甲、乙中選1人，有 種，再從剩下5人中選取3人，有 種，安排順序時則無要求，所以第二種情況的總數(shù)從而不同的發(fā)言順序共有N1N2120480600(種)【答案】C考點(diǎn)二 排列與組合方法3 排列與組合的綜合問題的解法41考法例析 成就能力考法1 單純的排列或組合問題考點(diǎn)二 排列與組合1)四川20164用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A24 B48 C60 D72【解析】由1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)(奇數(shù))，個位數(shù)字為奇數(shù)，有 種選法，其余4個數(shù)字全排列，所以奇數(shù)的個數(shù)為 故選D. 【答案】D42

29、考法1 單純的排列或組合問題考點(diǎn)二 排列與組合2)上海20158在報名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為_(結(jié)果用數(shù)值表示)【解析】根據(jù)題意，報名的有3名男教師和6名女教師，共9名教師，在9名教師中選取5人，參加義務(wù)獻(xiàn)血，有 (種)情況；其中只有女教師的有 (種)情況，則男、女教師都有的選取方式的種數(shù)為1266120.【答案】12043考法2 排列、組合混合應(yīng)用題考點(diǎn)二 排列與組合3)課標(biāo)全國20176安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A12種 B18種 C24種 D36種【解析

30、】把4項(xiàng)工作分成“三堆”，其中“一堆”包含2項(xiàng)工作，另外“兩堆”各包含1項(xiàng)工作，其分法有 (種)；然后把這“三堆”分配給3名志愿者，則分法有 種根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的安排方式共有 (種)故選D.【答案】D44考法2 排列、組合混合應(yīng)用題考點(diǎn)二 排列與組合4)天津201714用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個(用數(shù)字作答)【解析】一個數(shù)字是偶數(shù)、三個數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)有(個)；四個數(shù)字都是奇數(shù)的四位數(shù)有 (個)，則至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)一共有9601201080(個)【答案】1080考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其

31、應(yīng)用必備知識 全面把握核心方法 重點(diǎn)突破考法例析 成就能力46必備知識 全面把握考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用1二項(xiàng)式定理 (nN*)這個公式叫做二項(xiàng)式定理右邊的多項(xiàng)式叫做 的二項(xiàng)展開式，有n1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù) (r0，1，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).式中的 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用 表示，即 (0rn)，通項(xiàng)為展開式的第r1項(xiàng)使用通項(xiàng) 時，要注意：(1)通項(xiàng)表示的是展開式的第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；(2)展開式中第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 與第r1項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，只有在特殊情況下，它們的值才相等；(3)通項(xiàng)中含有a，b，n，r， 五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求第五個元素；(4)求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)

32、和系數(shù)最大的項(xiàng)時，一般要根據(jù)通項(xiàng)討論對r的限制，求有理項(xiàng)時要注意到指數(shù)的整數(shù)性47考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等. 由已知公式 分別取m0，1，r，從而得(2)增減性與最大值增減性： 二項(xiàng)式系數(shù) 是逐漸增大的；當(dāng) 二項(xiàng)式系數(shù) 是逐漸減小的最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) ， 相等，且同時取得最大值48考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和： 的展開式的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和等于 即 . 的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和

33、，且都等于 即 . (1)要注意二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)應(yīng)是中間項(xiàng)，并要根據(jù)n的奇偶性來確定是兩項(xiàng)還是一項(xiàng)(2)系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)，應(yīng)滿足它不小于前一項(xiàng)的系數(shù)，也不小于后一項(xiàng)的系數(shù)，若設(shè)第r1項(xiàng)為展開式的系數(shù)最大項(xiàng)，則應(yīng)滿足第r1項(xiàng)的系數(shù)大于或等于第r項(xiàng)及第r2項(xiàng)的系數(shù)49考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用3二項(xiàng)式定理的常用變形50考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用4二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(1)近似計算當(dāng)a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式 ，因?yàn)檫@時展開式的后面部分 很小，可以忽略不計類似地，有 但使用這兩個公式時應(yīng)注意a的條件，以及對計算精確度的要求(2

