1、2011 高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書仔細閱讀了學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括、電子郵件、網(wǎng)上等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、與賽題有關(guān)。知道別人的成果是競賽規(guī)則的, 如果別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文處和參考文獻中明確列出。鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。競賽規(guī)則的行為，受到嚴肅處理。參賽選擇的題號是（從 A/B/C/D 中選擇一項填寫）： A的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：08031所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?哈爾濱工程大學(xué)參賽隊員 (打

2、印并簽名) ：1.2.3.贏(打印并簽名)：指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組日期： 2011 年 09 月 12 日賽區(qū)評閱（由賽區(qū)評閱前進行）：080312009 高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽頁賽區(qū)評閱（由賽區(qū)評閱前進行）：賽區(qū)評閱（可供賽區(qū)評閱時使用）：（由賽區(qū)送交前）：評閱（由評閱前進行）：評閱人評分備注城市表層土壤重金屬污染分析摘要本文建立數(shù)學(xué)模型，分析了城市表層土壤重金屬污染情況，解決了確定污染源位置、確定空間任意一點的重金屬污染物濃度以及該模型的優(yōu)化推廣。對于問題 1 和 2，利用對采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)以及8 種主要重金屬元素在采樣點處的濃度進行分析，運用插值法繪圖給出了 8 種

3、主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并通過對圖和數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，分析了重金屬元素在該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域的污染程度和造成污染的主要原因是工業(yè)廢物和汽車尾氣排放。對于問題 3，斯分布，根據(jù)結(jié)合 8 種主要重金屬元素的背景值，得知重金屬濃度分布基本符合高特性建立重金屬污染物的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)實際測量數(shù)據(jù)進行多點的污染源數(shù)據(jù)匹配，可以將模型求解并得出主要源的位置，如：As 污染源：（x=4742，y=7293，z=9，濃度=21.87）（12696，3024，27，23.72）（19007， 11488，84，30.13），Ni 污染源：（3299，6018，4，142.5）（22193，12185，79，74.

4、03），利用作出所得數(shù)學(xué)模型方程的圖像，與由實際測量的濃度分布圖相比較，檢驗出該數(shù)學(xué)模型可靠度和靈敏度均較高。再根據(jù)得出的適用于各重金屬污染物的方程，計算出空間任意點的重金屬濃度。對于問題 4，該模型的優(yōu)點在于物理意義明確，形式簡單，模擬的精確度較高；同時了其缺點是由于現(xiàn)有數(shù)據(jù)考慮不夠全面，如：該模型未考慮在擴散過程中的沉淀效應(yīng)和風(fēng)速等對污染物濃度的影響，由于沒有重金屬元素隨時間的演變的相關(guān)數(shù)據(jù)，此模型只能描述重金屬元素在空間的分布。為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)參考標準偏差的豎直方向的參考值、由沉淀或植被阻擋情況造成的損失、風(fēng)速以及各采樣點在不同時刻的樣本數(shù)據(jù)值。關(guān)鍵字：重金屬污染

5、分布 污染物數(shù)學(xué)模型 污染源確定 數(shù)據(jù)匹配目錄問題背景與重述3問題背景3問題重述3問題分析33.模型假設(shè)4.符號說明5.模型建立與求解444問題一的求解4問題二的求解11問題三的建模與求解125.3.15.3.25.3.3模型的建立12模型的求解13模型的檢驗145.4 問題四的建模15模型優(yōu)缺點分析15模型的優(yōu)點15模型的缺點16模型優(yōu)化與推廣16模型優(yōu)化16模型推廣17參考文獻17一.問題背景與重述1.1 問題背景隨著城市經(jīng)濟的快速發(fā)展和城市的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境注的焦點。1.2 問題重

6、述價，研究人類活動影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為 1 類區(qū)、2 類區(qū)、5 類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同。為此，將所的城區(qū)劃分為間距 1 公里現(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里 1 個采樣點對表層土（010 厘米深度）進行取樣、，并用 GPS采樣點的位置。應(yīng)用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照 2 公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。已知采樣點的位置、海拔高度及其所屬功

7、能區(qū)等信息，另有 8 種主要重金屬元素在采樣點處的濃度及背景值。請通過數(shù)學(xué)建模來解決問題：1、給出 8 種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。2、通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。3、分析重金屬污染物的特征，由此建立模型，確定污染源的位置。4、分析所建立模型的優(yōu)缺點，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集哪些信息。運用這些信息，如何建立模型解決問題。二.問題分析經(jīng)過對城區(qū)內(nèi)表層土壤中 8 種主要重金屬元素采樣結(jié)果的分析后，城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度及原因時，應(yīng)遵循如下三個原則：發(fā)現(xiàn)評價該1、不同區(qū)域間的污染程度與分級標準間的關(guān)系應(yīng)是正確、標

