1、人教版 選修 2-3第一章計(jì)數(shù)原理1.11.21.3分類加法計(jì)數(shù)原理與分部乘法計(jì)數(shù)原理 探究與發(fā)現(xiàn) 子集的個(gè)數(shù)有多少 排列與組合探究與發(fā)現(xiàn) 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) 二項(xiàng)式定理小結(jié)第二章隨機(jī)變量及其分布2.12.22.32.4離散型隨機(jī)變量及其分布列二項(xiàng)分布及其應(yīng)用閱讀與思考 這樣的買彩票方式可行嗎?探究與發(fā)現(xiàn) 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取何值時(shí)概率最大 離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布信息技術(shù)應(yīng)用 ,對(duì)正態(tài)分布的影響小結(jié)第三章統(tǒng)計(jì)案例3.13.2回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 實(shí)習(xí)作業(yè)小結(jié)N m n第一章 計(jì)數(shù)原理11 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理第一課時(shí)1 分

2、類加法計(jì)數(shù)原理（1）提出問(wèn)題問(wèn)題 1.1：用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能夠編 出多少種不同的號(hào)碼？問(wèn)題 1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有 3 班，汽車有 2 班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？（2）發(fā)現(xiàn)新知分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第 1 類方案中有m種不同的方法，在第 2 類方案中有（3）知識(shí)應(yīng)用n種不同的方法 . 那么完成這件事共有種不同的方法 .例 1.在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B 兩所大學(xué)各有一些自己感興趣 的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：A 大學(xué) B 大學(xué)

3、生物學(xué) 數(shù)學(xué)化學(xué) 會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué) 信息技術(shù)學(xué)物理學(xué) 法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？分析 ：由于這名同學(xué)在 A , B 兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又由 于兩所大學(xué)沒(méi)有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，因此符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件解：這名同學(xué)可以選 擇 A , B 兩所大學(xué)中的一所在 A 大學(xué)中有 5 種專業(yè)選擇方法，在 B 大學(xué)中有 4 種專業(yè) 選擇方法又由于沒(méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名 同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有 5+4=9（種）.變式：若還有 C 大學(xué)，其中強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，這名同學(xué) 可能的專業(yè)選擇共

4、有多少種？探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第 1 類方案中有 m 種不同的方法，在第 2 類1方案中有 m 種不同的方法，在第 3 類方案中有 m 種不同的方法，那么完成這件事共有多少 2 3種不同的方法？如果完成一件事情有 n 類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì) 數(shù)呢？一般歸納：完成一件事情，有 n 類辦法，在第 1 類辦法中有 m 種不同的方法，在第 2 類辦法中有 m1種不同的方法在第 n 類辦法中有 m 種不同的方法.那么完成這件事共有nN m m m種不同的方法.1 2 n理解分類加法計(jì)數(shù)原理：2分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題，完成一件事要分為若干類

5、，各類的方法相互1nN m n獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事. 例 2.一螞蟻沿著長(zhǎng)方體的棱,從的一個(gè)頂點(diǎn)爬到相對(duì)的另一個(gè)頂點(diǎn)的最近路線共有多少條？解:從總體上看,如,螞蟻從頂點(diǎn) A 爬到頂點(diǎn) C1 有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成, 所以,第一類, m1 = 12 = 2 條 第二類, m2 = 12 = 2 條第三類, m3 = 12 = 2 條所以, 根據(jù)加法原理, 從頂點(diǎn) A 到頂點(diǎn) C1 最近路線共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 （條）第二課時(shí)2 分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）提出問(wèn)題問(wèn)題 2.1：用前 6 個(gè)大寫英文字母和 1

6、9 九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以 A , A ,， B , B ,的1 2 1 2方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？用列舉法可以列出所有可能的號(hào)碼：我們還可以這樣來(lái)思考：由于前 6 個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與 9 個(gè)數(shù)字中的任何 一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們各不相同，因此共有 69 = 54 個(gè)不同的號(hào)碼（2）發(fā)現(xiàn)新知分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第 1 類方案中有 在第 2 類方案中有 種不同的方法 . 那么完成這件事共有（3）知識(shí)應(yīng)用m種不同的方法， 種不同的方法 .例 1.設(shè)某班有男生 30 名，女生 24 名. 現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參加比賽， 共有

7、多少種不同的選法？分析 ：選出一組參賽代表，可以分兩個(gè)步驟第 l 步選男生第 2 步選女生解：第 1 步，從 30 名男生中選出 1 人，有 30 種不同選擇；第 2 步，從 24 名女生中選出 1 人，有 24 種不同選擇根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 3024 =720 種不同的選法一般歸納：完成一件事情，需要分成 n 個(gè)步驟，做第 1 步有 m 種不同的方法，做第 2 步有 m 種不同1 2的方法做第 n 步有 m 種不同的方法.那么完成這件事共有 N m m m種不同的n 1 2 n方法.理解分步乘法計(jì)數(shù)原理：分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存， 完

