1、青島版2020九年級數(shù)學(xué)1.2怎樣判定三角形相似自主學(xué)習(xí)培優(yōu)練習(xí)題1（附答案詳解）1 .如圖，在平行四邊形 ABCD中，EF / AB交AD于E,交BD于F, DE: EA=3: 4, EF=6,貝 U CD 的長為（）A. 14B. 17C. 8D. 122.如圖，直角 ABC中，/B=30,點點E,過點E作EFXAB交BC于點F,是ABC的重心，連接 CO并延長交AB于僂AF交CE于點M ,則竺?的值為（）乳F2班C. yD.333.如圖，直線l J/ l 2/ l 3,直線AC分別交l 2, l 3于點D, E, F. AC與DF相交于點H,且l1, l2, l3于點A, B, C;直線

2、DF分別交l1,AH=2, HB=1, BO5,則的值為（）4.如圖，在 ABC中，點D、EAB、AC 上，DE/BC, AD : DB 1:2,那么S：ADE ：S ABC 的比值等于（） du5.下列各組圖形中不一定相似的是（A.各有一個角是45。的兩個等腰三角形B.各有一個角是60。的兩個等腰三角形C.各有一個角是105 的兩個等腰三角形D.兩個等腰直角三角形6.如圖，在矩形 ABCD中，AB=2 , BC=3 .若點E是邊CD的中點，連接 AE,過點B作BFXAE交AE于點F,則BF的長為Rc33振A . B.25.如圖，在 4ABC 中，A 60 , BE &AEF和 ABC的周長比

3、為().AA .后 2B, 1:2.如圖，已知在RtAAEC中，ZC = 9重心，則點P到久B所在直線的距離等于(第5坳)A. 1B. 近.如圖，止方形 ABCD的邊長為4cm, 作直線分別與 AD、BC相交于點P、Q.ADSJ*()C叵D空CD55三、CF分別是AC、AB邊上的高，連接EF ,C. 3:4D. 1: 40: , AC = BC，B = 6 ,點P 是RtAABC 的 ()C. ：D. 2E為CD邊的中點，M為AE的中點，過點 M 若PQ-AE,則AP等于cm.10.如圖，已知： CAB DEB,貝BD- CA=11 .如圖， ABC中，AE交BC于點D, /C=/E, AD

4、= 4, BC=8, BD： DC = 5: 3, 則DE的長等于.EAG，.如圖，在SBCD中，E、F分別是AB、AD的中點，EF交AC于點G ,則 的值A(chǔ)C.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。O, AD=2 ,弦AE平分BC交BC于P,連接CE,則CE的長為.如圖，直線11412 / 13,等腰直角三角形 ABC的三個頂點 A, B, C分別在11, 12,13上，ACB 90 , AC交12于點D,已知11與12的距離為1, 12與13的距離為3,AB則的值為BD.如圖，在四邊形 ABCN, /A=/B,點E為AB邊的中點，/ DEC=/ A.有下列結(jié)論:DE平分/ AECCE平分/ DEBD

5、E平分/ ADCEC平分/ BCD其中正確的是.(把所以正確結(jié)論的序號都填上).如圖，DE是ABC勺中位線，DC BE相交于點 Q O屋2.則BE的長為.如圖，在 RtABC中，/ C=90 , AC=4cm, BC=5cm,點 D在邊 BC上，且 CD=3cm, 現(xiàn)有兩個動點 P、Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點 P以1cm/s的速度沿AC向終 點運動；點 Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點C運動，過點P作PE/ BC交AD于點E, 連接EQ設(shè)動點運動時間為 ts (0vt1時，四邊形EQDP!歸夠成為平行四邊形嗎？請說明理由；(2)連接PQ在運動過程中，不論 t取何值，總有PQ與AB

6、平行.為什么？(3)當(dāng)t為何值時， EDQ為直角三角形？C3.如圖，已知 AC LAB, BD AB , AO = 78cm , BO = 42cm, CD = 159cm,求 CO 和19.已知正方形ABCD的對角線AC , BD相交于點口 .(1)如圖1, E , G分別是OB , 0C上的點，CE與DG的延長線相交于點F .若DF_LCE,求證：OE = OG;(2)如圖2, H是BC上的點，過點H作EH-LBC ,交線段0B于點E ,連結(jié)DH交CE于點F,交0C于點G .若0E上。，求證：匚ODG=-OCE；當(dāng)AB = 1時，求HC的長.(第四篇)20.如圖，在那BC中，AB=8cm,

