1、第四章 Z變換1 Z變換的定義(1) 序列的ZT：(2) 復變函數(shù)的IZT：，是復變量。(3) 稱與為一對Z變換對。簡記為或(4) 序列的ZT是的冪級數(shù)。代表了時延，是單位時延。(5) 單邊ZT：(6) 雙邊ZT：2 ZT收斂域ROC定義：使給定序列的Z變換中的求和級數(shù)收斂的z的集合。收斂的充要條件是它判別其收斂性的方法：(對)比值法：根值法：(4) 有限長序列的ROC序列在或(其中)時。收斂域至少是。序列的左右端點只會影響其在0和處的收斂情況：當時，收斂域為(除外)當時，收斂域為(除外)當時，收斂域為(除外)右邊序列的ROC序列在時。如果，則序列為因果序列。ROC的情況：當時，ROC為；當時

2、，ROC為。左邊序列的ROC序列在時。如果，則序列為反因果序列。ROC的情況：當時，ROC為；當時，ROC為。雙邊序列的ROC序列在整個區(qū)間都有定義。雙邊序列可以看成是左邊序列和右邊序列的組合，于是如果存在且，則雙邊序列的ROC為，否則，ROC為空集，即雙邊序列不存在ZT。注意：求得的是級數(shù)收斂的充分而非必要條件，實際收斂域可能會更大；實際的離散信號通常都是因果序列，此時單邊ZT與雙邊ZT是一致的，收斂域也相同，都是z平面上的某個圓外面的區(qū)域。關于極點與ROC關系的一些結(jié)論：一般地講，序列的ZT在其ROC內(nèi)是解析的，因此ROC內(nèi)不應包含任何極點，且ROC是連通的。序列ZT的ROC是以極點為邊界

3、的。右邊序列ZT的ROC，是以其模最大的有限極點的模為半徑的圓外面的區(qū)域(不包括圓周)。左邊序列ZT的ROC，是以其模最小的非零極點的模為半徑的圓內(nèi)部的區(qū)域(不包括圓周)。雙邊序列ZT的ROC，是以模的大小相鄰近的兩個極點的模為半徑的兩個圓所形成的圓環(huán)區(qū)域(不包括兩個圓周)。3 常用序列及其ZT單位沖激序列(n)定義：ZT：ROC：注意：單位沖激序列不是單位沖激函數(shù)的簡單離散抽樣。單位階躍序列u(n)定義： ZT：序列的單邊ZT用雙邊ZT表示為：序列是因果序列的充要條件是： 序列是反因果序列的充要條件是：矩形脈沖序列GN(n)定義： ZT： ()注意：矩形脈沖序列亦非單位矩形脈沖信號的簡單離散

4、抽樣，它們之間還存在一個時移關系。單位斜變序列nu(n)單邊指數(shù)序列anu(n)單邊正、余弦序列：，()，()， (7) 應盡可能利用常用ZT對和ZT基本性質(zhì)求解一般序列的ZT4 ZT的性質(zhì)(1) 線性性：()(2) 時域平移性：(i) 雙邊ZT：(a) 左移： ()(b) 右移： ()(c) 序列時移最多只會使ZT在處的零、極點情況發(fā)生變化。(ii) 單邊ZT：左移：右移： ()對因果序列：(3) 時域擴展性：定義：，a 是擴展因子。a1 時，相當于在原序列每兩點之間插入(a-1)個零。a-1時，相當于原序列先反褶，然后每兩點之間插入(-a-1)個零。ROC： 或 如序列是偶對稱的，則如序列

5、是奇對稱的，則如果一個偶對稱或奇對稱序列的ZT含有一個非零的零點(或極點)，那么它必含有另外一個與互為倒數(shù)的零點(或極點)。(4) 時域共軛性：(i) ()(ii) 如果序列是實序列，則(iii) 如果實序列的ZT含有一個零點(或極點)，那么它必含有另外一個與之共軛對稱的零點(或極點)。(5) z域尺度變換(或序列指數(shù)加權)性：用復指數(shù)序列去調(diào)制一個序列時，可以調(diào)制其相位特性。(6) z域微分(或序列線性加權)性：(i) ()(ii) ROC唯一可能的變化是加上或去掉0或。(iii) ()初值定理：是因果序列，則。終值定理：是因果序列，則只有在存在時才能用, 此時的極點必須在單位圓內(nèi)(如果位于

6、單位圓上則只能位于，且是一階極點)。(9) 時域卷積定理 定義： 定理：序列卷積的ZT等于其ZT的乘積，即 卷積的ZT的ROC至少是原序列ZT的ROC的交集。當出現(xiàn)零極點相抵時，ROC可能會擴大。(vii)(10) z域卷積定理：設和，則為收斂域重疊部分內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)的圍線為收斂域重疊部分內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)的圍線的ROC：(11) 帕斯瓦爾定理：5 逆Z變換的求解部分分式展開法：基本思路：把展開成常見部分分式之和，然后分別求各部分的逆變換，最后把各逆變換相加即可得到。通常做法展開的對象是，而不是。冪級數(shù)展開法：把按展成冪級數(shù)，那么其系數(shù)組成的序列即為所求。這種方法有時給不出一個閉式表達式。留數(shù)法：設是

