1、0.0 概率空間一、隨機(jī)事件的公理化定義 回顧初等概率論中引進(jìn)古典概率、幾何概率等定義，有如下問(wèn)題： 對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間,是否的每一個(gè)子集(事件)都能確定概率? 定義 (代數(shù))：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E 的樣本空間為,F 是的子集組成的集族，滿足(2)若AF,則 .（對(duì)逆運(yùn)算封閉） (3) 若 則（對(duì)可列并運(yùn)算封閉）可加 稱F 為的一個(gè)-代數(shù)（事件體）, F 中的集合稱為事件.(1) F ; Ex.1 在編號(hào)為1,2, , n 的 n個(gè)元件中取一件.樣本空間為構(gòu)造如下事件:1. 考慮元件的編號(hào)，則全體基本事件為可驗(yàn)證集族組成一個(gè)代數(shù). 2. 考慮元件是正品或次品，則基本事件為 A1=取到正品, A2

2、=取到次品則 為一個(gè)代數(shù). Ex.2 測(cè)量一個(gè)零件,考慮其測(cè)量結(jié)果與實(shí)際長(zhǎng)度的誤差. 基本事件為x,樣本空間為 則R1的子集全體： ,單點(diǎn)集 x ，一切開(kāi)的,閉的，半開(kāi)閉區(qū)間等組成的集族F是一個(gè)代數(shù).另外，令 =出現(xiàn)正誤差=出現(xiàn)負(fù)誤差則 為一個(gè)代數(shù).注：對(duì)同一研究對(duì)象的同一試驗(yàn), 試驗(yàn)?zāi)康牟煌? 其樣本空間和代數(shù)的結(jié)構(gòu)會(huì)不同. 定義 (可測(cè)空間) 樣本空間和代數(shù)的二元體(, F) 稱為可測(cè)空間.可測(cè)空間有如下性質(zhì)： 1.2.對(duì)可列交運(yùn)算封閉. 若 證3. 對(duì)有限并,有限交封閉:若 則4.對(duì)差運(yùn)算封閉,即若 則 .二、概率的公理化定義柯氏公理體系是現(xiàn)代概率論的基石. 定義(概率)：設(shè)(, F )

3、是一可測(cè)空間,對(duì) 定義在F上的實(shí)值集函數(shù)P(A), 滿足1) 非負(fù)性：對(duì) 2) 規(guī)范性:P() = 1;3) 完全可加性,對(duì) 有 稱P是(,F)上的概率(測(cè)度),P(A)是事件A的概率. 三元體(, F , P)稱為概率空間. Ex.3 設(shè)某路口到達(dá)的車(chē)輛數(shù)為m,基本事件為m,樣本空間 F是的一切子集組成的集族，則F是一個(gè)代數(shù).令 P()=0, 并對(duì)AF 令證明P為可測(cè)空間(,F)上的概率測(cè)度. 證 1) 2) 因3) 設(shè)有三、乘積樣本空間設(shè)A 和 B 是兩個(gè)集合，稱為A與B 的積集. 定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)Ei , i=1,2, n的樣本空間分別為i ,i=1,2, n,稱12n=(1, 2, n) , i i i=1, 2, , n為乘積樣本空間. Ex.3 設(shè)拋一枚均勻硬幣試驗(yàn)E1的樣本空間為擲一顆均勻硬幣骰子試驗(yàn)E2的樣本空間為 先擲一顆均勻硬幣骰子,再拋一枚均勻硬幣試驗(yàn)的樣本空間可設(shè)為=12=(1,2) , i i i=1, 2有 =(T, i) , = (H, i) , i=1,2, ,6. Ex.4 n次獨(dú)立重復(fù)拋一枚均勻硬幣試驗(yàn)E的樣本空間為n=(1, 2, n)