7、 BC=16cm,動點P從點A開始沿 AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為 4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么何時 4QBP與4ABC相似？21 .如圖，在 ABC 中，ADXBCDEXAB, DFXAC,垂足分別為點 D、E、F.(1)求證：AD2 AE AB；(2)聯(lián)結(jié) EF,求證：AE BC EF AC .如圖，AD是 ABC7卜角/ EAC勺平分線，AD與 ABC的外接圓交于點 D, AC, BD相交于點P,連接CD.求證：AB： BD= BP： PC.已知，在 ABC中，三條邊的長分別為 2, 3, 4, ABC的兩邊長分別為1, 1.5, 要使

8、 ABCA ABC ,求 A BC中的第三邊長.如圖，CD是。的弦，AB是直徑，CDLAB,垂足為P,求證：PC2= PA PBD參考答案A【解析】. DE: EA=3: 4,DE: AD=3: 7.: EF / AB, e EF :AB=DE :AD=3 : 7,AB=6X73=14.四邊形ABCD是平行四邊形，CD=AB=14.故選A.D【解析】試題分析：點O是4ABC的重心，.OC= CE, ABC是直角三角形，CE=BE=AE ,. Z B=30 ,Z FAE= Z B=30 , / BAC=60 , . . / FAE= / CAF=30 , ACE 是等邊三角形 /.CM= -CE

9、, .-.OM=- CE- - CE=-CE,即 OM= AE , BE=AE , . . EF= AE ,232663 EFXAB , Z AFE=60 , . . / FEM=30 , MF= - EF, .MF=MEaE,26二 4 Jr=F=故選 D .叱西AE 36考點：三角形的重心；相似三角形的判定與性質(zhì)；綜合題.D試題解析：= AH=2 , HB=1 ,AB=3 ,11 / 12/ 13,DE AB 3EF BC 5故選D.D解:. AD: DB=1: 2, AD: AB=1 : 3, DE/ BC, ADEA ABC, z. Si|ADE ： S1ABe =1 du:9.故選D

10、.A【解析】【分析】判定三角形相似的方法：有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似.【詳解】解：A、由已知我們可以得到這是兩個正三角形，從而可以根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似判定這兩個三角形相似；B、不正確，因為沒有指明這個45。的角是頂角還是底角，則無法判定其相似；C、正確，已知一個角為 105 ,則我們可以判定其為頂角，這樣我們就可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似判定這兩個三角形相似；D、正確，因為是等腰直角三角形，則我們可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似

11、來判定這兩個三角形相似.故選B.【點睛】本題考查學(xué)生對常用的相似三角形的判定方法的掌握情況，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法.B【解析】試題分析：如圖，連接 BE.二.四邊形ABCD是矩形，AB=CD=2 , BC=AD=3 , / D=90 ,在 RtAADE 中，AE=TT = J： 一 =/ ,SzlABE =- S 矩形 ABCD =3=q？AE?BF,BF= -2L.故選 B.考點：相似三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì).7. B【解析】BAC 60AC BEAB CF ,ACFABE 30BEC BFC 90 , 1OBFs|OCE ,OFOE OFOBOBOC OE .sin

12、30OC又 FOE BOC,FOEs BOC,.空 1BC 2 又.尤AE 1AC AB 2sC AEF 1CABC 2CD=3,8. A試題分析：如圖，根據(jù)三角形的重心是三條中線的交點，根據(jù)等腰直角三角形可知 可連接CP并延長交AB于D,則/CDB=90，連接BP交AC于點E,并延長到F,使EF=PE, 然后可知AEFCEP,可得/FAD=90 , CP=AF=3-DP ,因此可根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩PD SDPD 3三角形相似，可得 ABPDABFD,即 丁二二一，由此得到二=-,解得PD=1.AF Al3 P口 6故選：A.考點：1、三角形的重心，2、等腰直角三角形，3、相似三角形的判定與

13、性質(zhì)1.5 或 2.5【解析】過P作PNXBC,交BC于點N,如圖所示:貝叱 PNQ=/APN=90 ,四邊形 ABCD為正方形，邊長為4cm, E為CD邊的中點, . AD=DC=PN=4 , /D=90 , DE = 2;AE=4222 2 5,在 RtAADff口 RtAPNCfr,AE ADPQPN. .eAD竄Rt APNQ( HL),./DAEW NPQ./APQ+NPQ=90 ,. / APQ+DAE=90 ,./AMP=90 ,M為AE的中點，1 . ，一 AM=- AE = V5 , 2/ AMP= / D=90 , / PAM= / EAD , .APMsAED ,AP A

