1、力學(xué)量用算符表達(dá)第1頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一18-10 勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）在經(jīng)典力學(xué)中,若 ,粒子的 動(dòng)能為正,它只能在 I 區(qū)中運(yùn)動(dòng)。即粒子運(yùn)動(dòng) 到勢(shì)壘左邊緣就被反射回去，不能穿過(guò)勢(shì)壘。OIIIIII求一個(gè)動(dòng)量和能量已知的粒 子受到勢(shì)場(chǎng)的作用后，被散 射到各個(gè)方向去的幾率。在量子力學(xué)中,無(wú)論粒子能量是大于還是 小于 都有一定的幾率穿過(guò)勢(shì)壘，也有 一定的幾率被反射。我們下面只就 時(shí)，討論薛定諤方程的解。第2頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一勢(shì)壘的勢(shì)場(chǎng)分布寫(xiě)為：在三個(gè)區(qū)間內(nèi)波函數(shù)應(yīng)遵從的 薛定諤方程分別為：OIIIIII定態(tài)薛定諤方程

2、的解又如何呢？第3頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一令：定態(tài)解的含時(shí)部分：三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：第4頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波 反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過(guò)II區(qū)穿過(guò)勢(shì)壘到III 區(qū)， 在III區(qū)只有透射波。粒子在處的幾率要大 于在處出現(xiàn)的幾率。其解為：根據(jù)邊界條件：時(shí)、空異號(hào) 為右行波第5頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一求出解的形式畫(huà)于圖中。定義粒子穿過(guò)勢(shì)壘的貫穿系數(shù)：IIIIII隧道效應(yīng)當(dāng) 時(shí)，勢(shì)壘的寬度約50nm 以上時(shí)， 貫穿系數(shù)會(huì)小六個(gè)數(shù)量級(jí)以上。隧道效應(yīng)在

3、 實(shí)際上已經(jīng)沒(méi)有意義了。量子概念過(guò)渡到經(jīng)典了。第6頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一 隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于 表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱悖?而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長(zhǎng)度約為1nm。只要將原子線度的極細(xì)探針 以及被研究物質(zhì)的表面作為 兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的 距離非常接近時(shí)，它們的表 面電子云就可能重疊。若在樣品與針尖 之間加一微小電 壓Ub電子就會(huì)穿 過(guò)電極間的勢(shì)壘 形成隧道電流。隧道電流對(duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。 若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品 方向上的高度變化就能反映樣品

4、表面的起伏。Scanning tunneling microscopy第7頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一因?yàn)樗淼离娏鲗?duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。 若控制針尖高度不變，通過(guò)隧道電流的變化可 得到表面電子態(tài)密度的分布；使人類第一次能夠?qū)崟r(shí)地觀 測(cè)到單個(gè)原子在物質(zhì)表面上 的排列狀態(tài)以及與表面電子 行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科 學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等 領(lǐng)域中有著重大的意義和廣 闊的應(yīng)用前景?？諝庀禨TM工作示意圖樣品探針利用STM可以分辨表面上 原子的臺(tái)階、平臺(tái)和原子 陣列?？梢灾苯永L出表面 的三維圖象第8頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一利用光學(xué)中

5、的受抑全反射理論，研制 成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM)。 1989年提出成象技術(shù)。 它可用于不導(dǎo)電樣品的觀察。STM樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性； 在恒流工作模式下有時(shí)對(duì)表面某些溝 槽不能準(zhǔn)確探測(cè)。任何一種技術(shù)都有 其局限性。見(jiàn)FPCAI、ZLCAI、CAIUPS軟件。 量子圍欄和分子人。第9頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一例題：線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程及解若選取線性諧振子平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，并選取 其為勢(shì)能的零點(diǎn)，則線性諧振子的勢(shì)能表示為：m是粒子的質(zhì)量，K是 諧振子的彈性系數(shù)。對(duì)經(jīng)典諧振子 它是角頻率。線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為：它是變系數(shù)二階常微分方程，

6、可解。第10頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一引進(jìn)無(wú)量綱參量 和方程化為：* 波函數(shù)在 時(shí)的漸近行為：方程化為：其漸近解為：因?yàn)橹C振子是處于束縛態(tài)應(yīng)舍棄 解。 所以有當(dāng) 時(shí)第11頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一根據(jù)漸近行為方程解可寫(xiě)為：上述厄米微分方程的解是個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)。為了 保證束縛態(tài)邊界條件的成立，必須使這個(gè)級(jí) 數(shù)只包含有限項(xiàng)，其條件是：代入原方程應(yīng)滿足：第12頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一* 得出滿足束縛邊界條件的級(jí)數(shù)解是：稱為厄米多項(xiàng)式。它的前幾個(gè)為：普遍表達(dá)式：第13頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14

7、點(diǎn)22分，星期一* 能量本征值和零點(diǎn)能因?yàn)椋核跃€性諧振子的能級(jí)只能取分立值，能級(jí)間隔相等。線性諧振子基態(tài)能：第14頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一有關(guān)光被晶體散射的實(shí)驗(yàn)， 證明在趨于絕對(duì)零度時(shí)，散 射光的強(qiáng)度趨于一確定值。 說(shuō)明原子有零點(diǎn)振動(dòng)存在。常壓下，溫度趨于零度附近，液態(tài)氦也不會(huì) 變成固體，具有顯著的零點(diǎn)能效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)事實(shí)：* 能量本征函數(shù)和宇稱線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)第15頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置幾率密度第16頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一線性諧振子 n=11 時(shí)的幾率密

