1、1.2直觀圖教學案三維目標1知識與技能了解空間幾何體的表示形式，進一步提高對空間幾何體結構特征的認識(2)掌握斜二測畫法的規(guī)則，會用斜二測畫法畫直觀圖2過程與方法通過用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和空間幾何體的直觀圖，提高學生識圖和畫圖的能力，培養(yǎng)學生轉化與化歸的數學思想方法3情感、態(tài)度與價值觀通過畫直觀圖培養(yǎng)學生的探究精神和意識，通過把空間圖形在平面上反映，體會現實與抽象的關系，體會數學的科學價值、應用價值重點難點重點：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖難點：直觀圖與原圖形之間的轉化關系教學建議通過觀察正方體的直觀圖，讓學生感受一下直觀圖的立體感，教師引導學生認識斜二測畫法的規(guī)則，在教師的指

2、導下畫出平面圖形的直觀圖進而過渡到立體圖形的直觀圖，讓學生在畫圖中體會斜二測畫法教學流程倉U設問題情境引出問題：用什么方法畫圖使的圖形立體感強，引出斜二測畫法O通過例1及其變式訓練，使學生掌握用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖O通過例2及互動探究，使學生掌握立體幾何圖形的直觀圖的畫法n通過例3及變式訓練，使學生掌握直觀圖與原圖形之間的轉化n歸納整理，進行課堂小結，整體認識本節(jié)課所學知識匕完成當堂雙基達標，鞏固所學知識并進行反饋矯正課標解讀了解空間幾何體的表示形式，進一步提高對空間幾何體結構特征的認識.掌握斜二測畫法的規(guī)則，會用斜二測畫法畫直觀圖.(重點).知識1斜二測畫法【問題導思】下面都是經典的

3、圖畫與照片，反映著大自然、古今建筑、航空航天等真實、美麗、壯觀、祥和、有意義的場景從數學的角度看，它們都是空間圖形在平面上的反映我們怎樣利用手中的紙和筆將空間幾何體畫為平面圖形且不失真實感受呢？一個水平放置的平面圖形，如果是正方形，那么它的直觀圖還是正方形嗎？【提示】不再是正方形，是平行四邊形斜二測畫法規(guī)則在已知圖形中建立直角坐標系xOy,畫直觀圖時，它們分別對應x軸和y軸，兩軸交于點O使厶Oy=45,它們確定的平面表示水平平面.已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸和y軸的線段.已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長1度為原來的知識

4、2空間立體圖形的直觀圖畫法【問題導思】如何由畫平面圖形直觀圖過渡到畫立體圖形的直觀圖？【提示】畫完水平放置的平面圖形的直觀圖后，多畫一條表示高度的數軸z軸.立體圖形與平面圖形相比多了一個z軸，其直觀圖中對應于z軸的是z軸，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示直立平面.平行于z軸的線段，在直觀圖中平行性和長度都不變.類型1水平放置的平面圖形直觀圖的畫法例1如圖121是正方形ABCE和正三角形CDE所組成的平面圖形，試畫出其水平放置的直觀圖【思路探究】首先在所給圖形中建立一個直角坐標系xoyI再對應畫出xoyp|按斜二測畫法規(guī)則作圖【自主解答】(1)以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為

5、y軸建立直角坐標系如圖(1),建立坐標系xOy，使兩軸的夾角為45(圖).1以O為中點，在X軸上截取ABAB，分別過A,B作y軸的平行線，截取AE=2a丄1E，BC=2BC.在y軸上截取OD=2OD.連接AE，ED，EC，CD，BC，并擦去作為輔助線的坐標軸，就得到所求的直觀圖(圖(3).規(guī)律方法1本題原圖形中沒有坐標系，則選取適當的坐標系是解決本題的關鍵2在直觀圖中確定坐標軸上的對應點及與坐標軸平行的線段的端點的對應點比較簡單對原圖中不在坐標軸上或者不在與坐標軸平行的線段上的點，常過這些點作坐標軸的平行線，以確定這些點在直觀圖中對應點的位置變式訓練如圖122所示，在平面直角坐標系中，各點坐標

