1、第2章 正投影基礎(chǔ) 投影法2.1三視圖的形成及其投影規(guī)律 2.2點(diǎn)的投影 2.3直線(xiàn)的投影 2.4平面的投影 2.5【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解投影法的基本概念和分類(lèi)。 掌握平行投影尤其是正投影的基本性質(zhì)。 掌握三視圖的形成及其投影規(guī)律。 掌握點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的投影規(guī)律。 學(xué)會(huì)利用換面法求解幾何問(wèn)題。 2.1 投影法 2.1.1 投影法的基本概念 2.1.2 投影法分類(lèi)2.1.3 正投影的基本性質(zhì) 2.1.1 投影法的基本概念 投影法就是投射線(xiàn)通過(guò)物體向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法。投影所得到的圖形，稱(chēng)為投影；投影法中得到投影的面，稱(chēng)為投影面。 2.1.2 投影法分類(lèi) 根據(jù)投射線(xiàn)之間的相互關(guān)系，投

2、影法可分為中心投影法和平行投影法。1中心投影法 投射線(xiàn)匯交于一點(diǎn)的投影法稱(chēng)為中心投影法。2平行投影法 投射線(xiàn)相互平行的投影法稱(chēng)為平行投影法。 在平行投影法中，根據(jù)投射線(xiàn)與投影面的角度不同，又分為以下兩種。正投影法：投射線(xiàn)與投影面相互垂直的平行投影法。斜投影法：投射線(xiàn)與投影面相互傾斜的平行投影法。 中心投影法 平行投影法 2.1.3 正投影的基本性質(zhì) 1真實(shí)性 直線(xiàn)或平面平行于投影面時(shí)，其投影反映直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)或平面的實(shí)形，這種投影特性稱(chēng)為真實(shí)性。2積聚性 直線(xiàn)或平面垂直于投影面時(shí)，直線(xiàn)的投影積聚成點(diǎn)，平面的投影積聚成直線(xiàn)，這種投影特性稱(chēng)為積聚性。3類(lèi)似性 直線(xiàn)或平面傾斜于投影面時(shí)，直線(xiàn)的投影是小于

3、實(shí)長(zhǎng)的直線(xiàn)，平面的投影是原平面的類(lèi)似形，但面積小于原平面，這種投影特性稱(chēng)為類(lèi)似性。2.2 三視圖的形成及其投影規(guī)律 2.2.1 三視圖的形成2.2.2 三視圖的投影規(guī)律2.2.1 三視圖的形成 1投影面的設(shè)立 空間3個(gè)相互垂直的投影面形成三投影面體系，這3個(gè)投影面分別如下： 正立投影面，簡(jiǎn)稱(chēng)正面，用V表示。 水平投影面，簡(jiǎn)稱(chēng)水平面，用H表示。 側(cè)立投影面，簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)面，用W表示。 兩投影面之間的交線(xiàn)稱(chēng)為投影軸，相互垂直的3根投影軸分別用OX、OY、OZ表示。 OX軸V面和H面的交線(xiàn)。 OY軸H面和W面的交線(xiàn)。 OZ軸V面和W面的交線(xiàn)。 投影軸的交點(diǎn)O稱(chēng)為原點(diǎn)。 2三視圖的形成 從物體的前面向后投影

4、，在V面上得到的視圖稱(chēng)為 主視圖。從物體的上面向下投射，在H面上得到的視圖稱(chēng)為 俯視圖。從物體的左面向右投射，在W面上得到的視圖稱(chēng)為 左視圖。3投影面的展開(kāi) 要把3個(gè)視圖畫(huà)在同一張圖紙上，就需要把3個(gè)投影面展開(kāi)成一個(gè)平面。保持V面不動(dòng)，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90，使H面、W面與V面形成同一平面，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，需將OY軸分解成兩個(gè)，隨H面的稱(chēng)為OYH，隨W面的稱(chēng)為OYW。展開(kāi)后三視圖的位置是：俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，如此配置視圖時(shí)不標(biāo)注視圖的名稱(chēng)，也不需要畫(huà)出投影軸和表示投影面的邊框。 2.2.2 三視圖的投影規(guī)律 三視圖的投影規(guī)律：

