1、螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆

2、羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀

3、袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄

4、肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁

5、袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊

6、螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀

7、羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄

8、螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈

9、肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂

10、袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆

11、膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖

12、羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈

13、螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂

14、肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆

15、衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁

16、膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅

17、羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂

18、螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆

19、聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀

20、袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅

21、肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆

22、羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃

23、螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈

24、聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖

25、袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿

26、肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃

27、羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇

28、螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁羋羋螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈蒞芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蟻蠆羅莁莁襖袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羈肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄螞蕆膂肅莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂

29、羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅裊螈膅薇蚈肇膄芇襖羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅節(jié)薄蚅肅芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈 齊民友高數(shù)下冊復(fù)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考試（下冊）第8章 空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量及其運算1、空間直角坐標系空間直角坐標系：三條兩兩垂直相交于原點的坐標軸，x軸、y軸和z軸構(gòu)成右手關(guān)系。 （1） 學(xué)會：a）找出空間中給定點的坐標。b）找出空間中以給定(x,y,z)為坐標的點。c）空間各部分點坐標的特點。（2） 兩點M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)的距離公式d(M1,M2)M1M22、向量（1）向量的概念 數(shù)量：只有大?。粁2x1)(y2y1)(z2z1)222向量：既有大小又有方向。向量

30、只有大小和方向。 在空間中用有向線段表示向量。其長度表示向量的大小也稱為模或范數(shù)；其方向表示向量的方向。一個向量可以放在空間中任意位置。 （2）特殊向量零向量0：大小為0。任意方向都是0的方向。只有一個零向量。 單位向量：大小為1。有無窮多個單位向量。如果a0，則eaa1a是與a方向一致的單位向量，稱為a的單位化。 （3）兩向量的關(guān)系向量a和b有夾角(a,b),0。當(dāng)(a,b)時說ab；當(dāng)(a,b)0或時說a/b。2（4）向量的坐標把向量a的始點放在原點，得a的終點M(ax,ay,az)(aOM)，則有a的分解式aaxiayjazk其中i,j,k是標準單位向量。ax,ay,az是向量a的坐標。

31、ax,ay,az分別是a在x、y、1 / 43z軸上的投影；axi,ayj,azk分別是a在x、y、z軸上的投影向量。向量與坐標一一對應(yīng)。向量的理論分為兩部分：用幾何描述的向量理論和用坐標描述的向量理論。兩部分理論對應(yīng)地出現(xiàn)，互相翻譯。設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)，則M1M2(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)kx2x1,y2y1,z2z1（終點坐標減始點坐標。）始點坐標、終點坐標、向量坐標知其二求第三。 （5）模和方向余弦 設(shè)aax,ay,az，則cosaxayaz222axxayaz222 cosayaxayaz222 cosazaxayaz222 其中,分別是

32、a與x、y、z軸的夾角，它們支定了a的方向。cos2cos2cos。一次性求出三個方向余弦：11acos,cos,cos2a3、向量運算 （1）加減法a）幾何方法兩向量用平行四邊形法則或三角形法則（接龍法）相加。 a與a大小相等方向相反。aba(b)。 b）坐標方法設(shè)aax,ay,az,bbx,by,bz，則 abaxbx,ayby,azbz（2）數(shù)乘向量 a）幾何方法aa。a的方向：當(dāng)0時與a同向；當(dāng)0時與a反向。2 / 43b）坐標方法ax,ay,azax,ay,az（3）兩向量的數(shù)量積 a）幾何方法bbprja ababcos(a,b)aprjabb）坐標方法設(shè)aax,ay,az,bbx

33、,by,bz，則abaxbxaybyazbzc）物理意義 位移r外力F做的功WFr（4）兩向量的向量積 ab是一個新的向量。 a）幾何方法 bsin(a,b)；(ab)a,(ab)b,a,b,ab成右手關(guān)系。b）坐標方法設(shè)aax,ay,az,bbx,by,bz，則ijkabaybzazby,azbxaxbz,axbyaybxxxc）幾何意義 baybyaz bz以a,b為邊的平行四邊形的面積。（5）三向量的混合積a）a,b,c(ab)c。a,b,cb,c,ac,a,b。b）幾何意義a,b,c以a,b,c為邊的平行六面體的體積。（6）熟悉各種運算的運算律。 4、平行、垂直、共面條件bx,by,b