8、度分布在原點(diǎn)速度最大，停留時(shí)間短，粒子出現(xiàn)的 幾率??；在兩端速度為零，出現(xiàn)的幾率最大。 虛線是經(jīng)典結(jié)果。第17頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一可見(jiàn)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，稱線性諧振子處于偶宇稱?？梢?jiàn)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，稱線性諧振子處于奇宇稱。隨量子數(shù)n增大，量子諧振子的幾率密度迅速 震蕩，其平均值與經(jīng)典結(jié)果趨于符合。相似性 逐漸增大。在原點(diǎn)速度最大，停留時(shí)間短，粒 子出現(xiàn)的幾率小；在兩端速度為零，出現(xiàn)的幾 率最大。第18頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一波函數(shù)的模方 代表粒子在 t 時(shí)刻 r 處的 幾率密度。波函數(shù)是幾率波，滿足波的疊加。18-11 量子力學(xué)的

9、基本假設(shè)量子體系的狀態(tài)由波函數(shù)完全描述?？捎^測(cè)的力學(xué)量對(duì)應(yīng)一個(gè)線性厄米算符。力學(xué)量算符的本征值方程 中的本征值 對(duì)應(yīng)該力學(xué)量的一切可 測(cè)量值。 第19頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一其展開(kāi)系數(shù)的模方 就是在該態(tài) 中測(cè)量 到與算符 相應(yīng)的本征態(tài) 其本征值的幾率。力學(xué)量算符的本征函數(shù) 構(gòu)成完備正交系力學(xué)量的平均值：任何態(tài)函數(shù) 均可以用力學(xué)量算符的本征 函數(shù)系，或一組力學(xué)量完全集的共同本征 函數(shù)系來(lái)展開(kāi)。例如：第20頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一函數(shù)隨時(shí)間的演化服從薛定諤波動(dòng)方程對(duì)于全同粒子系的狀態(tài)，粒子的交換不改變 系統(tǒng)的狀態(tài)全同性原理。其中

10、是系統(tǒng)的哈密頓算符第21頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一除了位置和動(dòng)量以外，其中一類以坐標(biāo)為函數(shù) 的力學(xué)量，其量子力學(xué)所對(duì)應(yīng)的算符形式不變。 如勢(shì)能 和作用力 。 力學(xué)量用算符表達(dá)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，與經(jīng)典力學(xué)量對(duì)應(yīng)的量子力學(xué) 中的算符形式：另一類經(jīng)典力學(xué)量是與動(dòng)量有關(guān)，其量子力學(xué) 所對(duì)應(yīng)的算符可用動(dòng)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出，例如 動(dòng)能算符的表達(dá)式：第22頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一角動(dòng)量算符的表達(dá)式：第23頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一角動(dòng)量算符的模方定義為：球坐標(biāo)第24頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，

11、星期一 本征值和本征函數(shù)是力學(xué)量A 取確定值 時(shí)的本征態(tài)稱上式為算符 的本征值方程。 是力學(xué)量A的一個(gè)本征值。由本征值方程解出的全部本征值 就是相應(yīng)力學(xué)量的可能取值。當(dāng)力學(xué)量算符 作用在波函數(shù) 上，其結(jié)果是 同一個(gè)函數(shù)乘以一個(gè)常量時(shí)： 第25頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一則稱本征值 是 重簡(jiǎn)并的。稱 為簡(jiǎn)并度簡(jiǎn)并態(tài)的選擇不是唯一的。如果屬于本征值 的本征態(tài)不是一個(gè)，而是 個(gè)，即力學(xué)量A的本征方程為：矩陣代數(shù)中的厄米矩陣 矩陣代數(shù)中的本征矢 矩陣代數(shù)中的本征值 物理量算符微觀粒子的定態(tài)與定態(tài)對(duì)應(yīng)的 物理量的確定值第26頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分

12、，星期一舉例：動(dòng)量算符的本征值方程是式中 是動(dòng)量算符的本征值，在直角坐標(biāo)系下 為 均為實(shí)數(shù)。動(dòng)量本征值方程的解：它就是 的單色平面波，在量子力 學(xué)中，平面波代表粒子有確定的動(dòng)量、在 空間各處出現(xiàn)的幾率相同的狀態(tài)。第27頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一力學(xué)量算符必須是線性厄米算符。* 厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)。* 厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)。* 當(dāng)出現(xiàn)簡(jiǎn)并時(shí)，可以證明：總可以適當(dāng) 地線性組合簡(jiǎn)并態(tài)，使之彼此正交。線性厄米算符的性質(zhì)：* 厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù) 彼此正交。厄米算符第28頁(yè)，共29頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)22分，星期一力學(xué)量的完全集、本征函數(shù)的完全性通常一個(gè)力學(xué)量 的本征值是簡(jiǎn)并的,這時(shí)必