1、2.2.2反證法課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60”時(shí),假設(shè)正確的是()A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60C.假設(shè)三內(nèi)角至少有一個(gè)大于60D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60解析“至少有一個(gè)不大于60”的否定為“全部都大于60”.答案B2.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是() A.a+b1B.a+b=2C.ab1D.a+b2解析對(duì)于A,若a=12,b=23,則a+b1,因此A推不出;對(duì)于B,若a=b=1,則a+b=2,故B推不出;對(duì)于C,若a=-2,b=-3,則ab1,故C推不出;對(duì)于D,a+b2,滿足“a,

2、b中至少有一個(gè)大于1”的條件,利用反證法:若a1,b1,則a+b2與已知a+b2矛盾,因此假設(shè)不正確,故原結(jié)論正確.故選D.答案D3.下列說(shuō)法不正確的是()A.命題:“x,yR,若|x-1|+|y-1|=0,則x=y=1”,用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)x1或y1B.三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度C.若-1,x,y,z,-4成等比數(shù)列,則y=2D.命題:“m0,1,使得x+1x2m”的否定形式是:“m0,1,總有x+1x2m”解析對(duì)于A選項(xiàng),反證法假設(shè)時(shí),假設(shè)“x1或y1”,故A選項(xiàng)說(shuō)法正確;對(duì)于B選項(xiàng),假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60度,則內(nèi)角和大于180度,故假設(shè)不成立,故B選項(xiàng)說(shuō)法正確;對(duì)于C選項(xiàng),假

3、設(shè)等比數(shù)列公比為q(q0),則y=(-1)q20,b0,c0,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“PQR0”是“P,Q,R同時(shí)大于零”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析若P0,Q0,R0,則必有PQR0;反之,若PQR0,也必有P0,Q0,R0.因?yàn)楫?dāng)PQR0時(shí),若P,Q,R不同時(shí)大于零,則P,Q,R中必有兩個(gè)負(fù)數(shù),一個(gè)正數(shù),不妨設(shè)P0,Q0,即a+bc,b+ca,兩式相加得b0,Q0,R0.答案C5.設(shè)x,yR,用反證法證明命題“如果x2+y24,那么|x|2且|y|2”時(shí),應(yīng)先假設(shè)“”.答案|x|2或|y|26.和兩條異面

4、直線AB,CD都相交的兩條直線AC,BD的位置關(guān)系是.解析假設(shè)AC與BD共面于平面,則A,C,B,D都在平面內(nèi),于是AB,CD,這與AB,CD異面相矛盾,故AC與BD異面.答案異面7.完成下列反證法證題的全過(guò)程.題目:設(shè)a1,a2,a7是由數(shù)字1,2,7任意排成的一個(gè)數(shù)列,求證:乘積p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)為偶數(shù).證明:假設(shè)p為奇數(shù),則均為奇數(shù).因7個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù),故有(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)為.而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=.與矛盾,故p為偶數(shù).解析由假設(shè)p為奇數(shù)可知(a1-1),(a2-2),(a7-7)

5、均為奇數(shù),故(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0為奇數(shù),這與0為偶數(shù)矛盾.答案a1-1,a2-2,a7-7奇數(shù)08.設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0,證明直線l1與直線l2相交.證明假設(shè)直線l1與l2不相交,則l1與l2平行,由直線l1與l2的方程可知實(shí)數(shù)k1,k2分別為兩直線的斜率,則有k1=k2,代入k1k2+2=0,消去k1,得k22+2=0,k2無(wú)實(shí)數(shù)解,這與已知k2為實(shí)數(shù)矛盾,所以k1k2,即l1與l2相交.9.已知ABC的內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,三邊互不相等,且滿足

6、b2ac.(1)比較ba與cb的大小,并證明你的結(jié)論;(2)求證:B不可能是鈍角.(1)解大小關(guān)系為bacb.證明如下:要證bacb,只需證ba0,只需證b2ac,(已知條件)故所得大小關(guān)系bacb正確.(2)證明假設(shè)B是鈍角,則cos B2ac-b22acac-b22ac0,這與cos B0矛盾,故假設(shè)不成立.所以B不可能是鈍角.10.已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),a,bR.(1)求證:如果a+b0,那么f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)判斷(1)中的命題的逆命題是否成立?并證明你的結(jié)論.(1)證明當(dāng)a+b0時(shí),a-b且b-a,f(a)f(-b),f(b)f(-a),f(a)

7、+f(b)f(-a)+f(-b).(2)解(1)中命題的逆命題:如果f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),那么a+b0.此命題成立,用反證法證明如下:假設(shè)a+b0,則a-b,f(a)f(-b),同理可得f(b)f(-a),f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),這與f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)矛盾,故假設(shè)不成立,a+b0成立,即(1)中命題的逆命題成立.能力提升1.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,則a,b,c中至少有一個(gè)數(shù)不小于() A.0B.13C.12D.1解析三個(gè)數(shù)a,b,c的和為1,其平均數(shù)為13,故三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于13.假設(shè)a,b,c都小于13,則a

8、+b+c1與已知矛盾.答案B2.定義方程f(x)=f(x)的實(shí)數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)g(x)=x與h(x)=ln(x+1)的“新駐點(diǎn)”分別為,那么和的大小關(guān)系是.解析由題可得g(x)=1,h(x)=1x+1,所以=1,ln(+1)=1+1,假設(shè)=1,則+12,則01+112,所以0ln(+1)12=lne,1+1e2,0.答案3.已知xR,a=13x2+x,b=-3x+4,c=23x2,求證:a,b,c中至少有一個(gè)不小于1.證明假設(shè)a,b,c都小于1,即a1,b1,c1,則a+b+c3.而a+b+c=13x2+x+(-3x+4)+23x2=x2-2x+4=(x-1)2+

9、33,這與a+b+c3矛盾,因此假設(shè)錯(cuò)誤,即a,b,c中至少有一個(gè)不小于1.4.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1+2,S3=9+32.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn;(2)設(shè)bn=Snn(nN*),求證:數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.(1)解設(shè)公差為d,由已知得a1=2+1,3a1+3d=9+32,d=2,故an=2n-1+2,Sn=n(n+2).(2)證明由(1)得bn=Snn=n+2.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列,則bq2=bpbr,即(q+2)2=(p+2)(r+2),(q2-pr)+(2q-p-r)2=0.p,q,rN*,q2-pr=0,2q-p-r=0,p+r22=pr,(p-r)2=0,p=r,這與pr矛盾.所以數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.5.若下列方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0