1、1）5)5)第五節(jié)微分方程穩(wěn)定性理論簡介這里簡單介紹下面將要用到的有關(guān)內(nèi)容：、一階方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性設(shè)有微分方程dxf（x）dt右端不顯含自變量t,代數(shù)方程f(x)02）的實(shí)根xx稱為方程（1）的平衡點(diǎn)（或奇點(diǎn)），它也是方程（1）的解（奇解）0如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（1）的解x（t）都滿足limx(t)x一，03）則稱平衡點(diǎn)x是穩(wěn)定的（穩(wěn)定性理論中稱漸近穩(wěn)定）；否則，稱x是不穩(wěn)定00的（不漸近穩(wěn)定）。判斷平衡點(diǎn)x是否穩(wěn)定通常有兩種方法，利用定義即（3）式稱間接法，不0求方程（1）的解x（t），因而不利用（3）式的方法稱直接法，下面介紹直接法。將f（x）在x做泰勒展開，只取一次項(xiàng)，

2、則方程（1）近似為dx丁f（x）（x-x）dt04)（4）稱為（1）的近似線性方程。x也是（4）的平衡點(diǎn)。關(guān)于平衡點(diǎn)x的00穩(wěn)定性有如下的結(jié)論：若f（x）0，則x是方程（1）、（4）的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。00若f（x）0，則x不是方程（1）、（4）的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)00 x對于方程（4）的穩(wěn)定性很容易由定義（3）證明，因?yàn)椋?）的一般解是0 x（t）cef（x0）t+x0其中C是由初始條件決定的常數(shù)。、二階（平面）方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性6）dx(t)1dtdx(t)dt方程的一般形式可用兩個一階方程表示為=f(x,x)12=g(x,x)12右端不顯含t,代數(shù)方程組7）f(x,x)=012g(x,x)=01

3、2的實(shí)根（x0,x0）稱為方程（6）的平衡點(diǎn)。記為P（x0,x0）12012如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（6）的解x（t）,x（t）都滿足12limx(t)=x0tg1ilimx(t)=x0t228)、二階（平面）方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性6）、二階（平面）方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性6）則稱平衡點(diǎn)P（x0,x0）是穩(wěn)定的（漸近穩(wěn)定）；否則，稱P是不穩(wěn)定的（不漸0120近穩(wěn)定）。為了用直接法討論方法方程（6）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，先看線性常系數(shù)方程dx(t)9)i=ax+bxdt1112dx(t)丄人2=ax+bxdt2122系數(shù)矩陣記作abA=iiab22并假定A的行列式detA豐0于是原點(diǎn)P（0,0）

4、是方程（9）的唯一平衡點(diǎn)，它的穩(wěn)定性由的特征方程0det（A-九I）=0的根九（特征根）決定，上方程可以寫成更加明確的形式：九2+p九+q=0p=一（a+b）（10）12q=detA將特征根記作九,九，則12,=丄(一pp2一4q)(11)122方程(9)的解一般有形式ceyce(九九)或(cct)et(=)12121212c,c為任意實(shí)數(shù)。由定義(8)，當(dāng),全為負(fù)數(shù)或有負(fù)的實(shí)部時P(0,0)是穩(wěn)定12120的平衡點(diǎn)，反之，當(dāng),有一個為正數(shù)或有正的實(shí)部時P(0,0)是不穩(wěn)定的平衡120點(diǎn)微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點(diǎn)分為結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、中心等類型，完全由特征根,或相應(yīng)的p,q取值決定，下表簡明地

5、給出了這些結(jié)果，表中最后一12列指按照定義(8)式得下馬看花關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。表1由特征方程決定的平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性,12p,q平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性0,q0,p24q穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定012p0,p24q不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定012q0鞍點(diǎn)不穩(wěn)定=0,q0,p2=4q穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定=012p0,p2=4q不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定,=Pi,0,q0,p24q穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定,=Pi,012p0,p24q不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定,=Pi,0中心不穩(wěn)定由上表可以看出，根據(jù)特征方程的系數(shù)p,q的正負(fù)很容易判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，準(zhǔn)則如下：若p0,q0(12)則平衡點(diǎn)穩(wěn)定，若p0或q1表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中，乙的消耗多于甲，因而對甲