34、z。下列命題等價： （1）設(shè)aax,ay,az0,ba）a/b；3 / 43 b）存在實數(shù)使得ba； c）bx:axby:aybz:az；d）ab0。 （2）下列命題等價：a）ab；b）axbxaybyazbz0；（3）a,b,c共面a,b,c0。 二、空間解析幾何1、一般概念空間幾何對象：曲面和曲線。平面是特殊的曲面，直線是特殊的曲線。 空間解析幾何就是用代數(shù)方程研究幾何對象。幾何對象和它的代數(shù)方程K的關(guān)系如下：（1）上每點的坐標都滿足方程K；（2）坐標滿足方程K的點都在上。空間解析幾何的主要任務(wù):（1）根據(jù)已知條件寫出幾何對象的方程；（2）根據(jù)幾何對象的方程分析幾何對象的形狀。2、空間解析

35、幾何（1）平面a）點法式方程:A(xx0)B(yy0)C(zz0)0其中nA,B,C0是的隨便一個固定的法向量，M0(x0,y0,z0)是隨便固定的一點。利用條件求出n,M0即可寫出平面的點法式方程。b）一般方程 :AxByCzD0其中nA,B,C0是的法向量。(0,0,0)D0/x(y,z)軸A(B,C)0可以用一般式方程寫滿足條件的平面方程。利用條件求出A,B,C,D即可寫出平面的一般方程。c）三點式方程4 / 43 i）取nM1M2M1M3,M0M1 ii）寫出點法式方程。 d）截距式方程如果平面與x,y,z軸分別交于非原點(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，則:e）點M0(

36、x0,y0,z0)到平面xaybzc1:AxByCzD0的距離dAx By Cz0D2A2BC2 f）設(shè)1:A1xB1yC1zD102:A2xB2yC2zD20則 n1n2cos(1,2)n1n2 12n1n2A1A2B1B2C1C20 1/2n1/n2A1:A2B1:B2C1:C2（2）直線 a）點向式方程l:其中sm,n,pxx0myy0nzz0p M0(x0,y0,z0)l是隨便固定的0是l的隨便一個固定的方向向量，一點。利用條件求出s,M0即可寫出直線的點向式方程。 b）參數(shù)方程xx0mtl:yy0ntzzpt0其中s5 / 43 m,n,p0是l的隨便一個固定的方向向量，(x0,y0

37、,z0)l是隨便固定的一點，t是參數(shù)。 c）一般方程1:A1xB1yC1zD10l:2:A2xB2yC2zD20l作為平面1和2的交線。d）點向式方程l:化為一般方程xx0myy0nzz0p xl:yx0my0yy0nzz0p ne）一般方程化點向式方程：i）求出l方程組的一個解M0(x0,y0,z0)； ii）取sn1n2A1,B1,C1A2,B2,C2；iii）用M0(x0,y0,z0)和s寫出點向式方程。 f）兩直線l1:xx1m1yy1n1zz1p1 l2:的夾角 xx2m2yy2n2zz2p2 s1s2cos(l1,l2)s1s2 l1l2s1s2m1m2n1n2p1p20l1/l2

38、s1/s2m1:m2n1:n2p1:p2直線l:與平面6 / 43xx0myy0nzz0p :AxByCzD0的夾角 snsin(l,)sn ls/nm:An:Bp:Cl/snmAnBpC0g）過直線l:的平面束1:A1xB1yC1zD102:A2xB2yC2zD20 :A1xB1yC1zD1(A2xB2yC2zD2)0用已知條件確定，從而在平面束中求出滿足要求的平面。 （3）常見的空間曲面 （1）柱面二元方程F(x,y)0(或F(z,y)0或F(x,z)0)在空間中表示母線平行于z(或x或y)軸的柱面。 （2）旋轉(zhuǎn)曲面 曲線f(y,z)0 x0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為f(y,z（3

39、）二次曲面a）學(xué)會用“截痕法”分析曲面的形狀。2x)02其它曲線繞其它軸轉(zhuǎn)的情況類似（請你試寫出來）。b）熟悉P56-P64列出的各種二次曲面及它們的方程。 c）特別常用的曲面：柱面、錐面、（橢）球面、拋物面。 （4）空間曲線a）空間曲線的一般方程（曲線作為兩曲面的交線）F(x,y,z)0G(x,y,z)0參數(shù)方程xx(t)yy(t) zz(t)7 / 4322b）由一般方程寫參數(shù)方程的常用方法：先由一般方程變形出()1()21；令()1cos,()2sin；再進一步寫出參數(shù)方程。c）曲線在坐標平面上的投影 由方程F(x,y,z)0G(x,y,z)0消去z(或x或y)得到在xy(或yz或zx)