5、主視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正主視圖與左視圖高平齊俯視圖與左視圖寬相等 主視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即高度和長(zhǎng)度。 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即長(zhǎng)度和寬度。 左視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即高度和寬度。 “長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”是三視圖畫(huà)圖和看圖必須遵循的最基本的投影規(guī)律。 在俯視圖和左視圖中，靠近主視圖的一邊都反映物體的后面，遠(yuǎn)離主視圖的一邊則反映物體的前面。物體的寬度在俯視圖中為豎直方向，在左視圖中為水平方向。因此在量取寬度時(shí)，不但要注意起點(diǎn)，還要注意量取的方向。 2.3 點(diǎn)的投影 2.3.1 點(diǎn)的三面投影2.3.2 兩點(diǎn)的相對(duì)位置2.3.1 點(diǎn)的三面投影 1點(diǎn)的三面

6、投影 在三投影面體系中，有一空間點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)向V面投射得到A點(diǎn)的正面投影a，向H面投射得到A點(diǎn)的水平投影a，向W面投射得到A點(diǎn)的側(cè)面投影a。 2點(diǎn)的直角坐標(biāo)與投影規(guī)律 A點(diǎn)的3個(gè)直角坐標(biāo)（XA,YA,ZA）與其3個(gè)投影a、a、a的關(guān)系如下：點(diǎn)A到H面的距離： Aa =aaX=aaYW=OaZ=ZA點(diǎn)A到V面的距離： Aa=aaX =aaZ =OaY=YA點(diǎn)A到W面的距離：Aa=aaZ=aaYH =OaX=XA 點(diǎn)的正面投影a和側(cè)面投影a的連線(xiàn)垂直于OZ軸，即aaOZ。點(diǎn)的正面投影a和水平投影a的連線(xiàn)垂直于OX軸，即aaOX。點(diǎn)的水平投影a到OX軸的距離等于側(cè)面投影a到OZ軸的距離，即aaX=a

7、aZ。 點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律：【案例2-1】已知點(diǎn)B的投影b和b，求作b。 過(guò)b作直線(xiàn)垂直于OYW軸與45輔助線(xiàn)相交，過(guò)交點(diǎn)作直線(xiàn)平行于OX軸； 過(guò)b作直線(xiàn)垂直于OX軸，與以上直線(xiàn)相交于點(diǎn)b，即為所求?！景咐?-2】已知點(diǎn)A（18,10,15），求作A點(diǎn)的三面投影。 畫(huà)出投影軸，在OX軸上量取18，得到aX 過(guò)aX作OX的垂線(xiàn)，在此垂線(xiàn)上向下量取10得a；向上量取15得a 由投影a、a作出a 3特殊位置點(diǎn)的投影規(guī)律 （1）投影面上的點(diǎn)。投影面上的點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為0，有一個(gè)投影在投影面上，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。（2）投影軸上的點(diǎn)。投影軸上的點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為0，有兩個(gè)投影在投影軸上重合，

8、另一個(gè)投影在原點(diǎn)。（3）與原點(diǎn)重合的點(diǎn)。與原點(diǎn)重合的點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)都為0，3個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。2.3.1 兩點(diǎn)的相對(duì)位置 1兩點(diǎn)的相對(duì)位置 空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置是指兩點(diǎn)在空間的左右、前后、上下的位置關(guān)系，由兩點(diǎn)的坐標(biāo)差來(lái)決定。常選其中一點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)，以它為參照來(lái)判斷與另一點(diǎn)的相對(duì)位置。左右位置由正面和水平投影來(lái)判斷，X坐標(biāo)大的在左。前后位置由水平和側(cè)面投影來(lái)判斷，Y坐標(biāo)大的在前。上下位置由正面和側(cè)面投影來(lái)判斷，Z坐標(biāo)大的在上。 A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（XA,YA,ZA）和（XB,YB,ZB），若以A點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，則B點(diǎn)對(duì)A點(diǎn)的一組坐標(biāo)差分別為： X軸方向坐標(biāo)差：xXBXA Y軸方向坐標(biāo)差：yYBY

