1、（一）向量的數(shù)量積計(jì)算、直線與平面的對應(yīng)向量之間的關(guān)系,空間曲面上某點(diǎn)法線方程的確定（1）（一）（2）設(shè)則（一）向量的數(shù)量積計(jì)算、直線與平面的對應(yīng)向量之間的關(guān)系,空間曲面上某點(diǎn)法線方程的確定（3）曲面在某點(diǎn)處的法線方程的確定要點(diǎn)：I：曲面在某點(diǎn)處的法線方程的確定（1）設(shè)曲面方程為第一步：計(jì)算第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程3、典型例題解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程例2：設(shè)直線 L 和平面 的方程分別為則必有（ ）解：C例:(1)函數(shù) 在點(diǎn) 處沿哪個方向 的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?shù)的最大值.例1：設(shè)例3：設(shè)求(2)求函數(shù)在點(diǎn)處沿到點(diǎn)的方向上的方向?qū)?/p>

2、數(shù)例4：設(shè)答案：例3：設(shè)是由方程解：兩邊取全微分所確定的二元函數(shù)，求整理并解得拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（2）聯(lián)解方程組，求出問題 1 的所有可能的極值點(diǎn)。問題 1：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱為條件極值問題）。（3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。（3） 條件極值。例1：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè) ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平面的距離為問題1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。 由于 d 中含有絕對值，為便于計(jì)算，考慮將

3、問題 1 轉(zhuǎn)化為下面的等價問題問題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問題1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個駐點(diǎn)：對應(yīng)的距離為三、二重積分和式極限定義、二重積分積分次序的交換、二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計(jì)算、三重積分（柱面坐標(biāo)）計(jì)算；重點(diǎn)內(nèi)容（1）二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算；答案：例1：計(jì)算二重積分答案：解積分區(qū)域分為兩塊例2：試證：證明：畫出積分區(qū)域 D 由圖可知 D 又可以寫成X 型區(qū)域（4）利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算二重積分；在二重積分的計(jì)算過程中，要注意對稱性。例5：計(jì)算其中 D 由直線

4、y = x , y = 1 , 及x = 1 所圍平面區(qū)域解（6）利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分例8：繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而成曲面與平面 z = 8 所圍空間立體四、曲線積分定義、曲面積分計(jì)算、格林公式、高斯公式（1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計(jì)算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分（3）基本應(yīng)用：格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2. 平面曲線積分“ 封口法 ” 和 “ 挖洞法 ”。與路徑無關(guān)在單連通區(qū)域 G 內(nèi)（4）基本計(jì)算技巧1. 利用對稱性；2. 利用曲線或曲面方程化簡被積函數(shù)；3. 利用關(guān)系式將對不同的坐標(biāo)的曲面積

5、分化為同一個曲面積分；4. 利用積分與路徑無關(guān)，適當(dāng)改變積分路徑，簡化平面曲線積分。例1：設(shè)橢球面 的表面積為a，則20a提示：利用曲面方程及對稱性例2：設(shè)則提示：利用曲線方程及對稱性0例3：提示：利用高斯公式及橢球體的體積。例4：設(shè) f (x) 在 ( 0 , + ) 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，L 是由點(diǎn)提示：利用積分與路徑無關(guān)，并取新路徑：A ( 1 , 2 ) 到點(diǎn) B ( 2 , 8 ) 的直線段，計(jì)算（30）例5：計(jì)算 由拋物面與圓柱面及坐標(biāo)面在第一卦限中所圍曲面外側(cè)。提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標(biāo)例6：計(jì)算再由坐標(biāo)原點(diǎn)沿 x 軸到 B (2 , 0)。解：其中，L 為由點(diǎn) A (1

6、 , 1) 沿曲線到坐標(biāo)原點(diǎn)，分析：應(yīng)用格林公式補(bǔ)充：五、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂判斷、一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的收斂條件、利用冪級數(shù)的和函數(shù)計(jì)算常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。1. 正項(xiàng)級數(shù):比較判別法，比值判別法，根值判別法，收斂的必要條件幾何級數(shù)、P 級數(shù)和調(diào)和級數(shù)2. 交錯級數(shù)：萊布尼茨定理3. 任意項(xiàng)級數(shù)：絕對收斂和條件收斂。任意項(xiàng)級數(shù)收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗(yàn)（3）用正項(xiàng)級數(shù)審斂法檢驗(yàn)是否收斂？則原級數(shù)絕對收斂，從而收斂，（4）若發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的則原級數(shù)也發(fā)散。是否成立？若否，則原級數(shù)發(fā)散若是或難求，則進(jìn)行下一步；若是，否則，進(jìn)行下一步；（2）若原級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)或交錯級數(shù)，則可用正項(xiàng)級

7、數(shù) 或萊布尼茨判別法檢驗(yàn)其收斂性，否則進(jìn)行下一步（5）用性質(zhì)或其它方法。（2）冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級數(shù)在端點(diǎn)確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間 處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項(xiàng)”。（2）對冪級數(shù)要先做變換（3）求冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級數(shù)在端點(diǎn)確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間 處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項(xiàng)”。（2）對冪級數(shù)要先做變換性質(zhì)3：冪級數(shù)逐項(xiàng)積分后所得級數(shù)的和函數(shù) s (x) 在收斂域 I 上可積，并有逐項(xiàng)積分公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。 （3）求冪級數(shù)的和函數(shù)性質(zhì)4：冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得級數(shù)的和函數(shù) s (x) 在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。 說明：求和函數(shù)一定要先求收斂域。典型例題例1：若冪級數(shù)在 x = - 2 處收斂，則此冪級數(shù)在 x = 5 處（ ） （A）一定發(fā)散。（B）一定條件收斂。（C）一定絕對收斂。（D）收斂性不能確定。 C例2：若冪級數(shù)的收斂半徑是16，則冪級數(shù)的收斂半徑是 （ ）4例3：已知的收斂半徑為 3 ，則的收斂區(qū)間為（ ） 例4：級數(shù)當(dāng)（ ）（A）p 1 時條件