1、試卷第 =page 3 3頁，共 =sectionpages 4 4頁試卷第 =page 4 4頁，共 =sectionpages 4 4頁高中數(shù)學北師大版（2019）必修第一冊第二章函數(shù)培優(yōu)專練5第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明一、單選題1已知函數(shù)，若對任意，總存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD2設函數(shù)的最大值為5，則的最小值為（ ）AB1C2D33已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）ABCD4已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，設，當任意、時，都有，則（ ）ABCD5黎曼函數(shù)是由德國數(shù)學家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，在高等數(shù)學中有著廣泛的應用，在上的定義為：當（，且，為互質

2、的正整數(shù)）時，；當或或為內的無理數(shù)時，.已知，則（ ）注：，為互質的正整數(shù)，即為已約分的最簡真分數(shù).A的值域為BCD以上選項都不對6已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為，則交點的所有橫坐標和縱坐標之和為（ ）A200B50C-70D-100二、多選題7函數(shù)，是（ ）A最小正周期是B區(qū)間，上的減函數(shù)C圖象關于點，對稱D周期函數(shù)且圖象有無數(shù)條對稱軸8對，表示不超過的最大整數(shù)，十八世紀，被“數(shù)學王子”高斯采用，因此得名高斯函數(shù)，人們更習慣稱為“取整函數(shù)”，則下列命題中正確的是（ ）A, B, C函數(shù)（）的值域為D若, 使得，,同時成立，則整數(shù)的最大值是5第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明

3、三、填空題9已知函數(shù)若方程有且只有五個根，分別為，（設），則下列命題正確的是_（填寫所有正確命題的序號）.；存在k使得，成等差數(shù)列；當時，；當時，.10已知函數(shù)和.若對任意的，都有使得，則實數(shù)的取值范圍是_.11已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)使得，則最小值為_12已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，當時，則_.四、解答題13已知函數(shù).（1）直接寫出在上的單調區(qū)間（無需證明）；（2）求在上的最大值；（3）設函數(shù)的定義域為，若存在區(qū)間，滿足：，使得，則稱區(qū)間為的“區(qū)間”.已知（），若是函數(shù)的“區(qū)間”，求的最大值.14設常數(shù)，函數(shù)（1）若，求的單調區(qū)間；（2）若為奇函數(shù)，且關于的不等式在內有解，求實數(shù)

4、的取值范圍；（3）當時，若任意，存在，且，使，求實數(shù)的取值范圍15已知二次函數(shù)滿足，且的最小值為0（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍16我們知道，函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)了更一般結論：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，試根據(jù)此結論解答下列問題：（1）若函數(shù)滿足對任意的實數(shù)m，n，恒有，求的值，并判斷此函數(shù)圖象是否中心對稱圖形？若是，請求出對稱中心坐標；（2）若（1）中的函數(shù)還滿足時，求不等式的解集；（3）若函數(shù)若與的圖象有3個不同的交點，其中，且，求值答案第 = page 15 15頁，

5、共 = sectionpages 15 15頁答案第 = page 14 14頁，共 = sectionpages 15 15頁參考答案1D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質求出在時的值域為，再根據(jù)一次為增函數(shù)，求出，由題意得值域是值域的子集，從而得到實數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且關于直線對稱時，的最小值為，最大值為，可得值域為又，為單調增函數(shù)，值域為即，使得，故選：D.【點睛】本題著重考查了函數(shù)的值域，屬于中檔題.解題的關鍵是將問題轉化為值域的包含關系問題.2B【分析】根據(jù)題意，設，利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出是奇函數(shù)，結合條件得出的最大值和最小值，從而得出的最小