8、成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事. 3理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)2相同點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題，完成一件事要分為若干類，各類的方 法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成 這件事，是獨(dú)立完成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，完成一件事要分為若干 步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后， 才算完成這件事，是合作完成.例 2 .如圖,要給地圖 A、B、C、D 四個(gè)區(qū)域分別涂上 3 種不同顏色中的

9、某一種,允許同一種 顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？解: 按地圖 A、B、C、D 四個(gè)區(qū)域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 種, 第三步, m3 = 1 種,第二步, m2 = 2 種, 第四步, m4 = 1 種,所以根據(jù)乘法原理, 得到不同的涂色方案種數(shù)共有 N = 3 2 11 = 6第三課時(shí)3 綜合應(yīng)用例 1. 書架的第 1 層放有 4 本不同的計(jì)算機(jī)書，第 2 層放有 3 本不同的文藝書，第 3 層 放 2 本不同的體育書.從書架上任取 1 本書，有多少種不同的取法？從書架的第 1、2、3 層各取 1 本書，有多少種不同的取法？從書架上任取兩本

10、不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？【分析】要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分 類問(wèn)題，應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理.要完成的事是“從書架的第 1、2、3 層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了 這件事的一部分，只有第 1、2、3 層都取后，才能完成這件事，因此是分步問(wèn)題，應(yīng)用分步 計(jì)數(shù)原理.要完成的事是“取 2 本不同學(xué)科的書”，先要考慮的是取哪兩個(gè)學(xué)科的書，如取計(jì)算機(jī) 和文藝書各 1 本，再要考慮取 1 本計(jì)算機(jī)書或取 1 本文藝書都只完成了這件事的一部分，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些 選法的種數(shù)之間還應(yīng)運(yùn)用分

11、類計(jì)數(shù)原理.解： (1) 從書架上任取 1 本書，有 3 類方法：第 1 類方法是從第 1 層取 1 本計(jì)算機(jī)書， 有 4 種方法；第 2 類方法是從第 2 層取 1 本文藝書，有 3 種方法；第 3 類方法是從第 3 層 取 1 本體育書，有 2 種方法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N m m m =4+3+2=9;1 2 3( 2 ）從書架的第 1 , 2 , 3 層各取 1 本書，可以分成 3 個(gè)步驟完成：第 1 步從第 1 層 取 1 本計(jì)算機(jī)書，有 4 種方法；第 2 步從第 2 層取 1 本文藝書，有 3 種方法；第 3 步 從第 3 層取 1 本體育書，有 2 種方法根據(jù)

12、分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N m m m =432=24 .1 2 3（3） N 4 3 4 2 3 2 26 。3例 2. 要從甲、乙、丙 3 幅不同的畫中選出 2 幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置， 問(wèn)共有多少種不同的掛法？解：從 3 幅畫中選出 2 幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第 1 步， 從 3 幅畫中選 1 幅掛在左邊墻上，有 3 種選法；第 2 步，從剩下的 2 幅畫中選 1 幅掛 在右邊墻上，有 2 種選法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=32=6 .6 種掛法可以表示如下：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法

13、的種數(shù)問(wèn) 題區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中 任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的 方法互相依存，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事例 3.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車牌照號(hào)碼需交通 管理部門出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有 3 個(gè)不重復(fù)的英文字母和 3 個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且 3 個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，3 個(gè)數(shù)字也必須合成一組出 現(xiàn)那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為 2 類，即字母組合在左和字母組合在右確定一個(gè)牌照的 字母

14、和數(shù)字可以分 6 個(gè)步驟解：將汽車牌照分為 2 類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右字母組合在左時(shí)， 分 6 個(gè)步驟確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字：第 1 步，從 26 個(gè)字母中選 1 個(gè)，放在首位，有 26 種選法；第 2 步，從剩下的 25 個(gè)字母中選 1 個(gè)，放在第 2 位，有 25 種選法；第 3 步，從剩下的 24 個(gè)字母中選 1 個(gè)，放在第 3 位，有 24 種選法；第 4 步，從 10 個(gè)數(shù)字中選 1 個(gè)，放在第 4 位，有 10 種選法；第 5 步，從剩下的 9 個(gè)數(shù)字中選 1 個(gè)，放在第 5 位，有 9 種選法；第 6 步，從剩下的 8 個(gè)字母中選 1 個(gè)，放在第 6 位，

15、有 8 種選法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有 26 25241098=11 232 000 （個(gè)） .同理，字母組合在右的牌照也有 11232 000 個(gè)所以，共能給11232 000 + 11232 000 = 22464 000（個(gè)） .輛汽車上牌照用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析 需要 分類還是需要分步分類要做到“不重不漏”分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類 加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)分步要做到“步驟完整” 完成了所有步驟，恰好完成任 務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原 理，把完成每一步的

