1、6.4.3 正余弦定理的實際運(yùn)用（精練）【題組一 正余弦定理的綜合運(yùn)用】1（2020浙江杭州市高一期末）已知的內(nèi)角，的對邊分別是，且（1）求的大??；（2）若的面積等于，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1），由余弦定理得，（2）因為，所以，又，故，于是，所以2（2020霍邱縣第一中學(xué)高一期末）在中，分別為內(nèi)角所對的邊長，.（1）求角的大??；（2）求的面積.【答案】(1) ；(2) 【解析】（1）由內(nèi)角和定理得，因為，故，因為，所以.所以根據(jù)正弦定理得：，因為，所以，所以.（2）由（1）得，所以.3（2020三門峽市外國語高級中學(xué)高一期中）已知中，內(nèi)角、所對的邊分別為、，且滿足.（1）求角的

2、大??；（2）若邊長，求的周長最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），根據(jù)正弦定理得，即，由余弦定理得.又，所以；（2），由正弦定理得，可得：，由可得，可得.因此，的周長的最大值為.4（2020四川高一月考（文）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）當(dāng)時，求面積的最大值，并指出面積最大時的形狀.【答案】（1）；（2）有最大值，此時為等腰三角形.【解析】（1）由正弦定理及已知得到，又，所以，從而，所以，又在中，所以.又，所以.（2）由（1）及正弦定理知道，所以，.所以.因為，所以.從而.因為，所以當(dāng)時，有最大值，此時，為等腰三角形.5（2020江蘇泰州市興化一中高一期中）

3、已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a、b、c，滿足且.（1）求角B；（2）求周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理，得，即，又，又得.（2）在中，由正弦定理，.6（2020安徽和縣高一期末（理）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大??；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，由余弦定理得又為的內(nèi)角，所以. （2）由正弦定理得，即有，. 所以因為，所以，所以，所以即.故的取值范圍為7（2020浙江高一期末）在銳角中，角所對的邊分別是a，b，c，.（1）求角A的大?。唬?）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】

4、（1），結(jié)合余弦定理，可得：，又，（2）因為，所以，所以，所以是銳角三角形，所以，解得,綜上，的取值范圍是8（2020浙江高一期末）在中，角，的對邊分別為，.（）求角的大??；（）若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍.【答案】（）；（）.【解析】（）因為， 由正弦定理可得，即為.由余弦定理可得，因為，所以.（）在中由正弦定理得，又，所以，所以， ，因為為銳角三角形，所以，且，所以且，所以且，所以，所以，所以周長的取值范圍是.9（2020四川省成都市鹽道街中學(xué)高一期中）已知、為的三內(nèi)角，且其對邊分別為、，若（1）求（2）若，求的面積【答案】（1）；（2）【解析】（1），由正弦定理可得：，（2）由，

5、由余弦定理得，即有，故的面積為10（2021湖南益陽市高二期末）在，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題（2）中，并完成問題的解答問題：已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求A；（2）若_，求的面積注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】（1），由正弦定理可得，又，又由已知，由（2）若選擇，由余弦定理得：，若選擇，由余弦定理得：，整理得：，解得：，或（舍去），若選擇，則，由正弦定理得：，【題組二 正余弦定理與三角函數(shù)綜合運(yùn)用】1（2020浙江）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和最小值；（2）中，的對邊分別為，已知，求，的值.【

6、答案】（1）最小正周期為；最小值為.（2），【解析】（1）.所以的最小正周期，的最小值為.（2）因為，所以，又，所以，得，因為，由正弦定理得，由余弦定里得，又，所以，.2（2020河南新鄉(xiāng)市）已知函數(shù)f(x)=3sinxcosx-cos2x-12（1）求函數(shù)y=f(x)在0,2上的最大值和最小值；（2）在C中，角、C所對的邊分別為a、b、c，滿足c=2，a=3，f()=0，求sin的值【答案】（1）最大值為0，最小值為-32；（2）sin=32114【解析】（1）f(x)=3sinxcosx-cos2x-12=32sin2x-12cos2x-1=sin(2x-6)-1（3分） x0,2， 2x

7、-6-6,56， sin(2x-6)-12,1， f(x)-32,0所以y=f(x)的最大值為0，最小值為-32（2）因為f()=0，即sin(2-6)=1 (0,)， 2-6(-6,116)， 2-6=2， =3又在C中，由余弦定理得，b2=c2+a2-2cacos3=4+9-22312=7，所以C=7，由正弦定理得bsin=asin，即7sin3=3sin，所以sin=321143（2021柳州市第二中學(xué)高二期末（理）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小值和最小正周期；（2）已知內(nèi)角，的對邊分別為，且，若向量與共線，求，的值.【答案】（1）函數(shù)的最小值為，最小正周期為；（2），.【解析】（1）由

8、于函數(shù)，故函數(shù)的最小值為，最小正周期為.（2）中，由于，又，所以，.又向量與共線，所以.由正弦定理得，且.故有，化簡可得，又，.又，可得，解得，.4（2020江西南昌市高一月考）已知，函數(shù).（）求函數(shù)零點；（）若銳角的三內(nèi)角的對邊分別是，且,求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（）由條件可知，所以函數(shù)零點滿足,由，解得 （）由正弦定理得，由（），而，得，又，得，代入上式化簡得： 又在銳角中，有，則有，即：.5（2021江西新余市高三期末（文）已知函數(shù)中，角的對邊分別為，且（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求三角形中的值【答案】（1）；（2）.【解析】(1)依題又故的單調(diào)遞減區(qū)間為(2