7、的階極點，則在該極點處的留數(shù)為：，特別地當=1時，在某個s階極點處的留數(shù)的求法可以簡單地描述為：將中含有該極點的所有因式全部去掉，然后對z進行s-1次微分，再除以(s-1)!，最后求出表達式在該極點處的函數(shù)值，即為所求。因果序列：，為圍線包圍的的極點。反因果序列：，為圍線外部的的極點。雙邊序列：在收斂域內(nèi)取一個逆時針方向的圍線C，設為在圍線內(nèi)部的極點，為在圍線外部的極點6 離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)及其分類：定義：離散時間系統(tǒng)就是輸入輸出都是序列的系統(tǒng)。輸入通常稱為激勵，輸出稱為響應。輸入輸出的對應關系可簡記為系統(tǒng)的響應可以分為零狀態(tài)響應(系統(tǒng)處于零狀態(tài)時對應的響應)和零輸入響應(沒有激勵時系統(tǒng)

8、的響應)。線性離散時間系統(tǒng)：對任意一組常數(shù)()，滿足條件的系統(tǒng)。否則就是非線性系統(tǒng)。時不變離散時間系統(tǒng)：在同樣起始狀態(tài)下，系統(tǒng)響應特性與激勵施加于系統(tǒng)的時刻無關。即：。否則就是時變系統(tǒng)。(2) LTI離散時間系統(tǒng)的表示方法：一般用差分方程來描述。有三種基本的內(nèi)部數(shù)學運算關系：單位延時、乘系數(shù)和相加。差分方程的一般形式是：(3) 離散時間系統(tǒng)響應的ZT法求解的基本步驟：求出激勵的ZT；對表示離散系統(tǒng)的差分方程兩邊施加ZT；把激勵的ZT代入，求出響應的ZT；求IZT，即可得到系統(tǒng)的響應。離散時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義1：定義為離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。它表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應與因果序列激勵的ZT之比

9、值。定義2：定義離散系統(tǒng)的單位沖激響應為系統(tǒng)對單位沖激序列的零狀態(tài)響應，并記作為，即結(jié)論1：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于激勵與單位沖激響應之間的卷積。結(jié)論2：傳遞函數(shù)與單位沖激響應是一對ZT對。單位沖激響應表示了系統(tǒng)的時域特性，而傳遞函數(shù)表示了系統(tǒng)的z域特性。定義3：離散系統(tǒng)的單位階躍響應為為系統(tǒng)對單位階躍序列u(n)的零狀態(tài)響應。結(jié)論3：離散系統(tǒng)的單位階躍響應是其單位沖激響應的部分和。結(jié)論4：兩個系統(tǒng)串聯(lián)后新系統(tǒng)的單位沖激響應是串聯(lián)子系統(tǒng)單位沖激響應的卷積，傳遞函數(shù)是串聯(lián)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的乘積。結(jié)論5：兩個系統(tǒng)并聯(lián)后新系統(tǒng)的單位沖激響應是串聯(lián)子系統(tǒng)單位沖激響應的和，傳遞函數(shù)是并聯(lián)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的和。逆

10、系統(tǒng)：如果一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是H(z)，那么傳遞函數(shù)為1/H(z)的系統(tǒng)稱為原系統(tǒng)的逆系統(tǒng)。逆系統(tǒng)對信號的運算是原系統(tǒng)對信號的運算的逆。傳遞函數(shù)零極點分布對特性的影響定義1：只要輸入有界輸出必定有界”的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。定義2：輸出的變化不領先于輸入的變化”的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。關于離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，有如下結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位沖激響應絕對可和。系統(tǒng)是因果的充要條件是其單位沖激響應是因果序列。 離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)的ROC包括單位圓。離散LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是其傳遞函數(shù)的ROC是某個圓外部的區(qū)域，且包括無窮遠點。具有有理傳遞函數(shù)的離散LTI系統(tǒng)是因果

11、系統(tǒng)的充要條件是其ROC是傳遞函數(shù)最外面極點之外的某個圓外部的區(qū)域；傳遞函數(shù)分子多項式z的階次不大于分母多項式z的階次。具有有理傳遞函數(shù)的因果離散LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是其傳遞函數(shù)的全部極點都在單位圓內(nèi)。離散系統(tǒng)的頻率響應(i) 結(jié)論：當把頻率為的正弦序列施加到系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)上時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應是同頻率的正弦序列，其幅度被擴大到倍，相位被延遲了。結(jié)論對余弦序列同樣適用。如果離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，則反映了系統(tǒng)對激勵中各頻率分量的幅度和相位影響，稱為離散系統(tǒng)的頻率響應，簡稱頻響。是正弦序列包絡頻率的連續(xù)函數(shù)。通常是復值函數(shù)，記，其中稱為離散系統(tǒng)的幅頻響應，而稱為相頻響應。系統(tǒng)的幅頻響應值

12、越大的頻率成分，越容易通過系統(tǒng)；幅頻響應值越小的頻率成分越容易被系統(tǒng)阻礙。系統(tǒng)的頻率響應是其單位沖激響應的傅里葉變換。(ii) 離散系統(tǒng)按頻率響應的分類：單位沖激響應為實序列的系統(tǒng)，其頻響具有共軛對稱性，即系統(tǒng)的頻響是周期的，周期為；當系統(tǒng)的單位沖激響應為實序列時，系統(tǒng)的頻響關于點或點是共軛對稱的。具有實單位沖激序列的系統(tǒng)，其頻響在區(qū)間的取值，反映了系統(tǒng)對激勵信號中從直流(0頻率)到截止頻率()間各頻率分量的響應情況。離散系統(tǒng)按其幅頻特性在奈奎斯特區(qū)間內(nèi)的走勢可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通系統(tǒng)等。如圖1所示。圖中右側(cè)的圖是一些具有理想幅頻特性的系統(tǒng)。注意：系統(tǒng)按通阻特性的分類，僅考慮系統(tǒng)的幅頻響應，而不考慮系統(tǒng)的相頻響應。圖1系統(tǒng)按幅頻響應的分類(虛線輪廓表示共軛對稱部分)(iii)