1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁2022屆黑龍江省哈爾濱第三中學高三第四模擬考試數(shù)學（理）試題一、單選題1已知集合，則A中元素的個數(shù)為（）A9B10C11D122已知數(shù)列是公比為實數(shù)的等比數(shù)列，則（）A13BCD53已知不重合的兩條直線m，n和兩個不重合的平面，則下列選項正確的是（）A若，且，則B若，且，則C若，且，則D若，且，則4推背圖是唐朝貞觀年間唐太宗李世民命天文學家李淳風和相士袁天罡推算大唐氣運而作，此著作對后世諸多事件都進行了準確的預測.推背圖以天干地支的名稱進行排列，共有60象，其中天干分別為甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支分別為子丑寅卯辰已午未申酉

2、戌亥.該書第一象為“甲子”，第二象為“乙丑”，第三象為“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此類推2023年是“癸卯”年，正值哈爾濱市第三中學建校100周年，那么據(jù)此推算，哈三中建校的年份是（）A癸卯年B癸亥年C辛丑年D辛卯年5若，則（）ABCD6某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖為直角梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，俯視圖為等腰直角三角形，則該幾何體的體積為（）ABC2D47設(shè)，則二項式的展開式中第三項的系數(shù)為（）AB40C10D8已知向量，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)m的值為（）ABCD9已知為定義在R上的周期為4的奇函數(shù)

3、，當時，若，則（）ABCD10已知拋物線C：，A為C上的動點，直線l為C在點A處的切線，則點到l距離的最小值為（）ABC3D411已知命題p：若，則；命題q：若方程只有一個實根，則.下列命題中是真命題的是（）ABCD12在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的取值范圍是（）ABCD二、填空題13在利用秦九韶算法求當?shù)闹禃r，把多項式函數(shù)改寫成如下形式：，從內(nèi)到外逐層計算一次多項式的值，其中記，以此類推，則計算得的數(shù)值為_.14設(shè)直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點A，B，則k的取值范圍為_.15正四棱錐中，M為棱AB上的點，且，設(shè)平面PAD與平面PMC的交線為l，則異面直線l與BC所成

4、角的正切值為_.三、雙空題16曲線過點的切線也是曲線的切線，則_；若此公切線恒在函數(shù)的圖象上方，則a的取值范圍是_.四、解答題17哈爾濱紅腸已有近百年歷史，是哈爾濱特產(chǎn)，也是黑龍江特產(chǎn)的代表，深受廣大民眾的喜愛，哈爾濱紅腸是用大興安嶺的老果木熏制而成的，因此它除了肉香還會散發(fā)著濃郁的果木香.某調(diào)查機構(gòu)從年齡在歲的游客中隨機抽取100人，對是否有意向購買哈爾濱紅腸進行調(diào)查，結(jié)果如下表：年齡/歲抽取人數(shù)182225278有意向購買紅腸的人數(shù)81722244(1)若以年齡40歲為分界線，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的22列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認為購買哈爾濱紅腸與人的年齡有關(guān)？年齡低于40歲的

5、人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)總計有意向購買哈爾濱紅腸的人數(shù)無意向購買哈爾濱紅腸的人數(shù)總計(2)用樣本估計總體，用頻率估計概率，從年齡在的所有游客中隨機抽取3人，設(shè)這3人中打算購買哈爾濱紅腸的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，為正三角形，四邊形ABCD為菱形，且，.(1)求證：平面BCF；(2)求二面角E-AF-C的余弦值.19已知數(shù)列，點在曲線上，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)已知數(shù)列

6、滿足，記為數(shù)列的前n項和，求，并證明：當時，.20已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切.(1)求動圓圓心E的軌跡方程；(2)過點的直線與動圓圓心E的軌跡相交于A，B兩點，在平面直角坐標系xOy中，是否存在與M不同的定點N，使得恒成立？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.21在高等數(shù)學中，我們將在處可以用一個多項式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式.(1)分別求，在處的泰勒展開式；(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復數(shù)域，試證明：.（其中為虛數(shù)單位）；(3)若，恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)）22在直角坐標系xOy中，曲線的參

7、數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系中，直線：.(1)求曲線上的點與直線上的點距離的最小值；(2)將曲線向左平移1個單位，向下平移個單位得到曲線，再將經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，求曲線上的點到直線距離的最大值.23已知函數(shù).(1)若，求證：；(2)若函數(shù)的最小值為，且實數(shù)a，b，c滿足，求的最小值.PAGE 答案第 = 1頁，共 = sectionpages 2 2頁PAGE 17頁參考答案：1C【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)得，再列舉出集合的元素即得解.【詳解】解：由橢圓的性質(zhì)得，又, 所以集合共有11個元素.故選：C2D【解析】【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列通項公式求

