1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 15 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 15 頁2021-2022學(xué)年吉林省長春市第五中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】,故的共軛復(fù)數(shù)為 ，故選：B2已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A3BC6D【答案】B【分析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，由底面半

2、徑為r，側(cè)面展開圖為一個半圓，所以2rl，所以該圓錐的母線長為l2r2.故選：B.3已知向量，若，則（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量，可得因?yàn)椋傻?，解?故選：C.4某棋牌室有名愛好棋牌的棋友，技能分為高級、中級和初級三個等級，中級人，從棋牌室中抽取一名棋友，若抽取高級棋友的概率是，則抽到初級的概率是（）ABCD【答案】C【分析】首先求得初級棋友的人數(shù)，由古典概型概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意知：高級棋友有人，初級棋友有人，從棋牌室中抽取一名棋友，抽到初級的概率是.故選：C.5設(shè)的內(nèi)角、所對邊分別為、，若，則此三角形一定是（

3、）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D鈍角三角形【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理表示出，與已知等式聯(lián)立，化簡求解.【詳解】由余弦定理得，又，所以得：，.又和都大于0，則，即三角形為等腰三角形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6北京冬奧會已在北京和張家口市如火如荼的進(jìn)行，為了紀(jì)念申奧成功，中國郵政發(fā)行北京申辦2022年冬奧會成功紀(jì)念郵票，圖案分別為冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標(biāo)志”.若從一套枚郵票中任取枚，則恰有枚會徽郵票的概率為（）ABCD【答案】A【分析】將冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“

4、飛躍”分別記為、，將冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標(biāo)志”分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】將冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”分別記為、，將冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標(biāo)志”分別記為、，從一套枚郵票中任取枚，則所有的基本事件有：、，共種，其中，事件“恰有枚會徽郵票”包含的基本事件為：，共種，故所求概率為.故選：A.7已知正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，且球心在三棱錐的內(nèi)部.若該三棱錐的側(cè)面積為，則球的表面積為（）ABCD【答案】D【分析】由條件作

5、出如圖輔助線，并根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)確定球心的位置，中，利用勾股定理求半徑，最后求球的表面積.【詳解】作平面，連結(jié)并延長交于點(diǎn)，連結(jié)，正三棱錐外接球的球心在高上，連結(jié)，解得：,正三角形中， ，設(shè)，中，解得：,則球的表面積.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體與球的綜合問題，意在考查空間想象能力，和推理計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.8在中，角的對邊分別為，已知，且，點(diǎn)滿足，則的面積為ABCD【答案】D【分析】運(yùn)用正弦定理和余弦定理將角統(tǒng)一成邊，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角形的面積公式結(jié)合求解.【詳解】由，可得，即.又，所以因?yàn)椋渣c(diǎn)為的重心，所以，所以，兩邊平方得因?yàn)椋?，于是，所以，的面積為.因?yàn)榈拿娣e是面

6、積的倍.故的面積為【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于運(yùn)用向量的平方可以轉(zhuǎn)化到向量的夾角的關(guān)系，再與三角形的面積公式相結(jié)合求解，屬于難度題.二、多選題9設(shè)，表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個命題，其中正確命題的有（）A若，且，則B若，且，則C若，則D若，且，則【答案】AD【分析】對于A，由線面垂直的判定定理判斷；對于B，或；對于C，或，三條直線交于一點(diǎn)；對于D，由線面平行的判定定理、性質(zhì)定理和公理4判斷.【詳解】由，表示不同的直線，表示不同的平面，知：對于A，若，且，則由線面垂直的判定定理得，故A正確；對于B，若，且，則或，故B錯誤；對于C，若，則或，三條直線交于一點(diǎn)，故C錯誤；對于D，若，且，則由

7、線面平行的判定定理、性質(zhì)定理和公理4得到，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題主要考查，線線、線面關(guān)系命題的判斷，還考查了空間想象和邏輯推理的能力，屬于基礎(chǔ)題.10若，其中為虛數(shù)單位，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法正確的是（）AB的虛部為CD在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】AD【分析】先設(shè)出復(fù)數(shù)，由求出，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的模長、虛部、共軛復(fù)數(shù)、所在象限依次判斷即可.【詳解】設(shè)，則，則，即得，即，A正確；的虛部為，B錯誤；，C錯誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，D正確.故選：AD.11一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)是3，方差為4，關(guān)于數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A平均數(shù)是3B平均數(shù)是8C方差是11D方差是36【答

8、案】BD【分析】利用平均數(shù)和方差的線性關(guān)系直接求解.【詳解】設(shè)：，的平均數(shù)為，方差為，則，.所以，的平均數(shù)為，方差為.故選：BD.12已知四邊形ABCD是等腰梯形（如圖1），AB3，DC1，BAD45，DEAB.將ADE沿DE折起，使得AEEB（如圖2），連結(jié)AC，AB，設(shè)M是AB的中點(diǎn).下列結(jié)論中正確的是（）ABCADB點(diǎn)E到平面AMC的距離為CEM平面ACDD四面體ABCE的外接球表面積為5【答案】BD【分析】對選項(xiàng)A，在圖1中，過作，連接，易證平面，假設(shè)，得到平面，與已知條件矛盾，故A錯誤；對選項(xiàng)B，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)求解即可；對選項(xiàng)C，假設(shè)平面，從而得到平面平面，與已知條件矛盾，

