1、一簡(jiǎn)答題晶格常數(shù)為 a 的體心立方、面心立方結(jié)構(gòu)，分別表示出它們的基矢、原胞體積以及最近鄰的格點(diǎn)數(shù)。（答案參考教材 P78） a (i j k )12a1體心立方基矢：2(i j k )，體積： a3 ，最近鄰格點(diǎn)數(shù)：822 a (i j k )32 a (i j)1面心立方基矢：22a1( j k )，體積： a3 ，最近鄰格點(diǎn)數(shù)：1224 a (k i)32習(xí)題 1.5、證明倒格子矢量G h bh bh b垂直于密勒指數(shù)為(h h h) 的晶面系。1 12 23 31 2 3證明：因?yàn)镃A a a1aa3 , CB 2 3hh13h2h3， G h b h b h b1 12 23 3利用

2、a b 2G，容易證明 1 2 CA 03ijijh h hGh h h CB 01 2 3所以，倒格子矢量G h b h b h b垂直于密勒指數(shù)為(h h h) 的晶面系。1 12 23 31 23習(xí)題 1.6、對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格，證明密勒指數(shù)為(h, k, l) 的晶面系，面間距d 滿(mǎn)足： d 2 a2 (h2 k 2 l 2 ) ，其中a 為立方邊長(zhǎng)；解：簡(jiǎn)單立方晶格： a a12 a ， a31 ai , a2 aj , a3 ak3ba2 aa a3a a12由倒格子基矢的定義： 21a a a123，b 212a a a123，b 23a a a123倒格子基矢： b1 2ai ,

3、 b2 2aj , b3 2 k a倒格子矢量： G hb1kb2lb3， G h222i kj lk aaaG( h )2 ( k )2 ( l )2aaa晶面族(hkl) 的面間距： d 214.習(xí)題 1.9、畫(huà)出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面與（100）面、（111）面與（110）面的交線的晶向。解： (111)、(111)面與(100)面的交線的 AB，AB 平移，A 與 O 點(diǎn)重合，B 點(diǎn)位矢：R aj ak ，B(111)面與(100)面的交線的晶向 AB aj ak ，晶向指數(shù)0 11。、(111)面與(110)面的交線的 AB，將AB 平移

4、，A 與原點(diǎn) O 重合，B 點(diǎn)位矢：R ai aj ，(111)面與(110)面的交線的晶向 AB ai aj ，晶向指數(shù)110 。B固體中基本結(jié)合類(lèi)型有哪些？原子之間的排斥作用取決于什么原因？基本類(lèi)型：離子性結(jié)合，共價(jià)結(jié)合，金屬性結(jié)合和范德瓦爾結(jié)合四種基本形式相鄰的原子靠得很近, 以至于它們內(nèi)層閉合殼層的電子云發(fā)生重疊時(shí), 相鄰的原子間便產(chǎn)生巨大排斥力 . 也就是說(shuō), 原子間的排斥作用來(lái)自相鄰原子內(nèi)層閉合殼層電子云的重疊.（答案參考教材 P49）什么是聲子？聲子就是指格波的量子，它的能量等于 q 。在晶體中存在不同頻率振動(dòng)的模式，稱(chēng)為晶格振動(dòng)。晶格振動(dòng)能量可以用聲子來(lái)描述，聲子可以激發(fā)，也可

5、以湮滅。（答案參考教材 P92）對(duì)于一維雙原子鏈，在第一布里淵區(qū)內(nèi)繪出色散關(guān)系 WK 示意圖，并說(shuō)明光學(xué)模式和聲學(xué)模式所反映的物理意義。（答案參考教材 P9597）解：（1）一維雙原子鏈，在第一布里淵區(qū)內(nèi)繪出色散關(guān)系 WK 示意圖如下上面線條表示光學(xué)波，下面線條表示聲學(xué)波。（2）當(dāng)波矢 q 很小時(shí)，w 與 q 的關(guān)系類(lèi)似于聲波，此格波也可用超聲波來(lái)激發(fā)，因此稱(chēng)為聲學(xué)波，而離子晶體中的頻率為 w 的格波可以用光波來(lái)激發(fā)，而且晶體有的光學(xué)性質(zhì)與這一支波有關(guān)，故稱(chēng)為光學(xué)波。試用能帶論簡(jiǎn)述導(dǎo)體、絕緣體、半導(dǎo)體中電子在能帶中填充的特點(diǎn)。導(dǎo)體：除去完全充滿(mǎn)的一系列能帶外，還有只是部分的被電子填充的能帶，后

6、者可以起導(dǎo)電作用，稱(chēng)為導(dǎo)帶;絕緣體：電子恰好填滿(mǎn)最低的一系列能帶，再高的各能帶全部都是空的，由于滿(mǎn)帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在很多電子，并不導(dǎo)電；半導(dǎo)體：由于存在一定的雜質(zhì)，使能帶填充情況有所改變，使導(dǎo)帶中有少數(shù)電子，或滿(mǎn)帶中缺了少數(shù)電子，從而導(dǎo)致一定的導(dǎo)電性，即使半導(dǎo)體中不存在任何雜質(zhì)，也會(huì)由于熱激發(fā)使少數(shù)電子由滿(mǎn)帶熱激發(fā)到導(dǎo)帶底產(chǎn)生本征導(dǎo)電.(答案參考教材 P250254)請(qǐng)問(wèn)德拜模型的基本假設(shè)是什么？基本假設(shè)：以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波，晶體就是彈性介質(zhì)，徳拜也就是把晶格當(dāng)做彈性介質(zhì)來(lái)處理的。（答案參考教材 P126129）晶體由 N 個(gè)原子組成，試求出德拜模型下的態(tài)密度、德拜頻率的表達(dá)