40、面上的投影H(x,y)0H(y,z)0H(z,x)0或 或z0 x0y0第9章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性1 多元函數(shù)的極限（1）計算多元函數(shù)極限的方法：（i）要善于變形；（ii）把一組東西看出一個整體，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)求極限的方法求極限。 （2）證明極限limfx,y不存在：舉一些xx0yy0 xx0的方式（比如yy0k(xx0)），使yy0極限不存在或與方式（k）有關(guān)。 2 多元函數(shù)的連續(xù)性（1）證明f在(x0,y0)點不連續(xù)：（i）用前面方法證明limfx,y不存在；或（ii）求出xx0yy0 xx0yy0limfx,yfx0,y0。（2）證明f

41、在(x0,y0)點連續(xù)就是證明limfx,yfx0,y0。xx0yy0二、 偏導(dǎo)數(shù)和全微分 1偏導(dǎo)數(shù) （1）fx,y在(x0,y0)點的偏導(dǎo)數(shù)分兩步：（i）作一元函數(shù)xfx,y0,yfx0,y；（ii）fxx0,y0 x0,fyx0,y0y0。因此fxx0,y0limfx0 x,y0fx0,y0 x,fyx0,y0limfx0,y0yfx0,y0yx0y0（2）偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：（i）fxx0,y0 = 曲線zfx,y0在x0,y0點切線對x軸的yy 08 / 43 斜率；（ii）曲線1zfx,y0在x0,y0點切線對z軸的斜率 = 。關(guān)于yy fxx0,y00fyx0,y0完全類似。（3）當(dāng)

42、相應(yīng)的高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時，高階偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)。2全微分 （1）全微分概念如果存在與x和y無關(guān)的Ax0,y0和Bx0,y0使zfx0 x,y0yfx0,y0Ax0,y0 xBx0,y0yxy22則稱f在(x0,y0)點可微。f在(x0,y0)點的全微分dzAx0,y0 xBx0,y0yAx0,y0dxBx0,y0dy關(guān)于任意點(x,y)的全微分，上面(x0,y0)改為(x,y)。當(dāng)(x,y)是復(fù)合函數(shù)的中間變量時，全微分公式也一樣。（2）如果f在(x0,y0)點可微，則f在(x0,y0)點的偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且dzfxx0,y0 xfyx0,y0yfxx0,y0dxfyx0,y0dy（3）（i）

43、f在(x0,y0)點可微limfx0 x,y0yfx ,y0fxx0,y0 xfyx0,y0y2x0y0 xy20(ii)證明f在(x0,y0)點不可微就是證明極限limfx0 x,y0yfx0,y0fxx0,y0 xfyx0,y0yxy22x0y0 不存在或不為0。3 導(dǎo)數(shù)的計算（1）一般函數(shù)求導(dǎo)方法：（i）保留求導(dǎo)變元，固定其他變元為常數(shù)，得一元函數(shù)；（ii）對此一元函數(shù)求導(dǎo)。（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法：（i）畫復(fù)合函數(shù)圖；（ii）根據(jù)復(fù)合函數(shù)圖寫求導(dǎo)公式（設(shè)對x求導(dǎo)）：每個x所在的路徑都對應(yīng)一項：此路徑中的每個相鄰函數(shù)關(guān)系都求導(dǎo)，這些導(dǎo)數(shù)相乘作公式的一個求導(dǎo)項；（iii）根據(jù)求導(dǎo)公式求得偏導(dǎo)

44、數(shù)。（iv）利用低階偏導(dǎo)數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)，遇到求偏導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，各階偏導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)有相同的函數(shù)圖。（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一定要求到底?。?）隱函數(shù)求導(dǎo)方法：（i）把隱函數(shù)變量看作其它變量的函數(shù)得恒等式（組）；（ii）對恒等式（組）兩邊求導(dǎo)得含所求導(dǎo)數(shù)的方程（組）；（iii）解方程（組）得所求導(dǎo)數(shù)；（iv）求隱9 / 43函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)有兩種方法：(a) 利用低階偏導(dǎo)數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)；(b)繼續(xù)對求低階導(dǎo)數(shù)時得的方程（組）求導(dǎo)，得含高階導(dǎo)數(shù)的方程（組），解此方程（組）得高階導(dǎo)數(shù)。不管用哪種方法，都要代入低階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果，都要清清楚楚地知道哪里含有要求導(dǎo)的變量。隱函數(shù)求導(dǎo)也可解出隱函數(shù)再求導(dǎo)。反函數(shù)看作