6、分別為0(0,0),A(l,3),B(3,1),C(4，6)，D(2，5)試畫出四邊形ABCD的直觀圖.【解】(1)先畫x軸和y軸，使厶O少=45(如圖(1).(2)在原圖中作AE丄x軸，垂足為E(1,0).在x軸上截去OE=OE，作人丁軸，截取EA=1.5.同理確定點B、C、D，其中BG=0.5,CH=3,DF=2.5.連線成圖(擦去輔助線)(如圖(2).類型2立體圖形的直觀圖畫法例2畫出一個正三棱臺的直觀圖(尺寸：上、下底面邊長分別為1cm、2cm,高2cm).【思路探究】畫立體圖形的直觀圖與平面圖形的直觀圖有何區(qū)別？【自主解答】(1)畫軸，以底面厶ABC的垂心O為原點，OC所在直線為y軸

7、，過O點平行于AB的直線為x軸，建立平面直角坐標系，以上底面ABC的垂心O與O的連線為z軸，建立空間直角坐標系.33畫下底面，在xOy平面上畫厶ABC的直觀圖，在y軸上量取OC=3cm，OD=6cm.過D作ABx軸，且AB=2cm,以D為中點，貝仏ABC為下底面三角形的直觀圖.畫上底面，在z軸上截取OO=2cm，過O作x，軸x軸，y，軸y軸，3曲在y，軸上量取O,C，=6cm，OD=12cm,過D作ABx，軸，AB=1cm,且以D為中點，貝ABC為上底面三角形的直觀圖.連線成圖，連接AA，BB，CC，并擦去輔助線，則三棱臺ABCA，B，C，即為所要畫的正三棱臺的直觀圖.規(guī)律方法1用斜二測畫法作

8、空間圖形（立體圖形）的直觀圖，原圖形的高在直觀圖中長度保持不變，本題只要確定了三棱臺的上、下底面，整個直觀圖也就確定了2若兩次作底面較為繁瑣時，可以先作相應的棱錐，運算確定上底面的位置后，用平面去截取（只需作平行線）互動探究本例中將正三棱臺改為上、下底面邊長分別為6cm、8cm,高為4cm的正四棱臺呢？【解】以底面四邊形ABCD的兩條對角線交點O為原點，過O點平行于AB的直線為x軸，過O點平行于AD的直線為y軸，建立平面直角坐標系，以上底面四邊形A1B1C1D的兩條對角線交點O與O的連線為z軸，建立空間直角坐標系.（2）畫下底面，以O為中點，在;軸上取線段EF,使得EF=8cm,在y軸上取線段

9、GH,使1得GH=2EF,GH的中點為O,再過G、H分別作ABEF,CD/EF，AB=EF=CD=8cm，且使得AB的中點為G,CD的中點為H,連接AD、BC,這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖.（3）畫上底面，在z軸上截取線段OO=4cm,過O點作OXOx、Oy/Oy，貝ZxOj，=45.建立坐標系xOj,在xOy中重復步驟的方法畫出上底面的直觀A1B1C1D1（圖）.（4）再連接AABBCCDD1，并擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖（圖）.類型3直觀圖與原圖形之間的轉化例3如圖123，一個水平放置的平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個底角為45，腰和上底長均為1的等

10、腰梯形，求原四邊形的面積.【思路探究】在由直觀圖轉換為平面圖形的過程中，要注意直觀圖中的哪些量不變？哪些量改變？怎么改變？【自主解答】如圖是四邊形的直觀圖，取BC所在直線為x軸.因為ZABC=45,所以取BA所在直線為y軸.過D作DEAB,DE交BC于E,貝yBE=AD=l.圖(1)圖(2)又因為梯形為等腰梯形，所以EDC為等腰直角三角形.所以ECh邁.再建立一個直角坐標系xOy,貝貝9、B重合，如圖所示，在x軸上截取線段BC=BC=1+2,在y軸上截取線段BA=2BA=2.過A作ADBC，截取AD=AD=1.連接CD,則四邊形ABCD就是四邊形ABCD的平面圖形.四邊形ABCD為直角梯形，上