7、式態(tài)密度： g() 3V2 ，頻率表達(dá)式： _m C_ 6 2 ( NV)1/32 2 C3答案參考教材 P127129簡(jiǎn)述 Bloch 定理, 該定理必須采取什么邊界條件？（答案參考教材 P154157）（1）當(dāng)勢(shì)場(chǎng)具有晶格周期性時(shí)，波動(dòng)方程的解 具有如下性質(zhì)： (r R) eik Rn (r)，其中k 為一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：當(dāng)平移晶格矢量 Rn時(shí)，波函數(shù)只增加了位相因子 e ikRn 。（2）邊界條件： (r) (r N )11其中 N ， N12， N 為沿，312，方向的原胞數(shù)，總的原胞N= N ? N312? N 。3二、證明 or 計(jì)算題已知某晶體中相距為 r 的相

8、鄰原子的相互作用勢(shì)能可表示為：U (r) rm ，其中 、 、mn 都是0 的常數(shù)，求：rn平衡時(shí)兩原子間的距離；平衡時(shí)結(jié)合能； 思路參考教材 P5354解：（1）求平衡間距 r0du(r)dr由r r0 0 ，有：結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來(lái)，這個(gè)能量稱(chēng)為結(jié)合能（用 w 表示）（2）求結(jié)合能 w（單個(gè)原子的）題中標(biāo)明單個(gè)原子是為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，說(shuō)明組成晶體的基本單元是單個(gè)原子，而非原子團(tuán)、離子基團(tuán)，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時(shí)，晶體的勢(shì)能，即Umin11即：W U (r ) ()（可代入 r 值，也可不代入）202rmrn000已知 N

9、個(gè)質(zhì)量為 m，間距為 a 的相同原子組成的一維原子鏈， (1)推導(dǎo)其色散關(guān)系(2)試?yán)L出整個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)的色散關(guān)系，并說(shuō)明截止頻率的意義。? (3)試求出它的格波態(tài)密度函數(shù) g()，并作圖表示。解：（1） m ( ) ( ) ( 2 )nn 1nnn 1n 1n 1n設(shè)方程的解n Aeit naq ,代回方程中得到：2 241maq21 cos aq sin2 (aq) ， 2sinmm2（2） ，截止頻率范圍以外的 q 值并不能提供其他不同的波，q 的取值范圍稱(chēng)為布里淵區(qū)。3V_（3） g() 2 ，代入 即可得出。2 2 C3答案參考教材 P8287習(xí)題 4-3. 電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)1

10、V x 2m2 b2x na2 , 當(dāng)na b x na b0, 當(dāng) n 1 a b x na b其中 a 4b ， 為常數(shù)，畫(huà)出此勢(shì)能曲線，并求其平均值；用近自由電子近似模型求出晶體的第一個(gè)以及第二個(gè)禁帶的寬帶。 解 ：(I)題設(shè)勢(shì)能曲線如下圖所示(2)勢(shì)能的平均值：由圖可見(jiàn)，V (x) 是個(gè)以a 為周期的周期函數(shù)，所以題設(shè) a 4b ，故積分上限應(yīng)為 a b 3b ，但由于在 b,3b區(qū)間內(nèi)V (x) 0 ， 故只需在b,b區(qū)間內(nèi)積分這時(shí)， n 0 ，于是V 1 b V (x)dx m2 b(b2 x2 )dx m2b2 x b1x3 b1 mb2 。ab2ab2ab3b 6（3），勢(shì)能在

11、-2b,2b區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)利用積分公式 u2 cos mudu 16m2umu sin mu 2cos mu m22 sin mu 得m3E 1g 3m2b2 第二個(gè)禁帶寬度 Eg2 x 2 V2,以m 2代入上式,代入上式2m2Eg2b b (b2 x2 )cos0dx 再次利用積分公式有E b2 bg2 24-3 用緊束縛近似求出面心立方金屬和體心立方金屬中與 s 態(tài)原子能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶的 k 函數(shù)。解：（1）如只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中S態(tài)電子的能量可表示成：在面心立方中，有12個(gè)最近鄰，若取 Rm 0 ，則這12個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是：aaaa

12、(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1, 1,0)2222aaaa(0,1,1),(0,1,1),(0, 1,1),(0, 1, 1)2222aaaa(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0, 1)2222由于S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ(chēng)的，在各個(gè)方向重疊積分相同，因此 J (RS) 有相同的值，簡(jiǎn)單表示為J = J (R ) 。又由于s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱(chēng)，即 (r ) (r )1Sss在近鄰重疊積分J (R) *( R) U () V (R)()d 中，波函數(shù)的貢獻(xiàn)為正J 0。1sissi于是，把近鄰格矢 RS代入 Es (RS) 表達(dá)式得到： aaaa= JS0J e1 i

13、 (k k )2xyei 2 (kx ky )ei 2 ( kx ky )ei 2 ( kx ky )eai(k k )a2yzae i 2 (ky kz )aae i 2 (ky kz )aae i 2 (ky kz ) +aei (k k )2xzei 2 (kx kz )ei 2 (kx kz ) ei 2( kx kz ) = J2Ja k ) a k) a k ) a k )S01 cos 2 (kxcos(k2xy cos 2 (kycos(k2yz = Jaaaaaas04J1 cos 2 kx cos 2 kycosk cosk2y2zcos 2 kz cos 2 kx （2）對(duì)于體心立方：有8個(gè)最近鄰，這8個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是：習(xí)題 5-1. 晶格常數(shù)為 的一維晶體電子能量試求：能帶寬度；波矢為 k 的電子速度；能帶底部和頂部的電子有效質(zhì)量解：（1） E(k ) 2(7 cos ka 1 cos 2ka)ma288271= coska+ (2cos2ka1)ma288