16、方法數(shù)相乘，得到總數(shù)練習(xí)1乘積（ a a a )(b b b )( c c c c c ) 展開(kāi)后共有多少項(xiàng)？1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 52某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號(hào)碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四4位數(shù)字都是。到 9 之間的一個(gè)數(shù)字，那么這個(gè)電話局不同的電話號(hào)碼最多有多少個(gè)？ 3從 5 名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各 1 名，有多少種不同的選法？4某商場(chǎng)有 6 個(gè)門，如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)人商場(chǎng)，并且要求從其他的門出 去，共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式？第四課時(shí)例 1.給程序模塊命名，需要用 3 個(gè)字符，其中首字符要求用字母 AG 或 UZ , 后兩 個(gè)要求用數(shù)

17、字 19問(wèn)最多可以給多少個(gè)程序命名？分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第 1 步，選首字符；第 2 步，選中間 字符；第 3 步，選最后一個(gè)字符而首字符又可以分為兩類解：先計(jì)算首字符的選法由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符共有 7 + 6 = 13 種選法 再計(jì)算可能的不同程序名稱由分步乘法計(jì)數(shù)原理，最多可以有 1399 = = 1053個(gè)不同的名稱，即最多可以給 1053 個(gè)程序命名例 2. 核糖核酸（RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分一個(gè) RNA 分子是一個(gè)有著 數(shù)百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位置的長(zhǎng)鏈，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù) 總共有 4 種不同的堿基，分別用 A,C

18、,G,U 表示在一個(gè) RNA 分子中，各種堿基能夠以任意 次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其他位置上的堿基無(wú)關(guān)假設(shè)有一類 RNA 分子由 100 個(gè)堿基組成，那么能有多少種不同的 RNA 分子？分析：用圖 1. 1 一 2 來(lái)表示由 100 個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈，這時(shí)我們共有 100 個(gè)位置，每個(gè) 位置都可以從 A , C , G , U 中任選一個(gè)來(lái)占據(jù)解：100 個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈共有 100 個(gè)位置，如圖 1 . 1 一 2 所示從左到右依次在每 一個(gè)位置中，從 A , C , G , U 中任選一個(gè)填人，每個(gè)位置有 4 種填充方法根據(jù)分步乘 法計(jì)數(shù)原理，長(zhǎng)度為 100 的所有可能的不同

19、 RNA 分子數(shù)目有4 4 44100（個(gè)）100例 3.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控 制的兩種狀態(tài)因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有 O 或 1 兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn) 制為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái) 表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由 8 個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成問(wèn)：(1）一個(gè)字節(jié)（ 8 位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？(2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（GB 碼）包含了 6 763 個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這 些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？分析 ：由于每個(gè)字節(jié)有 8

20、個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都有 0,1 兩種選擇，而且不同的 順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解本題5解：(1）用圖 1.1 一 3 來(lái)表示一個(gè)字節(jié)圖 1 . 1 一 3一個(gè)字節(jié)共有 8 位，每位上有 2 種選擇根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一個(gè)字節(jié)最多可以表示 22222222= 28=256 個(gè)不同的字符；( 2）由（ 1 ）知，用一個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠 6 763 個(gè)，我們就考慮用 2 個(gè) 字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符前一個(gè)字節(jié)有 256 種不同的表示方法，后一個(gè)字節(jié)也有 256 種 表示方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2 個(gè)字節(jié)可以表示 256256 = 65536個(gè)不同的字符，這已

21、經(jīng)大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù) 6 763所以要表示這些漢字，每個(gè) 漢字至少要用 2 個(gè)字節(jié)表示例 4.計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試程序員需要知道到底有多 少條執(zhí)行路徑（即程序從開(kāi)始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)一般地， 一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成如圖 1.1 一 4，它是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊問(wèn)： 這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試 方法，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？圖 1.1 一 4分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第 1 步是從開(kāi)始執(zhí)行到 A 點(diǎn)；第 2 步是從 A 點(diǎn)

22、執(zhí)行到結(jié)束而第 1 步可由子模塊 1 或子模塊 2 或子模塊 3 來(lái)完成；第 2 步 可由子模塊 4 或子模塊 5 來(lái)完成因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩 個(gè)計(jì)數(shù)原理解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊 1 或子模塊 2 或子模塊 3 中的子路徑共有 18 + 45 + 28 = 91 （條） ;子模塊 4 或子模塊 5 中的子路徑共有 38 + 43 = 81 （條） .又由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑共有 9181 = 7 371（條）.6在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過(guò)只考察是否執(zhí)行了正 確的子模塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試

23、 5 個(gè)模塊，以考察每個(gè)子 模塊的工作是否正常總共需要的測(cè)試次數(shù)為18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172.再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，只需要測(cè)試程序第 1 步中的各個(gè)子模塊和第 2 步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測(cè)試次數(shù)為 32=6 .如果每個(gè)子模塊都工作正常，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模 塊就工作正常這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?172 + 6=178（次）.顯然，178 與 7371 的差距是非常大的鞏固練習(xí)：如圖,從甲地到乙地有 2 條路可通,從乙地到丙地有 3 條路可通;從甲地到丁地有 4 條路 可通, 從丁地到丙地有

