1、第2節(jié)等差數(shù)列2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日21等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，其符號(hào)語(yǔ)言為anan1d(n2，d為常數(shù))(2)等差中項(xiàng)2021/8/8 星期日3質(zhì)疑探究：如何用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn?提示：(1)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana1(n1)ddna1d，d0時(shí)，an是n的一次函數(shù)當(dāng)d0時(shí)，an為遞增數(shù)列，當(dāng)d0，a90，且an是遞減數(shù)列，所以前8項(xiàng)和最大，故選B.2021/8/8 星期

2、日64(2009年高考山東卷)在等差數(shù)列an中，a37，a5a26，則a6_.解析：a5a26，又a5a2(52)d，d2，a6a3(63)d73213.答案：132021/8/8 星期日7等差數(shù)列的判定與證明【例1】 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式anpn2qn(p、qR，且p、q為常數(shù))(1)當(dāng)p和q滿足什么條件時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)p和q，數(shù)列an1an是等差數(shù)列思路點(diǎn)撥：(1)直接運(yùn)用定義求解；(2)視an1an為一整體再用定義證明即可(1)解：an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq，要使an是等差數(shù)列，則2pnpq應(yīng)是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以只有2p

3、0，即p0.故當(dāng)p0，qR且q為常數(shù)時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列(2)證明：an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq，2021/8/8 星期日8而(an2an1)(an1an)2p為一個(gè)常數(shù)an1an是等差數(shù)列 (1)判斷或證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，通常用定義法，即只需判斷an1and(常數(shù))是否成立除此之外，還有時(shí)用等差中項(xiàng)法，即若有2anan1an1(n2)，則an為等差數(shù)列(2)解答選擇題或填空題時(shí)，還可利用通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式進(jìn)行直接判斷若通項(xiàng)an為n的一次函數(shù)，即anAnB(A0)，則an為等差數(shù)列若前n項(xiàng)和SnAn2Bn，則an為等差數(shù)列2021/8/8 星期日9 等差數(shù)列

4、中的基本運(yùn)算【例2】 (2010年高考遼寧卷)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S33，S624，則a9_.思路點(diǎn)撥：欲求a9，可由已知列出關(guān)于a1和公差d的方程組，求出a1和公差d即可2021/8/8 星期日10 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例3】 (2010年高考全國(guó)卷)如果等差數(shù)列an中，a3a4a512，那么a1a2a7等于()(A)14 (B)21(C)28 (D)35思路點(diǎn)撥：可利用等差中項(xiàng)得出a4，再利用性質(zhì)a1a7a2a62a4求解解析：a3a4a512，3a412，a44，a1a2a77a428，故選C.2021/8/8 星期日11 在等差數(shù)列有關(guān)計(jì)算問(wèn)題中，結(jié)合整體思想，靈活運(yùn)用性

5、質(zhì)會(huì)獲得事半功倍的效果 2021/8/8 星期日12思路點(diǎn)撥：(1)利用點(diǎn)在函數(shù)圖象上代入即可得an與an1的關(guān)系，易求得an.(2)可先求bn，利用累加法或迭代法求得，而后作差比較即可，也可不用求bn而直接利用已知關(guān)系式迭代求證即可(1)解：由已知得an1an1，即an1an1，又a11，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列故an1(n1)1n.2021/8/8 星期日132021/8/8 星期日14法二：因?yàn)閎11，bnbn2bn12(bn12n)(bn12n1)bn122n1bn12nbn12n2n12n(bn12n1)2n(bn2n2n1)2n(bn2n)2n(b12)2n0，

6、所以bnbn2bn12. 數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合命題是高考考查的熱點(diǎn)，求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)要看清函數(shù)作為載體的作用，在證明數(shù)列中的不等式問(wèn)題時(shí)，要靈活采用證明不等式的常用方法，如比較法、放縮法等2021/8/8 星期日15【例題】 (2010年高考福建卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a111，a4a66，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于()(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析：記an的公差為d.a111，a4a62a18d228d6，d2.后續(xù)有兩種解法：法一：注意到a1110，數(shù)列an為：11，9，7，5，3，1,1，故S6最小2021/8/8 星期日16錯(cuò)源：求Sn的最值考慮不周【例題】

7、在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn有最大值，并求出它的最大值2021/8/8 星期日172021/8/8 星期日182021/8/8 星期日19【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)等差數(shù)列的定義2通項(xiàng)公式3、7前n項(xiàng)和公式5、9等差數(shù)列的性質(zhì)1、4、6綜合問(wèn)題6、8、9、10、112021/8/8 星期日20一、選擇題1.(2010年杭州一模)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則a6a70是S9S3的(A)(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件2若數(shù)列an中，an1an2，且a46，則a6等于(D)(A)4

8、 (B)8 (C)6 (D)10解析：由已知an1an2知an1an2，因此數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列，所以a6a42d62210，故選D.2021/8/8 星期日212021/8/8 星期日222021/8/8 星期日235(2011年濟(jì)南一模)已知an為等差數(shù)列，若a3a4a89，則S9等于(B)(A)24 (B)27 (C)15 (D)542021/8/8 星期日246(2011年安徽“江南十?！甭?lián)考)已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列an是等差數(shù)列，a30，則f(a1)f(a3)f(a5)的值(A)(A)恒為正數(shù) (B)恒為負(fù)數(shù)(C)恒為0 (D)可正可負(fù)解析：f(

9、0)0，a30，f(a3)f(0)0，又a1a52a30，a1a5，f(a1)f(a5)f(a5)f(a1)f(a5)0，故選A.2021/8/8 星期日25二、填空題7(2009年高考陜西卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a6S312，則an的通項(xiàng)an_.解析：設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則a15d12，a1a2a312，3a212，a24，即a1d4，又a15d12，解得d2，a12，ana1(n1)d22(n1)2n.答案：2n2021/8/8 星期日262021/8/8 星期日272021/8/8 星期日282021/8/8 星期日2910(2010年中山紀(jì)中、深圳外國(guó)語(yǔ)、廣州執(zhí)信三校聯(lián)考)定義一種運(yùn)算：nmnam(m，nN，a0)，(1)若數(shù)列an(nN*)滿足annm，當(dāng)m2時(shí)，求證：數(shù)列an為等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列cn(nN*)的通項(xiàng)滿足cnn(n1)，試求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.(1