1、差分作業(yè)二數(shù)學(xué)建模作業(yè)三水位問題：問題：某居民小區(qū)有一個直徑10m的圓柱形水塔，每天午夜24時向水塔供水，此后每隔2h記錄水位，如下表，計算小區(qū)在這些時刻每小時的用水量。時刻/h24681012141618202224水位/cm305298290265246225207189165148130114模型及其求解： 令為x時刻水塔的水量，根據(jù)題目問題，那么可以先求出每個時刻的水量差即。根據(jù)Taylor theorem： 又有 ，那么先求出 ，即可得出的每個時刻每小時水量差，結(jié)果較為準(zhǔn)確，其誤差范圍可控制在中。 根據(jù)離散的數(shù)據(jù)求解，非兩端的數(shù)據(jù)利用中點(diǎn)公式，即：而兩端的數(shù)據(jù)那么利用三點(diǎn)公式，即：同

2、理可求得的值。根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，利用MATLAB計算并作圖，程序如下：function y=cxy2(x0,f)g=length(x0)-2;m=length(x0);x=0.25*pi*x0;for k=1:g r(k+1)=-(x(k+2)/(f*2)-x(k)/(f*2);endr(1)=-(-3*x(1)+4*x(2)-x(3)/(2*f);r(12)=-(x(10)-4*x(11)+3*x(12)/(2*f);y=r(1:m);k=(2:2:24);y=cxy2(305 298 290 265 246 225 207 189 165 148 130 114,2);a=y;N=k,a得

3、到各個時刻的負(fù)值：再根據(jù)將值代回函數(shù)cxy2中：y=cxy2(3.25 3.75 8.25 11 10 9.75 9 10.5 10.25 8.75 8.5 7.5,2);b=y;M=k,b得出各個時刻的負(fù)值，數(shù)據(jù)如下：再根據(jù) 又有 ，可求出各個時刻每小時用水量的修正值。利用MATLAB計算并作圖，程序如下：k=(2:2:24);a=305 298 290 265 246 225 207 189 165 148 130 114;y=cxy2(305 298 290 265 246 225 207 189 165 148 130 114,2);b=y;y=cxy2(3.25 3.75 8.25

4、11 10 9.75 9 10.5 10.25 8.75 8.5 7.5,2);c=y;d=b+c/2 ;H=k,dsubplot(2,2,1),plot(k,a,*,k,a),grid,xlabel(time/h),ylabel(water level/cm),title(original data)subplot(2,2,2),plot(k,b,*,k,b),grid,xlabel(time/h),ylabel(water level/cm),title(1S rank derivative)subplot(2,2,3),plot(k,c,*,k,c),grid,xlabel(time/h

5、),ylabel(water level/cm),title(2S rank derivative)subplot(2,2,4),plot(k,d,*,k,d),grid,xlabel(time/h),ylabel(water level/cm),title(correct graph of data)得到的數(shù)據(jù)，以及原始數(shù)據(jù)、一階導(dǎo)數(shù)負(fù)值、二階導(dǎo)數(shù)負(fù)值、修正后的圖形如下：結(jié)論分析：2h用水2.8471，4h用水2.4544，6h用水5.7678 8h用水8.4676，10h用水7.9767，12h用水7.7558，14h用水6.9950，16h用水8.1240，18h用水8.2221，20h用水7.0440，22h用水6.7986，24h用水6.1605。 其中修正前4h用水2.9452大于修正前2h用水量，而修正后4h用水2.4544那么小于修正后2h用水量，按生活常識凌晨2時用水量大于凌晨4時，是更合理的。其中使用的中心公式與三點(diǎn)公式誤差與泰勒定理誤差可能會相互削弱，也可能相互加強(qiáng)，所以在此可忽略前者帶來的誤差，而后者的誤差可以以高階導(dǎo)數(shù)來減小，所以在此我認(rèn)為建立一個求導(dǎo)函數(shù)cxy2是有必要的，如此題中，的負(fù)值我們可以通過函數(shù)cxy2求得：y=cxy2(0.5890 -0.9817 -1.4235