24、2 條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？書架上放有 3 本不同的數(shù)學(xué)書，5 本不同的語(yǔ)文書，6 本不同的英語(yǔ)書若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各一本，有多少種不同的取法？若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？3. 如圖一,要給 , , , 四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種 ,允許同一種顏色使用 多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為()A. 180 B. 160 C. 96 D. 60圖一若變?yōu)閳D二,圖三呢?圖二圖三5.五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng) 奪這四項(xiàng)比賽

25、的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？6（2007 年重慶卷）若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間 分成（ C ）A5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分【注意】運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的注意點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理：首先確定分類標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一 類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即不重不漏.分步乘法計(jì)數(shù)原理：首先確定分步標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這 n 個(gè)步驟， 這件事才算完成.分配問(wèn)題把一些元素分給另一些元素來(lái)接受這是排列組合應(yīng)用問(wèn)題中難度較大的一類問(wèn)題因 為這涉及到兩類元素：被分配元素和接受

26、單位而我們所學(xué)的排列組合是對(duì)一類元素做排列 或進(jìn)行組合的，于是遇到這類問(wèn)題便手足無(wú)措了事實(shí)上，任何排列問(wèn)題都可以看作面對(duì)兩類元素例如，把 10 個(gè)全排列，可以理解為在 10 個(gè)人旁邊，有序號(hào)為 1，2，10 的 10 把椅子，每把椅子坐一個(gè)人，那么有多少種坐 法？這樣就出現(xiàn)了兩類元素，一類是人，一類是椅子。于是對(duì)眼花繚亂的常見(jiàn)分配問(wèn)題，可 歸結(jié)為以下小的“方法結(jié)構(gòu)”：7.每個(gè)“接受單位”至多接受一個(gè)被分配元素的問(wèn)題方法是 Am，這里 n m .其中 m 是“接n受單位”的個(gè)數(shù)。至于誰(shuí)是“接受單位”，不要管它在生活中原來(lái)的意義，只要n m .個(gè)數(shù)為m 的一個(gè)元素就是“接受單位”，于是，方法還可以

27、簡(jiǎn)化為A少.這里的“多”只要 “少”.多.被分配元素和接受單位的每個(gè)成員都有“歸宿”,并且不限制一對(duì)一的分配問(wèn)題，方法是分組問(wèn)題的計(jì)算公式乘以 Ak.k121 排列第一課時(shí)一、講解新課：1 問(wèn)題：?jiǎn)栴} 1從甲、乙、丙 3 名同學(xué)中選取 2 名同學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中一名同學(xué)參 加上午的活動(dòng)，一名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的方法？分析：這個(gè)問(wèn)題就是從甲、乙、丙 3 名同學(xué)中每次選取 2 名同學(xué)，按照參加上午的活動(dòng) 在前，參加下午活動(dòng)在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問(wèn)題，共有 6 種不同的排 法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對(duì)象叫做元素解決這一問(wèn)題可分兩個(gè)步驟

28、：第 1 步，確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)，從 3 人中任選 1 人， 有 3 種方法；第 2 步，確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后，參加下 午活動(dòng)的同學(xué)只能從余下的 2 人中去選，于是有 2 種方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，在 3 名 同學(xué)中選出 2 名，按照參加上午活動(dòng)在前，參加下午活動(dòng)在后的順序排列的不同方法共有 3 2=6 種，如圖 1.2 一 1 所示把上面問(wèn)題中被取的對(duì)象叫做元素，于是問(wèn)題可敘述為：從 3 個(gè)不同的元素 a , b ，。 中任取 2 個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排 列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3

29、2=6 種問(wèn)題 2從 1,2,3,4 這 4 個(gè)數(shù)字中，每次取出 3 個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不 同的三位數(shù)？分析 ：解決這個(gè)問(wèn)題分三個(gè)步驟：第一步先確定左邊的數(shù)，在 4 個(gè)字母中任取 1 個(gè)，有 4 種方法；第二步確定中間的數(shù)，從余下的 3 個(gè)數(shù)中取，有 3 種方法；第三步確定右邊的數(shù)， 從余下的 2 個(gè)數(shù)中取，有 2 種方法由分步計(jì)數(shù)原理共有：432=24 種不同的方法，用樹(shù)型圖排出，并寫出所有的排列由 此可寫出所有的排法顯然，從 4 個(gè)數(shù)字中，每次取出 3 個(gè)，按“百”“十”“個(gè)”位的順序排成一列，就得 到一個(gè)三位數(shù)因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù)可以分三個(gè)步驟來(lái)