14、M口口 AP5一，即7=，AE AD 2AABD 的中位線，.EF/DB,且EF = 1DB,AEFAADB, 任 如2AD AOEF AE 1AG 1, -, AGDB AD 2AO 2= GO,又 OA=OC, . AG: GC=1 : 3, . AG: GC=1 : 4,故答案為:點睛：考查了三角形的中位線，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.13.2、5【解析】試題分析：根據(jù)題意可知 AB=2 BP=1,根據(jù)勾股定理可知 AP=/5 ,根據(jù)圖像可得: ABP和4CEP相似，則-PC- CE,即 / CE ,解得：CE=2匹. AP AB .525點睛：本題主要考查的就是圓的

15、基本性質(zhì)以及三角形相似的應(yīng)用.解決本題的關(guān)鍵就是能夠根據(jù)題意得出三角形相似，然后根據(jù)相似的性質(zhì)求出未知線段的值.在解答圓中的相似問題時，我們一定要學(xué)會根據(jù)弧和角之間的關(guān)系得出角相等，然后再利用相似進(jìn)行計算.在圓里面的很多題目我們需要通過轉(zhuǎn)化成直角三角形來進(jìn)行求解14.返如圖所示，過點 A作AF 13于點F ,交直線12于點G .所以 ADG ACF ,又 DAG CAF ,&ADGsacf ,.AD AG 1AC AF 4 拓1-故 AD -AC . 4設(shè) AD x ,則 AC BC 4x ,在RtABC中，由勾股定理得，AB Jac2 BC2 4 4x 24x 472x ,DC AC AD

16、3x.在RtBCD中，由勾股定理得BD JCD2 BC2 3x 247T 5x ,西 AB 4、2x 4.2故BD 5x 5點睛：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點，學(xué)會添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出相似三角形， 能綜合運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.【解析】試題分析：在 ADE中，/ADE廿AED廿A=180 ,又/ AED廿DEC4 BEC=180 ,可得/ ADE+ / AED+ / A = / AED+ / DEC+ / BEC ,由 / A= / DEC ,可得/ ADEW BEC 又ZA=Z B,根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似，可得 ADEsB

17、EC,可得匹 生，又EC BCAE=BE得到DE 霹，又/ DEC=Z B,根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似， 可知ACDEs CEB ,然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，可得/ DCE= / BCE,因此EC平分/BCD即成立；同理4AD曰AEDC 因此DE平分/ ADC即成立；而DE平分/AEC不一定成立；CE平分/ DEB不一定成立.故答案為：.6.【解析】試題分析：根據(jù)中位線的性質(zhì)可得：DE/BC, DE= - BC ,則DOEsCOB,則2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark66 o Current Document OEDE1-,解得：OB

18、=2OE=4 ,則BE=OB+OE=4+2=6. HYPERLINK l bookmark69 o Current Document OBBC2點睛：本題主要考查的就是三角形相似的判定與應(yīng)用以及三角形中位線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵就是根據(jù)中位線的性質(zhì)得出三角形相似.三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.一般相似三角形的判定定理：（1）、如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似（簡敘為兩角對應(yīng)相等兩三角形相似）；（2）如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似（簡敘為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似）；（3）

19、、如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似（簡敘為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似）.（1） （2）見解析（3）當(dāng)t=2.5秒或t=3.1秒時， ED汕直角三角形.【解析】(1)先根據(jù)點P以1厘米/秒的速度沿AC向終點C運動，點Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點C運動求出1秒后AP及BQ的長，進(jìn)而可得出QDM的長，再由PEE/ BC可知APACPECD 故可得出PE=QD由PEE/ BC即可得出結(jié)論;PC CQ(2)先用t表不出PC及CQ的長，再求出 一即可得出結(jié)論;AC BC(3)分/ EQP=90 , /QED=90兩種情況，通過三角形相似，列出比例

20、關(guān)系，求出 t的值即可.解：(1)能,如圖1,點P以1厘米/秒的速度沿 AC向終點C運動，點Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點C運動，t=1秒,.AP=1 厘米，BQ=1.25 厘米，,. AC=4cm, BC=5cm,點 D在 BC上，CD=3cm, .PC=AG AP=4 1=3 （厘米）,QD=BO BQ- CD=5- 1.25 - 3=0.75 （厘米）, PE/ BCPE 丘 /口一，解得 PE=0.75,.APm AACD,AP PE1 1,AC CD 4 4 PE/ BG PE=QD四邊形EQD混平行四邊形;（2）如圖2,點P以1厘米/秒的速度沿 AC向終點C運動，點Q以1.