11、底AD=1,下底BC=1+/2，高AB=2,所以S11_梯形BC=2AB(AD+BC)=2x2x(1+1+)=2+-邁.規(guī)律方法1平面圖形的直觀圖與原圖形之間的關系要注意以下兩個方面：平行關系的不變性，充分利用與x軸、y軸平行的線段，是解題的關鍵.長度關系的規(guī)律變化，尤其是與y軸平行的線段計算時應特別注意長度的變化.2求原圖形的面積，關鍵是根據直觀圖還原成實際圖形變式訓練如圖124,已知OBC是AOiBiC的斜二測畫法的直觀圖，求OBC.*yf7ClL/A、/0/EDBx01EiBix圖124【解】法一根據C1E1=2CE=2xJ2a6a,.*.SO1B1C1=2x2ax”6a=V6a2.法二

12、.C1E1=2CE=2、扭CD，且OB=O1B1，1邁.*.SO1B1C1=2；2Sobc=22x2X2ax2a=討6a2.忽視斜二測畫法的規(guī)則致誤典例畫出圖125中四邊形OABC的直觀圖（圖中數據已給出）.【錯解】以O為原點，OB所在直線為x軸建立直角坐標系xOy,如圖甲，作ZCOB，=45,其中OB是水平的，0&，=4,O,D,=3，O，C=1,過D，作ZBDA=90。，使AD=1,順次連接OA,AB,BC所得四邊形OABC即為四邊形OABC的直觀圖，如圖乙.【錯因分析】坐標軸上的點O,B,C畫得正確，點A的直觀圖位置畫錯了，應該依據點A到y(tǒng)軸的距離不變，至氏軸的距離減半的方法確定A的位置

13、.防范措施】熟練斜二測畫法的規(guī)則即平行性與長度問題是解決此類問題的關鍵【正解】如圖所示，作ZCOB=45。，其中OB是水平的，OB=4,OD=3,OC=1,過點D作ZBDA=135，使AD=l,順次連接OA，AB，BC，所得四邊形即為四邊形OABC的直觀圖.斜二測畫法的要點是橫不變、縱減半、平行位置不改變.無論畫平面圖形的直觀圖，還是畫空間圖形的直觀圖，都要嚴格按照斜二測畫法.在直觀圖中，原來與軸平行的線段仍然與軸平行，角的大小一般都會改變，因此已知直觀圖而計算原圖中的有關數據時，首先要將直觀圖復原.1.關于斜二測畫法畫直觀圖，下列說法不正確的是()在實物圖中取坐標系不同，所得的直觀圖有可能不

14、同平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標軸平行于坐標軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變斜二測坐標系取的角可以是1351【解析】平行于y軸的線段在直觀圖中變?yōu)樵L的2【答案】C2如圖126為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是()【答案】C有一個長為5cm,寬為4cm的矩形，則其斜二測直觀圖的面積為【解析】直觀圖的面積Sf=5x4x2szn45=5、,hcm2.【答案】52cm2畫出如圖127所示的梯形ABCD的直觀圖.【解】畫法：(1)如圖所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點A為原點，建立平面直角坐標系xOy.如圖所示，畫出對應的x軸，y軸，使Zx,A,y,=45.(2)

15、如圖所示，過D點作DE丄x軸，垂足為E.如圖所示，在x軸上取AB=AB,AE1=AE；過E作EDy軸，使ED=2ED，再過點D作DCx軸，且使DC=CD.連接AD、BC、CD,并擦去X軸與y軸及其他一些輔助線，如圖所示，貝四邊形ABCD就是所求作的直觀圖.AfBf一、選擇題利用斜二測畫法得到：三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；梯形的直觀圖是梯形；矩形的直觀圖是矩形；菱形的直觀圖菱形.以上結論正確的是()B.C.D.【解析】由斜二測畫法的規(guī)律知：畫出直觀圖時，平行性不變，垂直性改變，故正確，錯.應選B【答案】B如圖128,直觀圖所表示的平面四邊形ABCD是()任意四邊形直角