30、 解決這個(gè)問(wèn)題：第 1 步，確定百位上的數(shù)字，在 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個(gè)數(shù)字中任取 1 個(gè)，有 4 種方 法；8第 2 步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的 3 個(gè) 數(shù)字中去取，有 3 種方法；第 3 步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的 2 個(gè)數(shù)字中去取，有 2 種方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出 3 個(gè)數(shù)字， 按“百”“十”“個(gè)”位的順序排成一列，共有432=24種不同的排法， 因而共可得到 24 個(gè)不同的三位數(shù)，如圖 1. 2 一 2 所示由此可寫

31、出所有的三位數(shù)：123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243，312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。同樣，問(wèn)題 2 可以歸結(jié)為：從 4 個(gè)不同的元素 a, b, c，d 中任取 3 個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，共有多少 種不同的排列方法？所有不同排列是abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac,

32、dba, dbc, dca, dcb.共有 432=24 種.樹(shù)形圖如下a b 2排列的概念：從 n 個(gè)不同元素中，任取 m （ m n ）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順 序排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列說(shuō)明：（1）排列的定義包括兩個(gè)方面：取出元素，按一定的順序排列；（2）兩個(gè)排列相同的條件：元素完全相同，元素的排列順序也相同3排列數(shù)的定義：從 n 個(gè)不同元素中，任取 m （ m n ）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從 n 個(gè)元素中取出 m 元素 的排列數(shù) ，用符號(hào) A m 表示 注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從 n 個(gè)不同元n素中，任取

33、 m 個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從 n 個(gè)不同元素中，任取 m （ m n ）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù) 所以符號(hào) A m 只表示排列數(shù)，而不表示n具體的排列4排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：9n由 A2n的意義：假定有排好順序的 2 個(gè)空位，從 n 個(gè)元素 a , a12,a 中任取 2 個(gè)元素去填空， n一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列，反過(guò)來(lái)，任一個(gè)排列總可以由這樣的一 種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù) A 2 由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填空共n有 n ( n 1) 種填法， A2 = n(n 1)n由此，求 A3 n可以按依次填 3 個(gè)空位來(lái)

34、考慮， A3n= n( n 1)(n 2) ，求 Amn以按依次填 m 個(gè)空位來(lái)考慮 A mnn ( n 1)(n 2)( n m 1) ，排列數(shù)公式：A m n ( n 1)(n 2) ( n m 1) n（ m, n N,m n ）說(shuō)明：（1）公式特征：第一個(gè)因數(shù)是 n ，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè) 少 1，最后一個(gè)因數(shù)是 n m 1 ，共有 m 個(gè)因數(shù)；（2）全排列：當(dāng) n m 時(shí)即 n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列全排列數(shù)： A nnn ( n 1)(n 2)2 1n! （叫做 n 的階乘）另外，我們規(guī)定 0! =1 .例 1用計(jì)算器計(jì)算： (1） A4 ； (2） A5 ; (3） A

35、18 A1310 18 18 13解：用計(jì)算器可得：.由（ 2 ) ( 3 ）我們看到， A5 A18 A13 那么，這個(gè)結(jié)果有沒(méi)有一般性呢？即18 18 13An n !Am n .An m ( n m )!n m排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：A mnn ( n 1)(n 2) ( n m 1)n(n 1)(n 2) ( n m 1)(n m ) 3 21 n ! An = n( n m )( n m 1) 3 21 ( n m )! An mn m.即n!Am =n( n m )!例 2解方程：3 A3 2 A2x x 16 A 2 x10n解：由排列數(shù)公式得： 3x ( x 1)(x 2) 2

36、( x 1)x 6 x ( x 1) ， x 3 ， 3( x 1)(x 2) 2( x 1) 6( x 1) ，即 3 x217 x 10 0 ，解得 x 5 或 x ， x 3 ，且 x N ，原方程的解為 x 5 例 3解不等式： A x 6 A x 2999! 9!解：原不等式即，6 (9 x )! (11x )! 1 6也就是 (9 x )! (11x ) (10 x ) (9 x )!，化簡(jiǎn)得： x221x 104 0 ，解得 x 8 或 x 13 ，又 2 x 9 ，且 x N ， 所以，原不等式的解集為 2,3,4,5,6,7 例 4求證：（1） An A m Anmn n n

37、 m；（2）(2 n)! 2n n!1 35(2 n 1) 證明：（1） Am Anmn n mn! ( n m )!( n m )! n ! An ，原式成立n（2）(2 n)! 2n (2n 1) (2n 2) 2n n! 2n n!4 3212nn (n 1)2 1(2n1)(2n 3) 2n n!3 1n!13 (2 n 3)(2n 1)n!1 35(2 n 1) 右邊原式成立說(shuō)明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù) A m 中， m, n N 且 m n 這些限n制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；（ 2 ）公式 A mnn( n 1)( n 2)(n