9、)由題意知，又，故，依題意，在三角形中，由余弦定理故.6（2020全國）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角的對邊分別為，若，求求的值；求.【答案】（1），；（2），；.【解析】解：（1），最小正周期因為，所以，所以所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）因為，又，所以，所以，又因為，由正弦定理可得，由可得，由正弦定理可得，所以，又所以所以7（2020山東）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（2）若銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且，求面積S的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1由解得：，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2），又，又，在中，由正弦定理得：

10、，得又為銳角三角形，且，故，解得，即面積S的取值范圍是：【題組三 正余弦定理在幾何中的運(yùn)用】1（2020湖北武漢市高一期末）如圖，在中，點在邊上，（）求邊的長；（）若的面積是，求的值【答案】（1）2（2）【解析】（）在中，設(shè)，則由余弦定理得：即：，解之得：即邊的長為2（）由（）得為等邊三角形，作于，則，故 ，在中，由余弦定理得：在中由正弦定理得： ，2（2020江西）如圖所示，在四邊形ABCD中，D2B，且AD1, CD3，cos B.(1)求ACD的面積；(2)若BC，求AB的長【答案】(1) ；（2）4.【解析】(1)因為D2B，cos B，所以cos Dcos 2B2cos2B1.因為D

11、(0，)，所以sin D.因為AD1，CD3，所以ACD的面積SADCDsin D13.(2)在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcos D12，所以AC2.因為BC2，所以，所以AB4.3（2020湖北省崇陽縣第一中學(xué)高一月考）在中，D為上一點，.（1）求角B；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，所以，又，所以；（2）在中，所以因為，所以，在中，由余弦定理得，所以.4（2020四川綿陽市三臺中學(xué)實驗學(xué)校高一開學(xué)考試）如圖，在中，角，的對邊分別為，且.（1）求的大小；（2）若，點、在的異側(cè)，求平面四邊形面積的最大值. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）

12、因為，且，所以，在中，,所以,所以，所以 因為在中，所以 因為是的內(nèi)角所以.（2）在中，因為是等腰直角三角形，所以，所以平面四邊形的面積 因為，所以 所以當(dāng)時， 此時平面四邊形的面積有最大值5（2020福建泉州市高一期末）在平面四邊形中，.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由題，在中，根據(jù)正弦定理，因為，所以，（2）由（1）可知，中，中，解得或（舍，的面積【題組四 正余弦定理在實際生活中的運(yùn)用】1（2020黑龍江大慶市鐵人中學(xué)高一期末）如圖所示，在地面上共線的三點A，B，C處測得一建筑物MN的頂部M處的仰角分別為，且，則建筑物的高度為（ ）ABCD【答案】B【

13、解析】由題意有：底面，在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，在三角形中，由余弦定理可得：，在三角形中，由余弦定理可得：，解得：.故選：B.2（2020眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)高一期中）中華人民共和國國歌有個字，小節(jié)，奏唱需要秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一個水平面上要使國歌結(jié)束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為（米/秒）ABCD【答案】B【解析】如圖，由題意，在中，即，（米/秒）故選B3（2020邵東市第一中學(xué)高一月考）如圖所示，在山底A

14、處測得山頂B的仰角為，沿傾斜角為的山坡向山頂走1000米到達(dá)S點，又測得山頂?shù)难鼋菫?，則山高BC=（ ）A500米B1500米C1200米D1000米【答案】D【解析】依題意，過點作于，于，米，米，依題意，在中，在中，在中，米，米，故選：D4（2020雅安市教育科學(xué)研究所高一期末）如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點A，B到點C的距離ACBC1 km，且C120，則A，B兩點間的距離為（ ）ABCD【答案】A【解析】在中，由余弦定理可得 ，所以故選A【解題必備】當(dāng)?shù)拈L度不可直接測量時，求，之間的距離有以下三種類型（1）如圖1，A，B之間不可達(dá)也不可視，計算

15、方法：測量，及角，由余弦定理可得 （2）如圖2，B，C與點A可視但不可達(dá)，計算方法：測量，角，角，則，由正弦定理可得（3）如圖3，C，D與點A，B均可視不可達(dá)，計算方法：測量在中由正弦定理求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求 圖1 圖2 圖35（2020成都市實驗外國語學(xué)校（西區(qū)）高一期中）如圖，位于處的海面觀測站獲悉，在其正東方向相距40海里的處有一艘漁船遇險，并在原地等待營救.在處南偏西30且相距20海里的處有一救援船，其速度為海里小時，則該船到求助處的時間為_分鐘.【答案】【解析】由題意知：，則在中，利用余弦定理知：，代入數(shù)據(jù)，得，解得：，則從到所用時間為，則，即.故答案為：.6（20

16、20和縣第二中學(xué)高一期中（文）和縣文昌塔是市級文物保護(hù)單位且底部不能到達(dá)，現(xiàn)要測量文昌塔的高度，如圖所示，在塔的同一側(cè)選擇兩個觀測點，且在兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，在水平面上測得，兩地相距，則文昌塔AB的高度是_.【答案】30【解析】設(shè)塔高，在中，由已知可得，在中，由已知，在中，由余弦定理可得，即，解得（負(fù)值舍去）故答案為：307（2020廣東云浮市高一期末）在相距3千米的，兩個觀察點觀察目標(biāo)點，其中觀察點在觀察點的正東方向，在觀察點處觀察，目標(biāo)點在北偏東方向上，在觀察點處觀察，目標(biāo)點在西北方向上，則，兩點之間的距離是_千米【答案】【解析】由題設(shè)可知，在中，所以，由正弦定理得，即，解得故答案為：.8（2020山東濟(jì)寧市高一期末）如圖，要計算某湖泊岸邊兩景點B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點，現(xiàn)測得，則兩景點B與C的距離為_km.【答案】【解析】在中，因為，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在中，因為，所以，由正弦定理得： ，所以.故答案為：9（2020山東臨沂市高一期末）如圖，在四邊形ABC