16、梯形等腰梯形平行四邊形【解析】錯誤!)直角梯形【答案】B3如圖129，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的形狀是()解析】答案】AycB/.0DAx圖12104.如圖1210所示，四邊形OABC是上底為2,下底為6,底角為45。的等腰梯形，由斜二測畫法得到這個梯形的直觀圖為四邊形OABC,在直觀圖中梯形的高為()A.2B12C.21D.2【解析】按斜二測畫法，得到梯形的直觀圖OABC,如右圖所示，在原圖形中梯形的高CD=2，在直觀圖中CD=1,且ZCDE=45。，作CE垂直于x軸于E,貝CE即為直2觀圖中梯形的高，那么CE=CDsin45=2.答案】C5一個水

17、平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，如圖1211所示，則原平面圖形的面積為()A.4右B.4；2C.8込D.82【解析】由斜二測畫法可知，原平面圖形是一個平行四邊形，且它的一組對邊長為2，在直觀圖中OB=2邊，且ZBOA=45。，則在原平面圖形中，ZBOA=90,且OB=.2,因此，原平面圖形的面積為2x4迂=8.迂.【答案】D二、填空題6.(2013廣州高一檢測)已知菱形ABCD的邊長是4,ZDAB=60,則菱形ABCD的斜二測直觀圖的面積是【解析】由已知得BD=4,AC=4,3，且AC丄BD,所以其斜二測直觀圖的面積為S=2x4/3x4x2x

18、sin45=2：/6.【答案】技67.已知直角坐標系xOy內有兩點B(0，2邁)，A(4,0)用斜二測畫法畫AB的直觀圖AB,則AB的長度是.在新坐標系xOy中OA=4,OB2,【解析】結合直角坐標系xOy中條件知,作BH丄x軸于點H在RtOBH中，易知BH=1；由RtBAH中，易知AB=.12+32=;五.【答案】!0如圖1212所示是水平放置的ABC在直角坐標系中的直觀圖，其中D是AC的中點，原ACB中，ZACB工30,貝V原圖形中與線段BD的長相等的線段有條.【解析】先按照斜二測畫法把直觀圖還原為真正的平面圖形，然后根據平面圖形的幾何性質找與線段BD長度相等的線段，把厶ABC還原后為直角

19、三角形，則D為斜邊AC的中點,AD=DC=BD.【答案】2三、解答題畫水平放置的直角梯形的直觀圖.【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立直角坐標系，如圖(1)所示.1畫相應的x軸和y軸，使ZxOy=45.在X軸上取OB=OB,在y軸上取OD=2OD,過D作x軸的平行線1，在l上沿x軸正方向取點C,使得DC=DC，如圖(2)所示.連接BC，所得四邊形OBCD就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3).畫出底面邊長為2cm,高為3cm的正四棱錐的直觀圖.【解】畫法如下：(1)畫軸：如圖(1),畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O,使厶Oy

20、=45,厶Oz=90.圖圖(2)畫底面：以點O為中點，在%軸上取線段MN,在y軸上取線段PQ，分別使MN=2cm,PQ=1cm,再分別過點M、N作y軸的平行線，過點P、Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A、B、C、D,四邊形ABCD即為正四棱錐的底面ABCD.(3)畫高，在z軸上截取OS=3cm.成圖，連接SA,SB,SC,SD,并去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，就得正四棱錐的直觀圖，如圖(2)11.在水平放置的平面Q內有一邊長為1的正方形ABCD,如圖1213，其中對角線AC在水平位置.已知該正方形是某個四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，試畫出該四邊形的真實圖形并求出其面積.【解】真實圖形如圖所示.因為AC在水平位置，四邊形ABCQ，為正方形，所以在四邊形ABCD