9、A Z軸方向坐標(biāo)差：zZBZA x、y、z為正時(shí)，則B點(diǎn)在A點(diǎn)的左、前、上方。若x、y、z為負(fù)，則B點(diǎn)在A點(diǎn)的右、后、下方。下圖的B點(diǎn)在A點(diǎn)的右、后、上方?！景咐?-3】已知點(diǎn)A的三面投影，點(diǎn)B在其右方14、上方12、前方8，求作B點(diǎn)的三面投影。 由aX沿X軸向右量取x=14，得到bX，過(guò)bX作直線(xiàn)垂直于OX軸，沿OYH軸向前量取y=8，得到b，沿OZ軸向上量取z=12，得到b。 由兩個(gè)投影求出第三投影 。 2重影點(diǎn) 當(dāng)空間兩點(diǎn)處于同一投射線(xiàn)上時(shí)，這兩點(diǎn)在該投射線(xiàn)垂直的投影面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。 重影點(diǎn)有兩個(gè)坐標(biāo)相同，可以由另一個(gè)不同的坐標(biāo)來(lái)判斷其可見(jiàn)性。對(duì)重合投影所在

10、投影面的距離，即對(duì)該投影面的坐標(biāo)值較大的那個(gè)點(diǎn)是可見(jiàn)的，而另一個(gè)點(diǎn)是不可見(jiàn)的，不可見(jiàn)的投影須加注括號(hào)。 對(duì)正面、水平和側(cè)面投影的重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判別分別是前遮后、上遮下、左遮右。 2.4 直線(xiàn)的投影 2.4.1 直線(xiàn)的三面投影2.4.2 各種位置直線(xiàn)的投影2.4.3 一般位置直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及與投影面的傾角 2.4.4 直線(xiàn)上的點(diǎn)2.4.5 兩直線(xiàn)的相對(duì)位置2.4.1 直線(xiàn)的三面投影 直線(xiàn)的投影一般仍為直線(xiàn)，特殊情況下積聚為一點(diǎn)。畫(huà)直線(xiàn)的投影，可先畫(huà)出直線(xiàn)兩端點(diǎn)的投影，然后用直線(xiàn)連接其同面投影。 2.4.2 各種位置直線(xiàn)的投影 按與投影面的相對(duì)位置，直線(xiàn)分為3類(lèi)：一般位置直線(xiàn)、投影面平行線(xiàn)和投影面垂直

11、線(xiàn)。后兩類(lèi)又稱(chēng)為特殊位置直線(xiàn)。 直線(xiàn)一般位置直線(xiàn)特殊位置直線(xiàn)投影面平行線(xiàn)投影面垂直線(xiàn) 與3個(gè)投影面都傾斜的直線(xiàn)，稱(chēng)為一般位置直線(xiàn)，它對(duì)H、V、W這3個(gè)投影面的傾角分別用、來(lái)表示，3個(gè)投影的長(zhǎng)度如下：ab=ABcosABab=ABcosABab=ABcosAB 一般位置直線(xiàn)的投影特性如下：（1）直線(xiàn)的3個(gè)投影的長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)。（2）直線(xiàn)的3個(gè)投影都與投影軸傾斜，且與投影軸的夾角均不反映空間直線(xiàn)對(duì)投影面的傾角。 1一般位置直線(xiàn)的投影特性 平行于一個(gè)投影面、傾斜于另外兩個(gè)投影面的直線(xiàn)稱(chēng)為投影面平行線(xiàn)。投影面平行線(xiàn)又分為以下3種：正平線(xiàn)：平行于V面，傾斜于H、W面。水平線(xiàn)：平行于H面，傾斜于V、W面。

12、側(cè)平線(xiàn)：平行于W面，傾斜于V、H面。 投影面平行線(xiàn)的投影特性總結(jié)如下：（1）直線(xiàn)在所平行的投影面上的投影為反映實(shí)長(zhǎng)的斜線(xiàn)，它與投影軸的夾角等于直線(xiàn)對(duì)另外兩個(gè)投影面的傾角。（2）其余兩投影的長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)，并平行于相應(yīng)的投影軸。投影面平行線(xiàn)的三面投影特性可以概括為“一斜兩平”，即三面投影中，一個(gè)是斜線(xiàn)，另兩個(gè)與相應(yīng)投影軸平行。 2投影面平行線(xiàn) 側(cè)平線(xiàn)（W，對(duì)V、H傾斜）水平線(xiàn)（H，對(duì)V、W傾斜）正平線(xiàn)（V，對(duì)H、W傾斜） 垂直于一個(gè)投影面、同時(shí)平行于另外兩個(gè)投影面的直線(xiàn)稱(chēng)為投影面垂直線(xiàn)。投影面垂直線(xiàn)又可分為以下3種。正垂線(xiàn)：垂直于V面，平行于H、W面。鉛垂線(xiàn)：垂直于H面，平行于V、W面。側(cè)垂線(xiàn)：