45、隱函數(shù)處理。 4 連續(xù)、可導(dǎo)、可微、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系 122,xysin22反例：C1：xy0,xyxy,22；C2 x；C3： xy0, xy0220 xy0 xy022都在(0,0)點。要熟悉一些典型例題。 三、 多元函數(shù)微分法的應(yīng)用xxt1曲線L： yyt在xt0,yt0,zt0的切向量zztxt0,yt0,zt0切線：xxt0 xt0yyt0yt0zzt0zt0 法平面：xt0 xxt0yt0yyt0zt0zzt00 xxyyx 如果L：則用x作參數(shù)L：（用y或z作參數(shù)的情況類似） yyx。zzxzzx2曲面： Fx,y,z0在x0,y0,z0點的法向量nFxx0,y0,z0,Fyx0

46、,y0,z0,Fzx0,y0,z0切平面：Fxx0,y0,z0 xx0Fyx0,y0,z0yy0Fzx0,y0,z0zz00法線：xx0Fxx0,y0,z0yy0Fyx0,y0,z0zz0Fzx0,y0,z0 當(dāng)曲面以參數(shù)方程給出時，消去參數(shù)變成一般方程再做。3 方向?qū)?shù)與梯度10 / 43（1）fx,y,z在點x0,y0,z0沿方向l的方向?qū)?shù)flimt0fx0tcos,y0tcos,z0tcosfx0,y0,z0tlx0,y0,z0 fxx0,y0,z0cosfyx0,y0,z0cosfzx0,y0,z0cos其中cos,cos,cos是l的方向余弦。 求fx,y,z在點x0,y0,z0沿

47、方向l的方向?qū)?shù)的方法：（i）求導(dǎo)fxx0,y0,z0,fyx0,y0,z0,fzx0,y0,z0；（ii）求l的方向余弦1lco,sco,scos；（iii）代入上面公式。有時要用上面極限求方向?qū)?shù)。l（2）fx,y,z在點x0,y0,z0的梯度gradfx0,y0,z0fxx0,y0,z0,fyx0,y0,z0,fzx0,y0,z0梯度是方向?qū)?shù)最大的方向，梯度的反方向是方向?qū)?shù)最小的方向，與梯度垂直方向的方向?qū)?shù)為0：gradf,x0,y0,z0-gradf,x0,y0,z00，l與梯度同向fll與梯度反向。 l梯度x0,y0,z0梯度是等值面4 極值與最值 （1）無條件極值的法向量。如

48、果存在去心鄰域UUx0,y0,使fx,yfx0,y0,x,yU大值?？梢?，極值是小范圍的小則稱x0,y0為fx,y的極11 / 43大值點，稱小為的極最值。如果fx,y在x0,y0點有二階偏導(dǎo)數(shù)， 必要條件：fxx0,y00；fx,y0y00A0 x0,y0是f的極大值點；2ACB0充分條件：A0 x0,y0是f的極小值點； 其中ACB20 x,y不是f的極值點。00Afxxx0,y0,Cfyyx0,y0,Bfxyx0,y0。解無條件極值問題的方法：x1,y1,xn,yn；求出fxxx,y或fyyx,y或fxyx,y不存在的全部點：（i） (ii)用定fxx,y0求出的全部解：x1,y1,xm

49、,ym fx,y0yx1,y1,xn,yn逐點判定；用充分條件對x1,y1,xm,ym逐點判定。是否極值義對點，是極大值點還是極小值點，一定要有明確的結(jié)論；(iii)必要時求出相應(yīng)的極值。 （2）最值在 D的邊界D上；fx,y在(閉)區(qū)域D上的最大（小）值點有兩種可能 因此在 D的 11mmfyx,y0最大值maxM,fx1,y1,fxn,yn,fx1,y1,fxm,ym最小值minm,fx1,y1,fxn,yn,fx1,y1,fxm,ym 如果根據(jù)問題的實際知：最大（?。┲翟贒內(nèi)部取得，并且，在D內(nèi)部到處可導(dǎo)且只有唯一個駐點或?qū)?shù)不存在的點，則這點就是最大（?。┲迭c。 5 條件極值zfx1,

