1、數(shù) 學(xué)人教八年級（下冊）17 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第一課時 勾股定理的逆定理課時目標(biāo)1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、定理的概念、關(guān)系及勾股數(shù)。2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形。情景導(dǎo)入問題1 勾股定理的內(nèi)容是什么?如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.B C A bca問題2 求以線段a、b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長： a3，b4； a2.5，b6； a4，b7.5.c=5c=6.5c=8.5探究新知同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎?（1） （2） （3） （4） （5）

2、 （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 打13個等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3段，4段，5段的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.探究新知勾股定理的逆定理下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.問題 分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？探究新知探究新知下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.問題1 這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？ 5,12,13滿足52+122

3、=132, 7,24,25滿足72+242=252, 8,15,17滿足82+152=172.問題2 古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個等式嗎？32+42=52，滿足.a2+b2=c2探究新知由上面幾個例子，我們猜想：命題2 如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.探究新知ABC ABC ？C是直角ABC是直角三角形ABCa b c 證一證:已知：如圖，ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2 求證：ABC是直角三角形構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的RtABC探究新知證明：作RtABC，使C=90，AC=b，BC=a，則ABC ABC(SSS)，C= C=9

4、0，即ABC是直角三角形.探究新知勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a 、b 、c滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形 ，最長邊所對應(yīng)的角為直角.探究新知例1 下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個角是直角？（1）a=15 ，b=8 ，c=17; （2）a=13 ，b=14 ，c=15.解：(1)152+82=289，172=289，152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且C是直角

5、.探究新知根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方. (2)132+142=365，152=225，132+142152，不符合勾股定理的逆定理，這個三角形不是直角三角形.探究新知【變式題1】 若ABC的三邊a,b,c滿足 a:b: c=3:4:5，是判斷ABC的形狀.解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k0),(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,(3k)2+(4k)2=(5k)2,ABC是直角三角形，且C是直角.探究新知已知三角形三邊的比例關(guān)系判斷三角形形狀：先設(shè)出參數(shù)，表示出三條邊的長，再用勾股定理的逆定理判

6、斷其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三邊中有兩個相同的數(shù)，那么該三角形還是等腰三角形.探究新知【變式題2】(1)若ABC的三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1, c= ，試說明ABC是直角三角形.解：a+b=4,ab=1,a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又c2=14,a2+b2=c2,ABC是直角三角形.探究新知(2) 若ABC的三邊 a,b,c 滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 試判斷ABC的形狀.解： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， a26a+9+b28b+16+c210c+25=0. 即 (a3)+ (b4)+ (c5)=0. a=3

7、, b=4, c=5， 即 a2+b2=c2. ABC是直角三角形.探究新知例2 如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE CB，試判斷AF與EF的位置關(guān)系，并說明理由探究新知解：AFEF.理由如下：設(shè)正方形的邊長為4a, 則ECa，BE3a，CFDF2a.在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2.在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2.在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2.在AEF中，AE2EF2AF2，AEF為直角三角形，且AE為斜邊AFE90，即AFEF.鞏固練習(xí)1.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）

8、A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，7 C2.一個三角形的三邊的長分別是3，4，5，則這個三角形最長邊上的高是（ ）A4 B3 C2.5 D2.4D3.若ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則ABC是_.等腰三角形或直角三角形探究新知 如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2 那么這個三角形是直角三角形. 滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)探究新知常見勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整

9、數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).探究新知下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132A 方法點(diǎn)撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.探究新知命題1 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.命題2 如果三角形的三邊長a 、b 、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.前面我們學(xué)習(xí)了兩個命題，分別為：互逆命題與互逆定理探究新知命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：a2+b2=c2直角三角形題設(shè)結(jié)論它們是題設(shè)和

10、結(jié)論正好相反的兩個命題.問題1 兩個命題的條件和結(jié)論分別是什么？問題2 兩個命題的條件和結(jié)論有何聯(lián)系？探究新知一般地，原命題成立時，它的逆命題既可能成立，也可能不成立.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，我們稱這兩個定理互為逆定理.勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理.題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個命題，叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題.歸納總結(jié)探究新知說出下列命題的逆命題,這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；內(nèi)錯角相等，兩條直線平行.如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么它們相等. 成立不成立探究新

11、知(3)全等三角形的對應(yīng)角相等； (4)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.對應(yīng)角相等的三角形全等. 在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等. 不成立成立鞏固練習(xí)1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5將直角三角形的三邊長擴(kuò)大同樣的倍數(shù),則得到的三角形( )A.是直角三角形 B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形 D.不可能是直角三角形BA鞏固練習(xí)3.在ABC中，A, B, C的對邊分別a,b,c.若C- B= A,則ABC是直角三角形；若c2=b2-a2,則ABC是直角三角形,且C=90；若(c+a)(c-a)=

12、b2,則ABC是直角三角形;若A：B：C=5：2：3，則ABC是直角三角形.以上命題中的假命題個數(shù)是（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個A 鞏固練習(xí)4.已知a、b、c是ABC三邊的長，且滿足關(guān)系式 ，則ABC的形狀是 _等腰直角三角形5.(1)一個三角形的三邊長分別為15cm、20cm、 25cm，則這個三角形最長邊上的高是_cm;12(2)“等腰三角形兩底角相等”的逆定理為_有兩個角相等的三角形是等腰三角形鞏固練習(xí)6.已知ABC，AB=n-1，BC=2n，AC=n+1(n為大于1的正整數(shù)).試問ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由.解：AB+BC=(n-1)+(2n)=n4 -2n+1+4n=n4 +2n+1=(n+1)=AC，ABC直角三角形，邊AC所對的角是直角.鞏固練習(xí)7.如圖，在四邊形ABCD中，AB=8