38、m 1)常用來(lái)求值，特別是 m, n 均為已知時(shí)，公式n!Am = ，常用來(lái)證明或化簡(jiǎn) (n m)!1 2 3例 5化簡(jiǎn)： 2! 3! 4!n 1 ； 1 1!2 2!3 3! n!n n !解：原式 1!1 1 1 1 1 2! 2! 3! 3! 4!1 1 1 1 ( n 1)! n! n!提示：由 n1!n1n!nn!n!，得nn! n1!n!，11原式 n1!1說(shuō)明：n 1 1 1 n! ( n 1)! n !第二課時(shí)例 1(課本例 2)某年全國(guó)足球甲級(jí)（A 組）聯(lián)賽共有 14 個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì) 在主、客場(chǎng)分別比賽一次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？解：任意兩隊(duì)間進(jìn)行 1 次主場(chǎng)比賽與

39、1 次客場(chǎng)比賽，對(duì)應(yīng)于從 14 個(gè)元素中任取 2 個(gè)元素的一個(gè)排列因此，比賽的總場(chǎng)次是 A 214=1413=182.例 2(課本例 3)(1）從 5 本不同的書中選 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，共有 多少種不同的送法？(2）從 5 種不同的書中買 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？ 解：(1）從 5 本不同的書中選出 3 本分別送給 3 名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從 5 個(gè)不同元素中任取 3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是 A35=543=60.(2）由于有 5 種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的 1 本書都有 5 種不同的選購(gòu)方法，因此送給 3 名同學(xué)每人各 1

40、本書的不同方法種數(shù)是 555=125.例 8 中兩個(gè)問(wèn)題的區(qū)別在于： ( 1 ）是從 5 本不同的書中選出 3 本分送 3 名同學(xué)， 各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問(wèn)題；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的書可能相同，因 此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算例 3(課本例 4)用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分 析：在本問(wèn)題的。到 9 這 10 個(gè)數(shù)字中，因?yàn)椤２荒芘旁诎傥簧?，而其他?shù)可以排在任意位 置上，因此。是一個(gè)特殊的元素一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來(lái)考慮問(wèn)題解法 1 ：由于在沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中， 的數(shù)字不能是

41、O，因此可以分兩步完成排列第 1 百位上的數(shù)字，可以從 1 到 9 這九個(gè)數(shù)字中任選 1百位上步，排個(gè)，有A19種選法；第 2 步，排十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從余下的 9 個(gè)數(shù)字中任選 2 個(gè)，有 A 2 種選法（圖 1.295) 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)有一A19A29=998=648（個(gè)） .解法 2 ：如圖 1.2 一 6 所示，符合條件的三位數(shù)可分成 3 類每一位數(shù)字都不是位數(shù) 有 A 母?jìng)€(gè)，個(gè)位數(shù)字是 O 的三位數(shù)有揭個(gè)，十位數(shù)字是 0 的三位數(shù)有揭個(gè)根據(jù)分類加法 計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)有A3 A 2 A 2 =648 個(gè)9 9 912解法 3 ：從 0 到 9 這 1

42、0 個(gè)數(shù)字中任取 3 個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 A310，其中 O 在百位上的排列數(shù)是 A2 9，它們的差就是用這 10 個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，即所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A3 - A 2 =1098-98=648.10 9對(duì)于例 9 這類計(jì)數(shù)問(wèn)題，可用適當(dāng)?shù)姆椒▽?wèn)題分解，而且思考的角度不同，就可以有 不同的解題方法解法 1 根據(jù)百位數(shù)字不能是。的要求，分步完成選 3 個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù) 數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計(jì)數(shù)原理；解法 2 以 O 是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置 為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計(jì)數(shù)原理；解法 3 是一種逆向思考方法：先 求出從 10 個(gè)不同數(shù)字中選

43、3 個(gè)不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。的排列數(shù)（即不 是三位數(shù)的個(gè)數(shù)），就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)從上述問(wèn)題的解答過(guò)程可以看到， 引進(jìn)排列的概念，以及推導(dǎo)求排列數(shù)的公式，可以更加簡(jiǎn)便、快捷地求解“從 n 個(gè)不同元素 中取出 m (mn）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”這類特殊的計(jì)數(shù)問(wèn)題1.1 節(jié)中的例 9 是否也是這類計(jì)數(shù)問(wèn)題？你能用排列的知識(shí)解決它嗎？四、課堂練習(xí) ：1 若 x n!3!， 則 x （ ） ( A) A3n( B ) An 3n(C ) A n 3( D ) A3 n 32 與 A310A77不 等 的 是 （ ） ( A) A910( B ) 81 A88(C ) 1

44、0 A99( D ) A10103 若 A5 2 A3 ，則 m 的值為 （ ） ( A) 5 m m( D ) 7( B ) 3(C ) 62 A5 3 A64計(jì)算： 9 9!A6；( m 1)! An 1 (m n )!m 15若 2 ( m 1)!Am 1m 142 ，則 m 的解集是 6（1）已知 A m1010 9 5 ，那么 m ； （2）已知 9! 362880 ，那么 A79= ；（3）已知 A2 56 ，那么 n n； （4）已知 A 2 7 A2n n 4，那么 n 一個(gè)火車站有 8 股岔道，停放 4 列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道 只能停放 1 列火車