8、準的；2、不同的重金屬在污染程度分級標準中所占的權(quán)重可以是不同的（要視其物理及化學(xué)特性對環(huán)境造成的影響而定）；3、分析污染原因時，應(yīng)將污染的程度和種類與區(qū)域特點相結(jié)合除此以外，發(fā)現(xiàn)重金屬的主要自然外力以及人類活動的影響，如：重金屬受自身重力、降水等自然動造成的重金屬濃度的的積累導(dǎo)致的以及工業(yè)生產(chǎn)、交通流、人流等人類活。以上兩者都造成了城區(qū)表層土壤中重金屬濃度的變化。因此，在建立模型確定污染源位置時，要遵循以上三個原則并結(jié)合實際特點，抓住主要及合理建模。另外，在建立城市地質(zhì)環(huán)境演變模式的模型中還要考慮時間。三.模型假設(shè)通過對 8 種主要重金屬元素空間分布的統(tǒng)計分析得知，重金屬濃度分布基本符合高斯

9、分布，給出的參考期望、方差及范圍也說明其濃度分布的類如下假定：性。因此可以作1、2、3、4、污染物濃度的分布符合源強是連續(xù)均勻的；分布，即正態(tài)分布；在擴散過程中污染物質(zhì)量是守恒的，無沉淀或植被阻擋等；無氣候變化及風(fēng)速的影響。四.符號說明圖 5.1-1As 在該城區(qū)的空間濃度分布圖 5.1-2Cd 在該城區(qū)的空間濃度分布圖 5.1-3Cr 在該城區(qū)的空間濃度分布圖 5.1-4Cu 在該城區(qū)的空間濃度分布圖 5.1-5Hg 在該城區(qū)的空間濃度分布圖 5.1-6Ni 在該城區(qū)的空間濃度分布圖 5.1-7Pb 在該城區(qū)的空間濃度分布圖 5.1-8Zn 在該城區(qū)的空間濃度分布在分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬

10、的污染程度前，分析得出了如系：圖 5.1-9區(qū)域土壤重金屬污染體系一個完整的區(qū)域土壤重金屬污染體系，應(yīng)包括以下 7 個環(huán)節(jié)：區(qū)域，功能及特點，物質(zhì)需求，天然本地，其他地區(qū)的重金屬，重金屬元素在地表的積累，理化性質(zhì)。其中，不同的區(qū)域具有不同的功能及特點，不同的功能及特點對區(qū)域的物質(zhì)需求不同，這些不同種類的物質(zhì)又會在人類的生產(chǎn)及生活的作用下發(fā)生轉(zhuǎn)化，從而排放出不同的重金屬元素。同時，天然本底中本身還存在著少量的重金屬元素，以及由于自然外力（如：重力作用、降水沖刷等）的作用下得到積聚的重金屬元素。這些在一起的不同的重金屬元素又擁有不同的理化性質(zhì)。根據(jù)理化性質(zhì)的不同，重金屬元素對區(qū)域的造成的影響也會有

11、所不同，綜合以上不同對區(qū)域地質(zhì)環(huán)境的影響，列出分析方程得出數(shù)值，對照分級標準確定污染等級，從而更有力的評價該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。其中，分析方程主要從以下兩個方面考慮：1、同一元素不同區(qū)域的污染程度主要采用地質(zhì)累積指數(shù)法。通過對 8 種元素，不同區(qū)域的地質(zhì)累積指數(shù)從而確定不同元素在不同采樣點的污染程度。按五個區(qū)域進行統(tǒng)計各污染等級百分比，如下表：通過上表可以直觀的讀到城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域 8 種重金屬的污染程度：a、主干道路區(qū)和工業(yè)區(qū)污染最嚴重；均以 Hg、Zn、Cu 污染為主。b、生活區(qū)和公園綠地區(qū)污染次之；其中生活區(qū)污染主要集中在 Cr、Zn,公園綠地區(qū)以 Hg 為主。c、山區(qū)污染最輕

12、，有中到強度的 Ni 污染。2、 同一區(qū)域不同元素的污染程度 主要采用潛在生態(tài)危害指數(shù)法。該方法是根據(jù)重金屬性質(zhì)及環(huán)境行為特點，從沉積學(xué)角度提出，對土壤或沉積物中土壤重金屬污染進行評價。不僅考慮土壤重金屬含量，而且將重金屬的生態(tài)效應(yīng)，環(huán)境效應(yīng)與毒理學(xué)結(jié)合。公式如下：表 5.1-5 不同區(qū)域內(nèi)各危害程度所占百分比生活區(qū)工業(yè)區(qū)山區(qū)主干道路區(qū)公園綠地區(qū)低度中度重度嚴重38.6%36.3%20.5%4.5%25.0%30.6%25.0%19.4%84.8%13.6%1.5%0.0%31.2%37.0%23.2%8.7%40.0%40.0%14.3%5.7%通過上表再次驗證了城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域的重金屬污染，