9、故C錯誤；對選項(xiàng)D，連接，易得為四面體的外接球的球心，再計(jì)算外接球表面積即可。【詳解】對選項(xiàng)A，在圖1中，過作，如圖所示：，因?yàn)?，所以四邊形是矩形，因?yàn)?，所?因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?因?yàn)?，所?連接，則，因?yàn)椋?，得，則.在圖2中，因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋云矫?若，又，所以平面，過一點(diǎn)與垂直的平面有兩個，與過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直矛盾，故A錯誤；由，得，又，所以，而，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x等于到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即h，故B正確；假設(shè)平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)椋云矫嫫矫?，與已知條件矛盾，故C錯誤；對選項(xiàng)D，連接，如圖所示：因

10、為，為直角三角形，且為的中點(diǎn)，所以，即為四面體的外接球的球心，所以四面體的外接球的半徑為，則四面體的外接球表面積為，故D正確.故選：BD.三、填空題13以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：（單位：分）78，70，72，85，88，79，80，81，94，81，56，98，83，90，91則這15人成績的第80百分位數(shù)是_【答案】.【分析】由樣本數(shù)據(jù)第80百分位的定義以及求解步驟直接求解即可得出答案.【詳解】把成績按從小到大的順序排列為：56，70，72，78，79，80，81，81，83，85，88，90，91，94，98，因?yàn)?580%12，所以這15人成績的第80百分位是.故答案為：

11、.14如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰角為45，沿傾斜角為30的斜坡前進(jìn)2千米后到達(dá)D處，又測得山頂B的仰角為75，則山的高度BC為_千米.【答案】2【分析】根據(jù)條件可得，然后利用正弦定理即可求出的長度，從而可求出的長【詳解】解：作,垂足為，如圖所示：由題意得，所以，且，在中，由正弦定理得，即，解得，所以，故答案為：215已知向量，若，則_【答案】【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可【詳解】由題可得 ,即故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題16在中，點(diǎn)P是線段上一動點(diǎn)，則的最小值是_.【答案】【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求得各點(diǎn)

12、坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積，再結(jié)合二次函數(shù)求最值即可得解.【詳解】在中，由余弦定理得，所以是直角三角形，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線對應(yīng)一次函數(shù)為，所以，對稱軸，當(dāng)時，取得最小值.故答案為：四、解答題17已知，.求（1）；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求；（2）由，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求值即可.【詳解】（1），.（2）.18為了解某中學(xué)學(xué)生對中華人民共和國交通安全法的了解情況，調(diào)查部門在該校進(jìn)行了一次問卷調(diào)查（共12道題），從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取40人，統(tǒng)計(jì)了每人答對的題數(shù)

13、，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分成，六組，得到如下頻率分布直方圖.（1）若答對一題得10分，未答對不得分，估計(jì)這40人的成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若從答對題數(shù)在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰有1人答對題數(shù)在內(nèi)的概率.【答案】（1）79；（2）【解析】（1）首先根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出答對題數(shù)的平均數(shù)，由此求得成績的平均分的估計(jì)值.（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】（1）因?yàn)榇饘︻}數(shù)的平均數(shù)約為.所以這40人的成績的平均分約為.（2）答對題數(shù)在內(nèi)的學(xué)生有人，記為，；答對題數(shù)在內(nèi)的學(xué)生有人，記為，.從答對題數(shù)在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人的情況有，共10

14、種，恰有1人答對題數(shù)在內(nèi)的情況有，共6種，故所求概率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)，考查計(jì)算古典概型概率問題，屬于基礎(chǔ)題.19如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，.(1)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，通過，即可證明平面；（2）利用等積法，即求解即可（1）取的中點(diǎn)，連接，在中，在梯形中，四邊形是平行四邊形，而平面，平面，平面；（2），而平面，即為三棱錐的高，因?yàn)?，所以，又，所?0在，且.這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答問題：在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且_（1）求

15、C；（2）若c3，求ABC面積的最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）選，由正弦定理將條件等式邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式，求出，即可得出角；選，由正弦定理，將條件等式化邊為角，結(jié)合，求出，即可得出角；選，由，得出的關(guān)系，再由余弦定理，即可求出，進(jìn)而求出角；（2）根據(jù)（1）中的的值和，由余弦定理，結(jié)合基本不等式，可求出的最大值，即可得出結(jié)論.【詳解】選擇條件：（1）由正弦定理及，可得，因?yàn)?，所以，所以；?）在中，由余弦定理及，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，所以面積的最大值為.選擇條件（1）由正弦定理及，得，又，所以，因?yàn)?，所以，又，所以；?）下同選擇條件.選擇條件：由，且，得，由余弦定理得，又，所以；（2）下同選擇條件.21如圖，在三棱錐中，D為線段的中點(diǎn)，E為線段上一點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）當(dāng)平面時，求直線與平面所成的角.【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析，（3）.【分析】（1）先證明平面，進(jìn)而可得；