34、)證明整除性問題或求余數(shù)利用二項(xiàng)式定理證明整除性或求余數(shù)，關(guān)鍵是對被除式進(jìn)行合理的變形，把它寫成恰當(dāng)?shù)亩?xiàng)式的形式，使其展開后的每一項(xiàng)都含有除式的因式或只有一兩項(xiàng)不能整除51考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用4二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(3)利用二項(xiàng)式定理證明有關(guān)不等式證明有關(guān)不等式的處理方法：用二項(xiàng)式定理證明組合數(shù)不等式時，通常表現(xiàn)為二項(xiàng)式定理的正用或逆用，再結(jié)合不等式證明的方法進(jìn)行論證的過程運(yùn)用時應(yīng)注意巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式證明不等式時，應(yīng)注意運(yùn)用放縮法，即對結(jié)論不構(gòu)成影響的若干項(xiàng)可以去掉52核心方法 重點(diǎn)突破方法1 二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用 的展開式的通項(xiàng) (0rn，rN，

35、nN*)，利用通項(xiàng)可求(1)指定項(xiàng)；(2)特指項(xiàng)：常數(shù)項(xiàng)(字母的指數(shù)為零)、有理項(xiàng)(字母的指數(shù)為整數(shù))等；(3)特定項(xiàng)的系數(shù)(1)應(yīng)用通項(xiàng)要注意五點(diǎn)： 表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng)，只要n與r確定，該項(xiàng)就隨之確定； 是展開式中的第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；公式中a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能顛倒位置；要將通項(xiàng)中的系數(shù)和字母分開，以便解決問題；關(guān)于 的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，要特別注意符號問題53方法1 二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用(2)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)r1，代回通項(xiàng)即可

36、具體如下：求解形如 的展開式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量(求常數(shù)項(xiàng)、參數(shù)值、特定項(xiàng))第一步，利用二項(xiàng)式定理寫出展開式的通項(xiàng) 常把字母和系數(shù)分離(注意符號不要出錯)；第二步，根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項(xiàng)等特定項(xiàng)的指數(shù)需要滿足的條件，或者其系數(shù)需要滿足的條件等)先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，求出r；第三步，把r代入通項(xiàng)中，即可求出 ，有時還需要先求n，再求r，才能求出 或者其他量54方法1 二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用求形如 的展開式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量 第一步，根據(jù)二項(xiàng)式定理把 分別展開，并寫出其通項(xiàng)；第二步，分析特定項(xiàng)可由 的展開式中的哪些項(xiàng)相乘得到；第三步，把相

37、乘后的項(xiàng)相加減即可得到特定項(xiàng)55方法1 二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用1)二項(xiàng)式 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_【解析】方法一：二項(xiàng)式 的展開式的通項(xiàng) 依題意可得 常數(shù)項(xiàng)為方法二：二項(xiàng)式 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)可以看作是8個 所出的項(xiàng)進(jìn)行分配，需要2個式子出 6個式子出相乘，所以常數(shù)項(xiàng)為【答案】756方法1 二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用2) 的展開式的有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是( )A2 B3 C4 D5【解析】 的展開式的通項(xiàng) 令 即 且r0，1，2，9，r3或r9.當(dāng)r3時， 當(dāng)r9時，所以 的展開式的有理項(xiàng)是第4項(xiàng)與第10項(xiàng)，選A. 【答案】A57方法1 二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用3)已知 的展開式中含 的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a()【解析】二項(xiàng)式 的展開式的通項(xiàng) 由題意得 【答案】D58方法1 二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)的解法考點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用4) 的展開式的常數(shù)項(xiàng)是()A3 B2 C2 D3【解析】二項(xiàng)式 的展開式的通項(xiàng)當(dāng)2r102，即r4時，當(dāng)2r100，即r5時，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為523，