13、工業(yè)區(qū)污染最嚴重，山區(qū)污染最輕；其中，嚴重污染主要集中在工業(yè)區(qū)，其次是主干道路區(qū)、公園綠地區(qū)、生活區(qū)以及山區(qū)；嚴重污染，工業(yè)區(qū)、主干道路區(qū)、生活區(qū)平分秋色，公園綠地區(qū)次之，山區(qū)最輕；中度污染除山區(qū)最輕外，其他四區(qū)基本持平；低度污染主要集中在山區(qū)。5.2 問題二的求解重新整理表 5.1-2 得到 8 種重金屬元素各污染等級的采樣點個數(shù)百分比，如下表：由上表并結(jié)合圖 5.1-1 到圖 5.1-8 可以得出：1、As、Cd、Cu、Hg、Zn 在主干道路區(qū)和工業(yè)區(qū)污染較高，主要原因：a、As 主要來自工業(yè)生產(chǎn)及含砷廢氣和廢渣，對環(huán)境造成污染。的使用、煤的燃燒，這些過程都可產(chǎn)生含砷廢水、b、Cd 主要來

14、源于汽車尾氣的排放以及應(yīng)用于電鍍、采礦、冶煉、電池等工業(yè)。c、Cu 來源于銅鋅礦的開采和冶煉、金屬加工、機械制造、鋼鐵制造等工業(yè)生產(chǎn)。d、Hg 主要來自氯堿、電池、電子等工業(yè)排放的廢水，廢氣。e、Zn 在采礦場、選礦廠、合金廠、冶金聯(lián)合企業(yè)、機器制造廠、鍍鋅廠、儀器儀表廠、有機工廠和造紙廠等排放的工業(yè)廢水中大量存在，再到土壤中。2、Cr 元素在主干道路區(qū)和生活區(qū)污染較高，主要原因：Cr 主要來源于劣質(zhì)化妝品原料、紙張、皮革制劑、鞣革、橡膠和陶瓷原料、金屬部件鍍鉻部分（這些生活必需品廣泛存在于生活區(qū)中），且煤和石油燃燒的廢氣中含有顆粒態(tài)鉻(主要存在于主干道路區(qū)的汽車尾氣排放中)。3、Ni 元素污

15、染較小，在主干道路區(qū)和山區(qū)略有部分，主要原因：石油中鎳的含量為 1.464ppm，大部分煤也含有微量鎳,通過汽車發(fā)缸內(nèi)的燃燒過程被出來,再沉積到土壤中。4、Pb 元素在工業(yè)區(qū)和生活區(qū)污染較高，主要原因：Pb 來源于冶煉、制造和使用鉛制品的工礦企業(yè)，消費領(lǐng)域有蓄電池、電纜護套、氧化鉛和鉛材，因此，蓄電池行業(yè)是消費大戶。問題三的建模與求解模型的建立參看圖 5.1-9 可知，重金屬的主要來源有以下三個途徑：1、自然本底2、其他地區(qū)的重金屬在自然外力的作用下積累而成3、由于人類活動而排放的重金屬元素由此可知，重金屬的主要通過后兩種途徑?；趯δＰ图僭O(shè)，重金屬污染物的以污染源為原點，以指數(shù)衰減規(guī)律向四周

16、擴散，其擴散程度與地形以及該金屬的標準差有關(guān)。如下圖：圖 5.3-1 擴散與地形關(guān)系圖通過對 8 種主要重金屬元素空間分布的統(tǒng)計分析得知，重金屬濃度分布基本符合高斯分布，給出的參考期望、方差及范圍也說明其濃度分布的類性。以擴散公式為理論基礎(chǔ)，建立重金屬污染物的理論模型，空間內(nèi)任意一點的污染物濃度可表示為：5.3.2 模型的求解利用實際測量數(shù)據(jù)，用值，得到各重金屬污染物 y，z，濃度），如下：求得多個污染源的位置、海拔以及濃度的數(shù)據(jù)匹配特征方程的數(shù)學(xué)模型，和主要污染源的各項參數(shù)（x，圖 5.3-3Hg 對照圖圖 5.3-4Pb 對照圖5.4 對問題四的建模由于問題四要求分析該模型的優(yōu)缺點，并通過豐富信息使該模型的應(yīng)用范圍更廣泛，這與“六.模型優(yōu)缺點分析”和“七.模型優(yōu)化與推廣”所在下兩個部分中做詳細陳述，這里不再贅述