8、出公比，由此可求.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，因為，所以，即，所以，故選：D.3B【解析】【分析】對于A，當，且，則n可能在 內(nèi)，判斷A; 對于B，根據(jù)平面的法向量可進行判斷；對于C，考慮 可能相交，也可能平行，即可判斷；對于D，考慮到可能平行或異面或相交，即可判斷，【詳解】對于A，當，且，則n可能在 內(nèi)，故A錯誤；對于B，因為，故在m上可取 作為 的法向量，同理在n上可取 作為 的法向量，因為，故，即得，故B正確；對于C，當，且時，可能相交，也可能平行，故C錯誤；對于D，當，且時，可能平行或異面或相交，故D錯誤，故選：B4B【解析】【分析】根據(jù)天干和地支的周期計算可得結(jié)果.【詳解】依題意可知，天

9、干的周期為，地支的周期為，因為，所以哈三中建校的年份的天干也是癸；因為，所以哈三中建校的年份的地支為亥，哈三中建校的年份是“癸亥年”.故選：B.5A【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計算公式計算即可.【詳解】因為，所以，故選：A6B【解析】【分析】想象并復原幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求得原幾何體的體積，即得答案.【詳解】由幾何題的三視圖，復原幾何體為如圖正方體中的三棱錐 ,由三視圖可知正方體的棱長為2，故三棱錐頂點P位于正方體相應的棱的中點，底面為 ,高為正方體棱長2，則幾何體的體積為 ，故選：B7B【解析】【分析】根據(jù)求得a，再根據(jù)直接求得第三項的系數(shù)，可得答案.【詳解】，故，展開式中的

10、第三項的系數(shù)為 ,故選：B8C【解析】【分析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示得到函數(shù)的表達式，再根據(jù)，賦值，即可求出的值【詳解】，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，令，即，解得：故選：C9B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性推得，繼而化簡可求得，化簡等于，即可求得答案.【詳解】由題意可得，為定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，故 ，故 ，又，故即，即，而當時，故，則當時，故，故選：B10B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)條件求出拋物線在點處的切線方程，再求點到直線的距離及其最小值.【詳解】因為點在拋物線C：上，故可設(shè)，因為拋物線在點處的切線不為0，故可設(shè)拋物線在點處的切線方程為，所以有且只有一組解，所以

11、方程只有一個根，所以，故，所以拋物線在點處的切線的方程為：，所以到直線的距離所以，當且僅當時等號成立，所以點到l距離的最小值為.故選：B.11A【解析】【分析】判斷命題的真假，根據(jù)復合命題的真假判斷方法判斷即可.【詳解】當時，又，所以，當時，又，所以，當時，所以當時，故命題為真命題，由方程只有一個實根等價于方程只有一個實根，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，作函數(shù)的圖象，觀察圖象可得當直線位于之間時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，其中與有且只有一個交點，設(shè)即只有一個解，所以只有一個解，所以，所以與有且只有一個交點，即只有一個解，所以只有一個解，所以，所以，所以方程只有一個實根，則，命題

12、為真命題，所以為真命題，命題，為假命題.故選：A.12C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可得，由基本不等式可求出的最小值，再根據(jù)余弦定理以及正弦定理可將化成關(guān)于角的函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值，從而得到取值范圍【詳解】因為，由正弦定理得，即，當且僅當時取等號因為，所以，其中，而，所以當時，取最大值即的取值范圍是故選：C【點睛】本題主要考查正余弦定理的應用，以及利用三角函數(shù)的性質(zhì)求范圍，解題關(guān)鍵是通過消元思想將所求式子轉(zhuǎn)化成關(guān)于角的函數(shù)，再結(jié)合輔助角公式求出其最大值1336【解析】【分析】根據(jù)表達式由與的關(guān)系求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以，故答案為：36.14【解析】【分析】直線與