6、值.【詳解】解：由題可知，設，其定義域為，又，即，由于，即，所以是奇函數(shù)，而，由題可知，函數(shù)的最大值為5，則函數(shù)的最大值為：5-3=2，由于是奇函數(shù)，得的最小值為-2，所以的最小值為：-2+3=1.故選：B.【點睛】本題考查利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，以及奇函數(shù)性質的應用和函數(shù)最值的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.3C【分析】把函數(shù)有三個零點，可得方程有三個根，進而轉化為函數(shù)和的圖象有三個不同的交點，結合函數(shù)的圖象、斜率公式和判別式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有三個零點，即方程有三個根，函數(shù)過定點，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，當直線過點和時，此時，當直線與相切時，聯(lián)立方程組，可得，由，

7、解得，結合圖象可知，若函數(shù)和的圖象有3個交點，則實數(shù)的取值范圍是.故選：C. 【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點與方程的根的關系，其中解答中把函數(shù)的零點轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點的個數(shù)，結合圖象求解是解答的關鍵，意在考查轉化思想與數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔試題.4D【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)在上為減函數(shù)，再判斷的大小關系，即可得到答案.【詳解】當任意、時，都有函數(shù)在上為減函數(shù)，是上的偶函數(shù)，；即.故選：D.【點睛】本題考查單調性和奇偶性的定義，考查轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意對數(shù)運算法則的應用.5B【分析】設，（，且，為互質的正整數(shù)） ，Bx|x0或x1或x是0，1

8、上的無理數(shù)，然后對A選項，根據(jù)黎曼函數(shù)在上的定義分析即可求解；對B、C選項：分，；，；或分析討論即可【詳解】解：設，（，且，為互質的正整數(shù)），Bx|x0或x1或x是0，1上的無理數(shù)，對A選項：由題意，的值域為，其中是大于等于2的正整數(shù)，故選項A錯誤；對B、C選項：當，則，；當，則，0；當或，則，所以選項B正確，選項C、D錯誤，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是牢牢抓住黎曼函數(shù)在上的定義去分析.6D【分析】由題設條件，可得，可得關于點對稱，根據(jù)對稱性，可得解.【詳解】函數(shù)滿足即為可得關于點對稱函數(shù)，即的圖象關于點對稱，即若點為交點，則點也為交點，同理若為交點，則點也為交點，則交點的所

9、有橫坐標和縱坐標之和為故選：D【點睛】本題考查了函數(shù)對稱性的綜合應用，考查了學生綜合分析，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.7BD【分析】根據(jù)絕對值的意義先求出分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質與圖象關系分別對函數(shù)的周期、單調區(qū)間、對稱中心和對稱軸進行判斷求解.【詳解】，則對應的圖象如圖：A中由圖象知函數(shù)的最小正周期為，故錯誤，B中函數(shù)在上為減函數(shù)，故正確，C中函數(shù)關于對稱，故錯誤，D中函數(shù)由無數(shù)條對稱軸，且周期是，故正確故正確的是故選：BD【點睛】本題考查由有解析式的函數(shù)圖象的性質. 有關函數(shù)圖象識別問題的思路:由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位

10、置；由函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢；由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復8ACD【分析】由定義得，可判斷A；由，得，可判斷B；由，得得函數(shù)的值域，可判斷C；根據(jù)，推出不存在同時滿足，而時，存在滿足題意，可判斷D.【詳解】由定義，所以 若，A正確；，B錯誤；由定義，函數(shù)的值域是，C正確；若，使得同時成立，則，因為，若，則不存在同時滿足，只有時，存在滿足題意，正確.故選：ACD【點睛】本題考查取整函數(shù)定義，正確理解定義是解題基礎性質1 對任意xR，均有x-1xxx+1；性質2 取整函數(shù)(高斯函數(shù))是一個不減函數(shù)，即對任意x1，x2R，若x1x2，則x1x2；性質