50、xn1x1,xn0條件極值問題的解法：x,x0nm1（i）寫拉格朗日函數(shù)Lfx,xn11x,xnmmx,xn；12 / 43 （ii）求函數(shù)L非條件極值的駐點（1,m不用解出）；（iii）根據(jù)問題的實際判斷每個駐點是否極值點，是極大值點還是極小值點。6 泰勒公式設(shè)函數(shù)fx,y充分可導(dǎo)，則fx0h,y0knf(x0,y0)i11hki!yx1f(x,y)00(n1)!ihkyxn1f(x0h,y0k)其中01。有時可以把一組東西看作一個t，利用一元函數(shù)寫出關(guān)于t的泰勒公式，再把t代回得到原函數(shù)的泰勒公式。四、相關(guān)題目1求多元函數(shù)的極限；2證明多元函數(shù)在某點的極限不存在；3證明多元函數(shù)在某點不連續(xù)

51、（連續(xù)）；4求給定多元函數(shù)（在某點）的偏導(dǎo)數(shù)；5求多元函數(shù)（在某點）的全微分；6求多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的一階或高階偏導(dǎo)數(shù)，或全微分；7求曲線在某點的切線方程、法面方程；求曲面在某點的切面方程、法線方程；（可能要先 根據(jù)已知寫出方程）8求給定函數(shù)在某點的梯度，在某點沿某方向的方向?qū)?shù)；9求函數(shù)的極值、最大（?。┲怠l件極值；10證明多元函數(shù)在某點不可導(dǎo)（不可微或?qū)Ш瘮?shù)不連續(xù)）。13 / 43 第10章 重積分 一、二重積分1二重積分的概念設(shè)D是平面上的有界閉區(qū)域，fx,y是D上有界函數(shù)。 分割：把D分割為n個小區(qū)域：1,n “近似”： i,ii，作fi,ii求和：fi,iii1n取極限：記max

52、i，ilim0i1n不存在，稱fx,y在D上不可積；fi,iiA存在，稱A為fx,y在D上的二重積分，記為nfx,ydDf,fx,ydxdylimD0iii1i 當(dāng)fx,y有了實際意義，fx,ydD 也相應(yīng)地有實際意義。例如，如果fx,y是質(zhì)量面密度，則二重積分就是D的總質(zhì)量；當(dāng)fx,y是以D為底的曲頂柱體的高度函數(shù)時，二重積分是此曲頂柱體的體積。0dD0,fx,yd0D的面積0，dD的面積DD2二重積分的性質(zhì)（1）線性性fx,ygx,ydDfx,ydDgx,ydD （2）可加性如果D分割成兩個區(qū)域D1和D2，則fx,ydDfx,ydD1fx,ydD2 （3）單調(diào)性14 / 43如果fx,yg

53、x,y,x,yD則fx,ydDgx,ydD 特別，如果fx,y()0,x,yD則fx,ydD()0如果mfx,yM,x,yD則mfx,ydDM其中是D的面積。 （4）中值定理如果fx,y在D上連續(xù)，則存在,D使fx,ydDf,其中是D的面積。 3二重積分的計算 （1）直角坐標 X-型區(qū)域 DY-型區(qū)域yy2x,axbDx,yyx1x,yxyxxy,c12yd其中，小y邊界：yyx；大y邊界：y 如果D是X-型區(qū)域，則（后x積分） 15 / 43Dfx,ydbadxy2xy1xfx,ydybay2xfx,ydydx y1x如果D是Y-型區(qū)域，則（后y積分）fx,yddx2yDcdyx1yfx,y

54、dxdcx2yfx,ydxdy x1y如果D既是X-型區(qū)域又是Y-型區(qū)域，則fx,ydDbadxy2xy1xfx,ydydcdyx2yx1yfx,ydx哪個簡單就計算哪個。里層上下限總是外層積分變量的函數(shù)。 如果D（2 如果D,其中小則（總是后積分）fx,ydDdfcos,sind12（注意：面積元素多一個。當(dāng)D的邊界是；當(dāng)D包含原點時0,2,10 ）圓弧或被積函數(shù)含有時，用極坐標積分比較簡單。曲線極坐標方程的求法：設(shè)曲線方程Fx,y0，則Fcos,sin0，解出。二、三重積分 1三重積分的概念設(shè)v是空間的有界閉區(qū)域，fx,y,z是v上有界函數(shù)。 分割：把v分割為n個小區(qū)域：v1,vn “近似