45、）？一部紀(jì)錄影片在 4 個(gè)單位輪映，每一單位放映 1 場(chǎng)，有多少種輪映次序？答案：1. B2. B6. (1) 6 (2) 1814403. A(3) 84. 1,1(4) 55.2,3,4,5,6 7. 16808. 2413第三課時(shí)例 1（1）有 5 本不同的書，從中選 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，共有多少種不同 的送法？（2）有 5 種不同的書，要買 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？ 解：（1）從 5 本不同的書中選出 3 本分別送給 3 名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從 5 個(gè)元素中任取 3 個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是： A3 5 4 3 60 ，

46、所以，共有 60 種不同的送法5（2）由于有 5 種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的 1 本書都有 5 種不同的選購(gòu)方法，因此送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本書的不同方法種數(shù)是： 5 5 5 125 ，所以，共有 125 種不同的送法 說(shuō)明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從 5 本不同的書中選出 3 本分送給 3 位同學(xué)， 各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問(wèn)題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從 5 種不同的 書中任選 1 種，各人得到那種書相互之間沒(méi)有聯(lián)系，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算例 2某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán) 3 面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任意 掛 1 面、2 面或 3 面，

47、并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？解：分 3 類：第一類用 1 面旗表示的信號(hào)有 A13種；第二類用 2 面旗表示的信號(hào)有 A 23種；第 三 類 用 3 面 旗 表 示 的 信 號(hào) 有 A33A1 A 2 A3 3 3 2 3 2 1 ，15 3 3 3種 ， 由 分 類 計(jì) 數(shù) 原 理 ， 所 求 的 信 號(hào) 種 數(shù) 是 ：例 3將 4 位司機(jī)、 4 位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一 位司機(jī)和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個(gè)問(wèn)題可以分為兩步，第一步：把 4 位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車 上，即從 4 個(gè)不同元素中

48、取出 4 個(gè)元素排成一列，有 A4 種方法；4第二步：把 4 位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有 A 4 種方法，4利用分步計(jì)數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計(jì)數(shù)原理，分配方案共有 N A44以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？A44576 （種）例 4用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字，可A19解法 1：用分步計(jì)數(shù)原理：所 求 的 三 位 數(shù) 的 個(gè) 數(shù) 是 ：A29 9 8 6489解法 2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是 0 的三位數(shù)有 A39個(gè)，個(gè)位數(shù)字是 0 的三位數(shù)有 A2 個(gè)，十位數(shù)字9是 0 的三位數(shù)有個(gè)，A29由分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：

49、 A39A 29A 29648 解法 3：從 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字中任取 3 個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 A3 ，其中以 0 為排頭的排列1014數(shù)為 A29，因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是 A310A 29648 - A 29說(shuō)明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法 直接法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行恰 當(dāng)?shù)姆诸惡头植?，直接?jì)算符合條件的排列數(shù)如解法 1，2；間接法：對(duì)于有限制條件的排列 應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來(lái)，然后再減去不符合限制條件的情 況種數(shù)如解法 3對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當(dāng)?shù)卮_定分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，防止重 復(fù)與遺漏第四課時(shí)例 5（1）7 位同學(xué)站成一排

50、，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：7 個(gè)元素的全排列 A 775040（2）7 位同學(xué)站成兩排（前 3 后 4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：76543217！5040（3）7 位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的 6 個(gè)元素的全排列 A 66=720（4）7 位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有 A 22種；第二步 余下的 5 名同學(xué)進(jìn)行全排列有 A 55種，所以，共有 A 22A55=240 種排列方法（5）7 位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法

51、共有多少種？解法 1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5 位同學(xué)中選 2 位同學(xué)站在排頭和排尾 有 A 2 種方法；第二步從余下的 5 位同學(xué)中選 5 位進(jìn)行排列（全排列）有 A 5 種方法，所以一共5 5有 A 2 A 5 2400 種排列方法5 5解法 2：（排除法）若甲站在排頭有 A 66種方法；若乙站在排尾有 A 66種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有 A 55 A 5 =2400 種 5種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有 A 77 2 A 66說(shuō)明：對(duì)于“在”與“不在”的問(wèn)題，常常使用“直接法”或“排除法，”對(duì)某些特殊元素可 以優(yōu)先考慮例 6.從 10 個(gè)

52、不同的文藝節(jié)目中選 6 個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定 不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：（從特殊位置考慮） A1 A 5 136080 ；9 9解法二：（從特殊元素考慮）若選： 5 A59；若不選： A 69，則共有 5 A5 9A 69136080 種；解法三：（間接法） A6 A5 13608010 915第五課時(shí)例 7 7 位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的 5 個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn) 行全排列有 A 6 種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有 A 2 種方法所

53、以這樣的排6 2法一共有 A6 6A221440 種（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有 A 55A 33720 種（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有 6 個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的 5 個(gè)元素中選取 2 個(gè)元素放在排頭和排尾，有 A 25種方法；將剩下的 4 個(gè)元素進(jìn)行全排列有 A 44種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有 A 2 種方法所以這樣的排法一共有 A 2 A 4 A 2 960 種方法2 5 4 2解法二：將甲、乙兩同學(xué)“