13、垂直于W面，平行于V、H面。投影面垂直線(xiàn)的投影特性總結(jié)如下。（1）直線(xiàn)在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。（2）其余兩投影反映線(xiàn)段實(shí)長(zhǎng)，并分別垂直于相應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線(xiàn)的三面投影特性可以概括為“一點(diǎn)兩垂”，即三面投影中，一個(gè)積聚成點(diǎn)，另兩個(gè)與相應(yīng)投影軸垂直。3投影面垂直線(xiàn)側(cè)垂線(xiàn)（W，OX）鉛垂線(xiàn)（H，OZ）正垂線(xiàn)（V，OY）2.4.3 一般位置直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及與投影面的傾角 直角三角形法求一般位置直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面傾角的方法。 一般位置直線(xiàn)AB的投影如圖所示，在四邊形ABba中，過(guò)A點(diǎn)作AB1/ab，交Bb于B1點(diǎn)，得到直角三角形ABB1。其中一條直角邊AB1=ab；另一直角邊BB1=B

14、bAa=Z，即線(xiàn)段兩端點(diǎn)對(duì)H面的距離差；斜邊AB即為空間線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)；AB與AB1的夾角就是AB對(duì)H面的傾角。 在投影圖中求線(xiàn)段AB的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)H面的傾角的步驟如下： 以水平投影ab為一直角邊； 過(guò)b作ab的垂線(xiàn)，在其上量取bBo=ZBZA=Z，以Z為另一直角邊； 連接aBo得直角三角形abBo，其中斜邊即為線(xiàn)段AB的實(shí)長(zhǎng)，斜邊與水平投影ab的夾角即為AB對(duì)H面的傾角。 另一種直角三角形法的作圖方法，步驟如下： 過(guò)a作OX軸的平行線(xiàn)與bb交于點(diǎn)b0； 量取b0A0=ab； 連接bA0得直角三角形bA0b0，其中斜邊bA0即為線(xiàn)段AB的實(shí)長(zhǎng)，bA0b0為AB對(duì)H面的傾角。 直角三角形法的作圖要領(lǐng)總結(jié)

15、：以線(xiàn)段在某一投影面上的投影長(zhǎng)作為一條直角邊，再以線(xiàn)段的兩端點(diǎn)對(duì)于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)，斜邊與投影長(zhǎng)之間的夾角即為線(xiàn)段對(duì)該投影面的傾角。 直角三角形法中有4個(gè)要素：實(shí)長(zhǎng)、投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差及直線(xiàn)對(duì)投影面的傾角，只要知道其中的任意兩個(gè)，便可確定出另外兩個(gè)?！景咐?4】已知線(xiàn)段AB的水平投影ab、點(diǎn)A的正面投影a及AB對(duì)H面的傾角=30，求線(xiàn)段AB的正面投影ab。 由ab和=30作直角三角形abB； 過(guò)a作OX軸的平行線(xiàn)，過(guò)b作OX軸的垂直線(xiàn)，由兩直線(xiàn)的交點(diǎn)向上、向下量取bB，即得B點(diǎn)的正面投影b； 連接ab即為所求，此題有兩解。 【案例25】已知線(xiàn)段A

16、B的正面投影ab、點(diǎn)A的水平投影a、AB的實(shí)長(zhǎng)30，求線(xiàn)段AB的水平投影ab。 過(guò)b作OX軸的垂線(xiàn)，過(guò)a作OX軸的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于b0； 以b為圓心、30為半徑畫(huà)弧，與ab0的延長(zhǎng)線(xiàn)交于A0； 以a為圓心、b0A0為半徑畫(huà)弧，與bb0的延長(zhǎng)線(xiàn)交于b； 連接ab即為所求。 2.4.4 直線(xiàn)上的點(diǎn) 若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)的各面投影必在該直線(xiàn)的同面投影上；反之，如果點(diǎn)的各面投影都在直線(xiàn)的同面投影上，則該點(diǎn)一定在該直線(xiàn)上。屬于直線(xiàn)上的點(diǎn)，其投影仍屬于直線(xiàn)的投影，且點(diǎn)分線(xiàn)段的比例投影后不變，即AKKB=akkb=akkb=akkb。 已知直線(xiàn)AB的正面投影ab、水平投影ab以及直線(xiàn)上點(diǎn)K的正面投影k，求其水

