1、2019-2020年高三數學一輪復習 第3篇 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應用課時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號用正、余弦定理解三角形1、2、7、8、11與面積有關的問題6、10、15判斷三角形形狀3、13實際應用問題5、9綜合應用4、12、14、161.(2014北京西城模擬)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=3,b=2,cos(A+B)= QUOTE ,則c等于(D)(A)4(B) QUOTE (C)3(D) QUOTE 解析:cos(A+B)= QUOTE =-cos C,cos C=- QUOTE ,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,所以c

2、= QUOTE .故選D.2.(2014高考江西卷)在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則 QUOTE 的值為(D)(A)- QUOTE (B) QUOTE (C)1(D) QUOTE 解析:由正弦定理可得 QUOTE =2( QUOTE )2-1=2( QUOTE )2-1,因為3a=2b,所以 QUOTE = QUOTE ,所以 QUOTE =2( QUOTE )2-1= QUOTE .故選D.3.(2014江西省七校第一次聯(lián)考)在ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),則ABC的形狀一定是(D)(A)等邊三角形(B)不含60的等

3、腰三角形(C)鈍角三角形(D)直角三角形解析:sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cos Asin B,sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B= QUOTE ,故三角形為直角三角形.故選D.4.(2014煙臺模擬)在ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg QUOTE ,則A等于(C)(A) QUOTE (B) QUOTE (C) QUOTE (D) QUOTE 解析:由lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-

4、lg QUOTE ,整理得,lg(a+c)(a-c)=lg b(b+c),(a+c)(a-c)=b(b+c),得b2+c2-a2=-bc.cos A= QUOTE =- QUOTE ,又A(0,),A= QUOTE .故選C.5. (2014廣州調研)如圖所示,長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為,則坡度值tan 等于(A) (A) QUOTE (B) QUOTE (C) QUOTE (D) QUOTE 解析:由題意,可得在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+AC

5、B=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos = QUOTE ,所以sin = QUOTE ,所以tan = QUOTE = QUOTE .故選A.6.在ABC中,三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若內角A、B、C依次成等差數列,且不等式-x2+6x-80的解集為x|ax0的解集為x|2x4,a=2,c=4,又角A、B、C依次成等差數列,B= QUOTE ,于是SABC= QUOTE 24sin QUOTE =2 QUOTE .故選B.二、填空題7.(2014惠州模擬)在ABC中,角A,B

6、,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B= QUOTE ac,則角B的值為.解析:由余弦定理,得 QUOTE =cos B,結合已知等式得cos Btan B= QUOTE ,sin B= QUOTE ,B= QUOTE 或 QUOTE .答案: QUOTE 或 QUOTE 8.(2014菏澤一模)在ABC中,內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,則b=.解析:根據正弦定理和余弦定理由sin Acos C=3cos Asin C得: QUOTE QUOTE =3 QUOTE QUOTE a2+b2-c2=

7、3(b2+c2-a2),a2-c2= QUOTE .解方程組 QUOTE b=4.答案:49. (2014大連聯(lián)考)如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60,再由點C沿北偏東15方向走10米到位置D,測得BDC=45,則塔AB的高是.解析:在BCD中,CD=10,BDC=45,BCD=15+90=105,DBC=30, QUOTE = QUOTE ,BC= QUOTE =10 QUOTE .在RtABC中tan 60= QUOTE ,AB=BCtan 60=10 QUOTE .答案:10 QUOTE 10.(2014高考新課標全國卷)已知

8、a,b,c分別為ABC三個內角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則ABC面積的最大值為.解析:把正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C代入已知得(2+b)(a-b)=(c-b)c,(2+b)(2-b)=(c-b)c.4-b2=c2-bc,b2+c2-bc=4.cos A= QUOTE = QUOTE = QUOTE .A=60.又b2+c2=4+bc2bc,bc4.SABC= QUOTE bcsin A= QUOTE QUOTE bc= QUOTE bc QUOTE 4= QUOTE .當且僅當b=c=2時取等號

9、,故ABC面積的最大值為 QUOTE .答案: QUOTE 三、解答題11.(2014高考北京卷)如圖,在ABC中,B= QUOTE ,AB=8,點D在BC邊上,且CD=2,cosADC= QUOTE .(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的長.解:(1)在ADC中,因為cosADC= QUOTE ,所以sinADC= QUOTE .所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB= QUOTE QUOTE - QUOTE QUOTE = QUOTE .(2)在ABD中,由正弦定理得BD= QUOTE = QUOTE =3.在ABC中,由余弦定理得AC2=

10、AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-285 QUOTE =49.所以AC=7.12. (2014高考湖南卷)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= QUOTE .(1)求cos CAD的值;(2)若cos BAD=- QUOTE ,sin CBA= QUOTE ,求BC的長.解:(1)在ADC中,由余弦定理,得cos CAD= QUOTE .故由題設知,cos CAD= QUOTE = QUOTE .(2)設BAC=,則=BAD-CAD.因為cos CAD= QUOTE ,cos BAD=- QUOTE ,所以sin CAD= QUOTE = QUOTE = Q

11、UOTE ,sin BAD= QUOTE = QUOTE = QUOTE .于是sin =sin(BAD-CAD)=sin BADcos CAD-cos BADsin CAD= QUOTE QUOTE -(- QUOTE ) QUOTE = QUOTE .在ABC中,由正弦定理, QUOTE = QUOTE .故BC= QUOTE = QUOTE =3.能力提升13.(2014咸陽三模)設ABC的三個內角A,B,C成等差數列,且( QUOTE + QUOTE ) QUOTE =0,則ABC的形狀是(C)(A)直角三角形(B)鈍角三角形(C)等邊三角形(D)等腰非等邊三角形解析:由題得2B=A+

12、C,3B=得B= QUOTE ,設AC中點D,則( QUOTE + QUOTE ) QUOTE =2 QUOTE QUOTE =0即 QUOTE QUOTE 得a=c.所以ABC為等腰三角形,又因為B= QUOTE ,所以ABC為等邊三角形.故選C.14.(2014高考江蘇卷)若ABC的內角滿足sin A+ QUOTE sin B=2sin C,則cos C的最小值是.解析:由正弦定理可得a+ QUOTE b=2c,又cos C= QUOTE = QUOTE = QUOTE QUOTE = QUOTE ,當且僅當 QUOTE a= QUOTE b時取等號,所以cos C的最小值是 QUOTE

13、.答案: QUOTE 15.(2014德州模擬)已知a,b,c分別為ABC的三個內角A,B,C的對邊,m=(sin A,1),n=(cos A, QUOTE ),且mn.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2 QUOTE ,求ABC的面積.解:(1)因為mn,所以 QUOTE sin A-cos A=0,tan A= QUOTE .因為A(0,),所以A= QUOTE .(2)由正弦定理可得sin B= QUOTE = QUOTE ,因為ab,所以AB,B= QUOTE 或 QUOTE .當B= QUOTE 時,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= Q

14、UOTE .所以SABC= QUOTE absin C=1+ QUOTE ;當B= QUOTE 時,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= QUOTE ,所以SABC= QUOTE absin C= QUOTE -1.故ABC的面積為1+ QUOTE 或 QUOTE -1.探究創(chuàng)新16.(2014咸陽二模)已知ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ABC的面積為S= QUOTE accos B.(1)若c=2a,求角A,B,C的大小;(2)若a=2,且 QUOTE A QUOTE ,求邊c的取值范圍.解:由三角形面積公式及已知得S= QUOTE acsin B= QUOTE accos B,化簡得sin B= QUOTE cos B,即tan B= QUOTE ,又0B,故B= QUOTE