54、捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有 6 個(gè)元素，若丙站種方法，在排頭或排尾有 2 A 55所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有 ( A 662 A 55) A22960 種方法解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有 6 個(gè)元素，因?yàn)楸?不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有 A1 種方法，再將其余的 5 個(gè)元素4進(jìn)行全排列共有 A 55種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以，這樣的排法一共有 A14A 55A 22960 種方法（4）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)必須站在一起，另外四個(gè)人也必須站在一起解：將甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，另外四個(gè)人“捆綁

55、”在一起 看成一個(gè)元素，時(shí)一共有 2 個(gè)元素，一共有排法種數(shù)： A3 A 4 A 2 288 （種）3 4 2說(shuō)明：對(duì)于相鄰問(wèn)題，常用“捆綁法”（先捆后松）例 87 位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法） A 7 A 6 A2 3600 ；7 6 2解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有 A 55種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置（空）有 A 26種方法，所以一共有 A 55A 263600種方法（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？1610解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有 A 4 種方法，此時(shí)他們

56、留下五個(gè)“空”，再將甲、乙和丙三4個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”有 A 35種方法，所以一共有 A 44A 351440 種說(shuō)明：對(duì)于不相鄰問(wèn)題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）第六課時(shí)例 95 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定 順序排列解：（1）先將男生排好，有 A55括兩端）中，有 2 A5 種排法5種排法；再將 5 名女生插在男生之間的 6 個(gè)“空擋”（包故本題的排法有 N 2 A5 A5 28800 （種）；5 5（2）方法 1： N A1010 A5A5530240 ；方法 2：設(shè)想有 10 個(gè)位置，先將男生排在其中的任意 5 個(gè)位置上，有

57、A5 種排法；余下10的 5 個(gè)位置排女生，因?yàn)榕奈恢靡呀?jīng)指定，所以她們只有一種排法故本題的結(jié)論為 N A5102007 年高考題1 30240 （種）1（2007 年天津卷）如圖，用 6 種不同的顏色給圖中的 4 每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用 3 種顏色且相鄰的兩個(gè)格子涂色， 個(gè) 格 子 顏 色不同，則不同的涂色方法共有 390 種（用數(shù)字作答）2（2007 年江蘇卷）某校開(kāi)設(shè) 9 門課程供學(xué)生選修，其中 A, B, C 三門由于上課時(shí)間相同，至 多選一門，學(xué)校規(guī)定每位同學(xué)選修 4 門，共有 75 種不同選修方案。（用數(shù)值作答） 3（2007 年北京卷）記者要為 5 名志愿都和他們幫

58、助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位 老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ ）1440 種 960 種 720 種 480 種4圖是某汽車維修公司的維修點(diǎn)分布圖，公司在年初分配給、四個(gè)維修 點(diǎn)的某種配件各件，在使用前發(fā)現(xiàn)需將、四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整 為、件，但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行，那么完成上述調(diào)整，最 少的調(diào)動(dòng)件次（個(gè)配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為）為答案：B；（） （） （） （）175（2007 年全國(guó)卷 I）從班委會(huì) 5 名成員中選出 3 名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與 體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有 36 種（用數(shù)字

59、作答） 6（2007 年全國(guó)卷）從 5 位同學(xué)中選派 4 位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)， 每人一天，要求星期五有 2 人參加，星期六、星期日各有 1 人參加，則不同的選派方法共有 （ B ）A40 種 B60 種 C100 種 D120 種7. （2007 年陜西卷）安排 3 名支教老師去 6 所學(xué)校任教，每校至多 2 人，則不同的分配方案 共有 210 種.（用數(shù)字作答）8（2007 年四川卷）用數(shù)字 0，1，2，3，4，5 可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，并且比 20000 大的 五位偶數(shù)共有（ ）（A）288 個(gè) （B）240 個(gè) （C）144 個(gè) （D）126 個(gè) 解析：選 B對(duì)個(gè)

60、位是 0 和個(gè)位不是 0 兩類情形分類計(jì)數(shù)；對(duì)每一類情形按“個(gè)位最高位中間三位”分步計(jì)數(shù)：個(gè)位是 0 并且比 20000 大的五位偶數(shù)有 14 A3 96 個(gè)；個(gè)位4不是 0 并且比 20000 大的五位偶數(shù)有 2 3 A34144 個(gè)；故共有 96 144 240 個(gè)本題考查兩個(gè)基本原理，是典型的源于教材的題目（2007 年重慶卷）某校要求每位學(xué)生從 7 門課程中選修 4 門，其中甲乙兩門課程不能都選， 則不同的選課方案有_25_種.（以數(shù)字作答）（2007 年寧夏卷）某校安排 5 個(gè)班到 4 個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè) 工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有 240 種（用