17、平投影k。 方法1：1求出AB的側(cè)面投影ab；2求出K的側(cè)面投影k；3依投影規(guī)律，由k、k求出k 。方法2：1過(guò)a點(diǎn)作輔助線(xiàn)；2量取a k0=ak，k0 b0 =kb；3連接b0 b，過(guò)k0作b0b的平行線(xiàn)交ab于k點(diǎn)，即為所求。 2.4.5 兩直線(xiàn)的相對(duì)位置空間兩直線(xiàn)的相對(duì)位置 同面直線(xiàn) 異面直線(xiàn) 平行 相交 交叉 若空間兩直線(xiàn)相互平行，則它們的各組同面投影必相互平行；反之，若兩直線(xiàn)的各組同面投影均相互平行，則兩直線(xiàn)在空間必定相互平行。1兩直線(xiàn)平行 兩直線(xiàn)平行的判定方法如下：（1）當(dāng)兩直線(xiàn)均為一般位置時(shí)，只要有兩對(duì)同面投影互相平行就可判定兩直線(xiàn)在空間平行。（2）當(dāng)兩直線(xiàn)均為某一投影面的平行線(xiàn)

18、時(shí)，則需根據(jù)它們?cè)谒叫械哪莻€(gè)投影面上的投影是否平行來(lái)判定兩直線(xiàn)是否平行。（a）平行 （b）不平行 若空間兩直線(xiàn)相交，則它們的各組同面投影都相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律；反之，若兩直線(xiàn)的各組同面投影都相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則該兩直線(xiàn)在空間必相交。 當(dāng)直線(xiàn)為某一投影面的平行線(xiàn)時(shí)，它們是否相交需要進(jìn)一步判斷，通常有以下兩種判定方法。 2兩直線(xiàn)相交 （1）用定比的方法判定。（2）用兩條直線(xiàn)的第三投影來(lái)判定。 直角投影定理如果兩直線(xiàn)垂直，只要其中一條直線(xiàn)為投影面平行線(xiàn)，則在所平行的投影面上兩直線(xiàn)的同面投影必相互垂直。 已知直線(xiàn)AB與直線(xiàn)BC在空間相互垂直，AB平行于H面。因?yàn)锳BB

19、C，ABBb，由幾何定理可知：AB必垂直BC和Bb所決定的平面Q及Q面上的任一直線(xiàn)（如BC1、BC2、bc等），又已知ABab，所以ab也必垂直于Q面及Q面上的任一直線(xiàn)，即abcb 。 兩直線(xiàn)的一個(gè)投影互相垂直，在空間不一定互相垂直，只有符合直角投影定理的條件才是空間相互 垂直的直線(xiàn)。 如果空間兩直線(xiàn)既不平行也不相交，則稱(chēng)為兩直線(xiàn)交叉。交叉兩直線(xiàn)的投影可能有1組、2組甚至3組都是相交的，但它們的交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，是重影點(diǎn)的投影。 判斷交叉兩直線(xiàn)重影點(diǎn)可見(jiàn)性的步驟為：從重影點(diǎn)入手畫(huà)一根垂直于投影軸的直線(xiàn)到另一個(gè)投影，就可以得到重影點(diǎn)不重合的兩個(gè)投影點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)中坐標(biāo)值大的點(diǎn)為可見(jiàn)點(diǎn)，坐標(biāo)值小的點(diǎn)為不可見(jiàn)點(diǎn)，不可見(jiàn)點(diǎn)的投影應(yīng)加括號(hào)。 3兩直線(xiàn)交叉2.5 平面的投影 2.5.1 平面的表示法2.5.2 各種位置平面的投影2.5.3 平面上的直線(xiàn)和點(diǎn) 2.5.1 平面的表示法 不在同一直線(xiàn)上的3個(gè)點(diǎn)；直線(xiàn)及直線(xiàn)外一點(diǎn)；兩平行直線(xiàn)；兩相交直線(xiàn)；任意平面圖形。 平面的空間位置可由下列幾種方法來(lái)確定：2.4.2 各種位置平面的投影 根據(jù)與投影面的相對(duì)位置不同，平面分為3類(lèi)：一般位置平面、投影面平行面和投影面垂直面。后兩類(lèi)又稱(chēng)為特殊位置平面。 平面一般位置平面特殊位置平面投影面平行面投影面垂直面 對(duì)3個(gè)投影面都傾斜的平面稱(chēng)為一般位置平面。平面對(duì)H、V、