13、雙曲線有兩個交點即聯(lián)立方程后判別式要大于0，且直線不與漸近線平行.【詳解】聯(lián)立消去y：，得到，又直線不與漸近線平行，所以.故答案為：.15【解析】【分析】連接并延長交的延長線于點，則可得即為直線，然后可得或其補角為異面直線l與BC所成角，設(shè)，然后在中利用余弦定理求解即可.【詳解】連接并延長交的延長線于點，則點為平面PAD與平面PMC的公共點，所以即為直線，因為，所以或其補角為異面直線l與BC所成角，設(shè)，由可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以異面直線l與BC所成角的正切值為，故答案為：16 【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求出；將此公切線恒在函數(shù)的圖象上方，轉(zhuǎn)化為恒成立，

14、再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出最小值即可得解.【詳解】由得，設(shè)曲線過點的切線的切點為，則切線的斜率為，切線方程為，由于該切線過點，所以，設(shè)該切線與曲線切于，因為，所以，所以該切線的斜率為，所以切線方程為，將代入得，得，所以，所以，所以，所以.由以上可知該公切線方程為，即，若此公切線恒在函數(shù)的圖象上方，則，即恒成立，令，則，令，得，得，令，得，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為時，所以當時，取得最小值.所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解第二個空時，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用導數(shù)求解是解題關(guān)鍵.17(1)列聯(lián)表見解析，有97.5%的把握認為購買哈爾濱紅腸與人的年齡有關(guān)(2)分布列見解析，

15、【解析】【分析】（1）根據(jù)調(diào)查表即可完成列聯(lián)表，再通過比較的觀測值與5.024的大小關(guān)系，即可判斷；（2）根據(jù)題意可知，即可得到分布列以及數(shù)學期望(1)由題可知，年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)總計有意向購買哈爾濱紅腸的人數(shù)255075無意向購買哈爾濱紅腸的人數(shù)151025總計4060100的觀測值，所以有97.5%的把握認為購買哈爾濱紅腸與人的年齡有關(guān)(2)由題意可知，從年齡在的所有游客中隨機抽取1人，打算購買哈爾濱紅腸的概率為，所以，即所以，X的分布列為0123.18(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取AD，DE，BC的中點O，M，N，連接OM，MF，F(xiàn)N，證明，即可根

16、據(jù)線面平行的判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點的坐標，求出平面EAF和平面ACF的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案.(1)證明：如圖，取AD，DE，BC的中點O，M，N，連接OM，MF，F(xiàn)N，則，故四邊形MDCF為平行四邊形，所以因為 ，故，故四邊形OMFN為平行四邊形，則，因為，所以又平面BCF，平面BCF，故平面BCF；(2)因為平面平面ABCD，連接EO，則 ，平面平面ABCD=AD，故平面ABCD，連接OB，BD，因為，四邊形ABCD為菱形，故三角形ABD為正三角形，則 ，故以O(shè)為坐標原點，OA為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則 ，則 ，設(shè)

17、平面EAF的法向量為 ，則，即 ，取 ，則 ，即，設(shè)平面ACF的法向量為 ，則，即 ，取 ，則 ，即，故 ，由原圖可知二面角為鈍角，故二面角E-AF-C的余弦值為.19(1)證明見解析(2)；證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，由，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證結(jié)論成立；（2）利用錯位相減法求出，根據(jù)的解析式可證當時，.(1)因為點在曲線上，所以，因為，所以，因為，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.(2)由（1）得，所以，所以，所以，所以，所以，當時，所以.20(1)(2)存在定點，使得恒成立.【解析】【分析】（1）設(shè)動圓的半徑為，得到，得到，根據(jù)橢圓的定義得到動圓圓心的軌跡為以為焦點的橢圓

18、，進而求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，當時，得到，得出點在軸上，可設(shè)點，聯(lián)立方程組，設(shè)，得到，根據(jù)題意，只需使得軸為的平分線，則，結(jié)合斜率公式，列出方程求得的值，即可求解.(1)解：由題意，圓：，圓：，可得圓心坐標分別為，半徑分別為，設(shè)動圓的半徑為，因為動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，可得，兩式相加，根據(jù)橢圓的定義可得，動圓圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，且，即，則，所以動圓圓心的軌跡方程為.(2)由題意，設(shè)過點的直線的方程為，當時，可得直線的方程為，可得點關(guān)于軸對稱，可得，要使得成立，即成立，此時點在軸上，可設(shè)點且，當時，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，要使得成立，即成立，則只需使得軸為的平分線，只需，即，即成立，所以，即，則，整理得，解得或（舍去），綜上可得，存在與M不同的定點，使得恒成立.21(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在處的泰勒展開式的公式即可求解；（2）把在處的泰勒展開式中的替換為，利用復數(shù)的運算法則進行化簡整理可得，從而即可證明；