55、”：i,i,ivi，作fi,i,ivi16 / 43求和：fi,i,ivi i1n取極限：記maxvi， inlim0i1不存在，稱fx,y在v上不可積； fi,i,iviA存在，稱A為fx,y在v上的三重積分，記為nffx,y,zdvfx,y,zdxdydzlimvv0i1i,i,ivi 當(dāng)有了實際意義，fx,y,zdvv也相應(yīng)地有實際意義。例如，如果fx,y,z是質(zhì)量體密度，則三重積分就是v的總質(zhì)量。0dvv0,fx,y,zdv0v的體積0，dvv的體積 vv2三重積分的性質(zhì)（1）線性性fx,y,zgx,y,zdvvfx,y,zdvgx,y,zdvvv（2）可加性如果v分割成兩個區(qū)域v1和

56、v2，則fx,y,zdvvfx,y,zdvfx,y,zdv v1v2（3）單調(diào)性如果fx,y,zgx,y,z,x,y,zv則fx,y,zdvvgx,y,zdv v特別，如果fx,y,z()0,x,y,zv則fx,y,zdv()0v如果Mfx,y,zm,x,y,zv17 / 43 則Mvfx,y,zdvvmv其中v是v的體積。 （4）中值定理如果fx,y,z在v上連續(xù)，則存在,v使fx,y,zdvf,v其中v3（1（i v界：z x,yDxy（右圖）。則fx,y,zdvvdxdyDxyz2x,yz1x,yfx,y,zdzDxyz2x,yfx,y,zdzdxdyz1x,y（ii）一套二 設(shè)區(qū)域v,

57、czx,y,zx,yDzy 其中，c,d是v在z面Zz截v的截口。則fx,y,zdvvdcdzfx,y,zdxdyDzdcfx,y,zdxdyDzdz 一般情況下用二套一方法計算；當(dāng)fx,y,z不含x,y，或用極坐標計算fx,y,zdxdyDz 時不含,，用一套二計算比較簡單。往其它坐標平面或坐標軸投影完全類似。18 / 43 （2）柱面坐標用柱面坐標計算三重積分的方法： （i）先把三重積分寫成二套一fx,y,zdvvdxdyDxyz2x,yz1x,yfx,y,zdz（ii）再用極坐標計算外層積分Dxydxdyz2x,yz1x,yfx,y,zdzd21dz2cos,sinz1cos,sinfc

58、os,sin,zdz往其它坐標平面投影完全類似。 （3）球面坐標（i）球面坐標與直角坐標的關(guān)系xrsincos2yrsinsin；dxdydzrsindddr zrcos（ii）主要掌握以下三種簡單情形：(a) 原點是v的內(nèi)點。此時fx,y,zdvv2 dd r, frsincos,rsinsin,rcosrsindr2其中rr,是v的外邊界。(b) v的邊界在原點與xy平面相切，v包含z軸正向。此時fx,y,zdvv2 dd20r, frsincos,rsinsin,rcosrsindr2其中rr,是v的外邊界。(c) v是錐面與外邊界rr,包圍。此時vfx,y,zdv2 dd r, frs

59、incos,rsinsin,rcosrsindr2不管是計算二重積分還是三重積分，如果區(qū)域邊界的表達式不一致，就要作適當(dāng)區(qū)域分割。里層上下限總是外層積分變量的函數(shù)。 三、重積分的應(yīng)用 1體積v的體積vdxdydz2曲面zfx,y,x,yDxy的面積19 / 43ADxy22fxx,yfyx,ydxdy其中dS是面積微分；Dxy是曲面在xy上的投影。曲面表示成yfx,z,x,zDxz或xfy,z,y,zDyz時類似。 3質(zhì)心設(shè)區(qū)域v的密度為fx,y,z，則v的質(zhì)量Mfx,y,zdvv 質(zhì)心坐標1Mvxfx,y,zdv,1Mvyfx,y,zdv,1Mvzfx,y,zdv在平面情形少一個坐標且為二重

60、積分。 4轉(zhuǎn)動慣量 （1）平面情形設(shè)區(qū)域D的密度為fx,y，則轉(zhuǎn)動慣量IxDyfx,ydxdy,Iy2Dxfx,ydxdy2（2）空間情形設(shè)區(qū)域v的密度為fx,y,z，則v的轉(zhuǎn)動慣量Ixyv2z2fx,y,zdxdydzIz,Iy2xv2z2fx,y,zdxdydz xv2yfx,y,zdxdydz5引力設(shè)區(qū)域v的密度為fx,y,z，則v對v以外的質(zhì)量為M的質(zhì)點x0,y0,z0的引力FFx,Fy,Fz為FxvGMfx,y,zx2x023dxdydzxx0yy0zz02FyvGMfx,y,zyy03dxdydzx222x0yy0zz020 / 43 FzvGMfx,y,zzz03dxdydz x