21、25厘米/秒的速度沿BC向終點C運動，PC=AG AP=4- t , QC=BC BQ=5- 1.25t ,PC 4 t t CQ 5 1.25t / t一 1- 1 -，AC44BC 54,PC CQAC BC 又/ C=Z C,.CP賀 ACAB/ CPQg CABPQ/ AB;(3)分兩種情況討論：如圖3,當(dāng)/ EQD=90 時，顯然有 EQ=PC=4 t ,又 EQ/ AC.EDQo AADC,EQ DQ AC DC .BC=5 厘米，CD=3 厘米，.BD=2 厘米，.DQ=1.25t- 24 t 125t 2土1.25t 2 ,解得=2.5 （秒43如圖4,當(dāng)/QED=90時，作

22、EM/LBC于M, CNLAD于N 則四邊形 EMC屋矩形，EM=PC=4t,在 RtACD中，.AC=4 厘米，CD=3 厘米，AD=AC2 CD2 =5，.c AC CD 12 CN= AD 5 /CDAW EDQ /QED=C=90 ,.EDQ ACDA.DQEQ EM TOC o 1-5 h z ADACCN ,1.25t 25 4 t一 ）512解得t=3.1 （秒）.綜上所述，當(dāng)t=2.5秒或t=3.1秒時， EDQ為直角三角形.“點睛”此題是四邊形縱綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判定出 APAACID解（2）的關(guān)鍵

23、是判斷出PC CQ，解（3）的關(guān)鍵是用分類討論的思想解決問題.AC BCCO 103.35cm,DO55.65cm【解析】試題分析：根據(jù)題意，易證 |AOCs|bDO ,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，列出比例式 即可解得co和do的長.試題解析：設(shè)DO xcm,則CO 159 x cm.；AC AB,BD AB, A B 90, AOC BOD.&AOCS&BOD.AO CO .BO DO即Z8 15942 xx 55.65.CO 103.35cm, DO 55.65cm.點睛：兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似.(1)證明見解析(2)證明見解析史二1【解析】試題分析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，可根據(jù)三

24、角形全等的判定( ASA)與性質(zhì)求證即可；(2)同(1)中，利用上面的結(jié)論，根據(jù) SAS可證的結(jié)論；設(shè)CH=x ,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)可得,然后列方HC CD程求解即可.試題解析：(1)證明：二四邊形ABCD是正方形AC BD , OD=OC/ DOG= / COE=90./ OEC+Z OCE=90 DFXCE./ OEC+Z ODG=90/ ODG= / OCE. DOGA COE (ASA)OE=OG(2)證明：-. OD=OC , /DOG=/COE=90又 OE=OG. DOGA COE (SAS)/ ODG= / OCE解：設(shè)CH=x,四邊形ABCD是正方形

25、，AB=1BH=1-x/ DBC= / BDC= / ACB=45 EHXBC/ BEH= / EBH=45EH=BH=1-x / ODG= / OCE / BDC- / ODG= / ACB- / OCE/ HDC= / ECH EHXBCEHC= / HCD=90. CHEA DCH.EH HCHC CDHC2=EHCD得 x2+x-1=0解得.與招=考口（舍去）- HC- v- HC-3、相似三角形的判定與性質(zhì)，4、考點：1、正方形的性質(zhì)，2、全等三角形的判定與性質(zhì), 解一元二次方程. 2秒或0.8秒【解析】試題分析：設(shè)經(jīng)過t秒時,以 AQBC 與 AABC 相似，貝U AP=2t,BP

26、=8-2t, BQ=4t,利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行分類討論：當(dāng)BP BQ g時,BA BCBPBPQs/ BAC 當(dāng)BC試題解析：設(shè)經(jīng)過t秒時,BQ時，BPQsBCA.BA以 AQBC與祥BC相似，則 AP=2t,BP=8-2t, BQ=4t,. / PBQ=Z ABC,.當(dāng)史BA8 2t8BPBQ j 人時，BPQsBAC,BC4t一，解得 t=2 (s);16BQBC BA8 2t 4t時，ZBPQc/3ABCA,168綜合上述，經(jīng)過,解得 t=0.8 (s);2秒或0.8秒時，4QBC與AABC相似.見解析【解析】 試題分析：（1）證明 AEDs ADB即可得出結(jié)論;（2）通過證明 EAFsCAB即可.試題解析：證明：（1） DE AB, ADXBC.AED BDA又 EAD DAB .|AEDsaDB .AEAD2 AD2 AE AB.(2)同(1)可得：AD2