11、3若x，yR，則x+yx+yx+y+1；性質4若nN+，xR，則nxnx；性質5若nN+，xR+，則在區(qū)間1，x內，恰好有x/n個整數(shù)是n的倍數(shù)；利用性質解決問題9【分析】設，函數(shù)為偶函數(shù)得到正確，原題可化為與在上有且只有兩個公共點，根據(jù)圖像判斷錯誤錯誤，正確，得到答案.【詳解】設，則，函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以正確；原題可化為與在上有且只有兩個公共點，如圖，當時，顯然，當時，顯然，所以錯誤；當時，結合圖像可得錯誤；當時，與在處相切，所以，又，所以，所以正確.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，設判斷奇偶性是解題的關鍵.10【分析】根據(jù)題意將條件轉化為集合之間的包含關系，結合函數(shù)圖象即可

12、求解.【詳解】由題意得， ,并且對于值域中的每一個數(shù)，都有至少兩個不同數(shù)和，使得成立.當時， 在上單調遞減，顯然，此種情況不成立.當，在上的值域為，由的函數(shù)圖象可知，只要使得，則解得.當時，在上的值域為，由的函數(shù)圖象可知，要滿足即可，得，綜上所述，.故答案為：.【點睛】本題主要考查根據(jù)集合間的包含關系求參數(shù)的取值范圍的問題，結合函數(shù)圖象可更好的理解題意，屬于能力提升題.11【分析】由條件可得，即，令，可得，然后設，則，然后可得，然后利用雙勾函數(shù)的知識求出右邊的最小值即可.【詳解】因為，所以所以可得令，則， 設，則所以，所以令，由雙勾函數(shù)的知識易得在上單調遞增所以所以故答案為：【點睛】根據(jù)式子的

13、特點構造出是解答本題的關鍵，考查了學生的分析能力與轉化能力，屬于較難題.12【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，可得.又是定義域為的偶函數(shù)，可得，故，可得的周期為，故，即得答案.【詳解】為奇函數(shù)，.又是定義域為的偶函數(shù)，.即，,的周期.,又，.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于較難的題目.13（1）在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；（2）答案見解析；（3）1.【分析】（1）根據(jù)解析式可直接得出；（2）討論的范圍根據(jù)函數(shù)的單調性可求出；（3）分和兩種情況根據(jù)“區(qū)間”的定義討論求解.【詳解】（1）在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；（2）由題意知，若，則在上單調遞減，所以的最大值為；若，則

14、在上單調遞減，在上單調遞增，因此此時，所以的最大值為；若，則在上單調遞減，在上單調遞增，因此此時，所以的最大值為；綜上知：若，則的最大值為；若，則的最大值為；（3）由（1）（2）知：當時，在上的值域為，在上的值域為，因為，所以，滿足，使得，所以此時是的“區(qū)間”；當時，在上得到值域為，在上的值域為，因為當時，所以，使得，即，所以此時不是的“區(qū)間”；故所求的最大值為1.【點睛】關鍵點睛：正確理解“區(qū)間”的定義并根據(jù)函數(shù)特點討論的范圍是解決本題的關鍵.14（1）單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；（2）（3）【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，再判斷函數(shù)單調性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，構造，使；

15、（3）根據(jù)由已知可知函數(shù)在上的值域與的范圍，的取值范圍分情況討論.（1）解：，則，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；（2）解：由為奇函數(shù)，得，即，解得，故函數(shù)，又在內有解，即在內有解，設，在上單調遞減，故；（3）解：在單調遞增，故，又函數(shù)，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，故或，即或，當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故，無解；當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故，解得：，綜上所述，.15（1）；（2）或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即求；（2）由題知，結合二次函數(shù)的性質分類討論即求.【詳解】（1）設二次函數(shù)，即，又，函數(shù)的解析式為（2）若時，即，在上是增函數(shù)；若，即時，設方程的兩個根為，且，此時在和上是增函數(shù)，令，(i)若，則，(ii)若，則，綜上所述，或16（1），是中心對稱圖形，其對稱中心為（2）（3）【分析】（1）取，代入求得，取，代入求得是奇函數(shù)，可判斷是中心對稱圖形，進而求得對稱中心為；（2）證明是R上單調遞增函數(shù)，利用單調性解不等式即可；（3）證得，的圖象都是以為中心的對稱圖形，可知，再結合，求得，進而得解