6、增長的阻滯作用1乙大于甲，即乙的競爭力強(qiáng)于甲，對1可作相應(yīng)的理解。2一般地說，與之間沒有確定的關(guān)系，但是可以把下面這種特殊情況作12為較常見的一類實(shí)際情況的典型代表，即兩個種群在消耗資源中對甲增長的阻作用對乙增長的阻滯作用相同，具體地說就是，因?yàn)閱挝粩?shù)量的甲和乙消耗的供養(yǎng)甲方食物量之比是1：，消耗的供養(yǎng)甲方食物量之比是：1，所謂阻滯作用12相同即1：=：1，所以這種特殊情形可以定量地表示為12=1(4)12即、互為倒數(shù)，可以簡單地理解為，如果一個乙消耗的食物是一個甲12的=k倍，則一個甲消耗的食物是一個乙的=1/k。12下面我們?nèi)匀挥懻?、相互?dú)立的一般情況，而將條件(4)下對問題的12分析留給

7、大家討論。穩(wěn)定性分析為了研究兩個種群相互競爭的結(jié)局，即tfg時x(t),x(t)的趨12向，不必要解方程(2)、(3),只需對它的平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。首先根據(jù)微分方程(2)、(3)解代數(shù)方程組f(x,x2)，rx(1-N_N)，0N1N2(5)g(x,x)，rx(1-土-)，012222NN12得到4個平衡點(diǎn)：N(1-)N(1-)P(N,0),P(0,N),P(亠丄,”顯),P(0,0)112231-1-41212因?yàn)閮H當(dāng)平衡點(diǎn)們于平面坐標(biāo)系的第一象限時(x,x0)才有實(shí)際意義，12所以對P而言要求、同時小于1,或同時大于1。312按照判斷平衡點(diǎn)性的方法(見前面)計(jì)算AX1X2X1X2XrX

8、rx-4_1-1N2“(1/2X2)2NN12p=-(f+g)1,i=123,4x1x2Piq二detA|,i二1,2,3,4將4個平衡點(diǎn)p、q的結(jié)果及穩(wěn)定條件列入下表)表1種群競爭模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性平衡點(diǎn)pq穩(wěn)定條件P(N,0)11rr(1)122rr(1)122112P(0,N)22r(1)+r112rr(1)1211,112N(1)N(1)、P(1,2)3111212r(1)+r(1)1122rr(1)(1)-211121,112112P(0,0)4(r+r)12rr12不穩(wěn)定注：表中最后一列“穩(wěn)定條件”除了要求pO,qO以外，還有其他原因，見下面的具體分析。為了便于對平衡點(diǎn)P、卩2、

9、P3的穩(wěn)定條件進(jìn)行分析，在相平面上討論它們。在代數(shù)方程組(5)中記xx(p(X,X)11亠012xx中(X,X)112012對于、的不同取值范圍，直線p=0和中=0在相平面上的相對位置不同，12下面給出它們的4種情況;并對這4種情況進(jìn)行分析1、1。由表1知對于P(N,0)有p0,qV0,P穩(wěn)定；P的穩(wěn)21111定性還可以從tf*時相軌線的趨向來分析，圖中p=0和中=0兩條直線將相平面(X0,X0)劃分為3個區(qū)域:12圖11,1P穩(wěn)定121TOC o 1-5 h zS:dx/dt,0,dx/dt,0(6)112S:dx/dt,0,dx/dt0(7)12S:dx/dt0,dx/dt0,即x(t)一

10、直是增加的；211若軌線從S出發(fā)，由(8)可知軌線向左下方運(yùn)動，那么它或者趨向P點(diǎn),31或者進(jìn)入S，而進(jìn)入S后，根據(jù)上面的分析最終也將趨向P。221綜上分析可以畫出軌線示意圖(圖1),因?yàn)橹本€=0上dx=0,所以在=01上軌線方向垂直于x軸；在中=0上dx=0,軌線方向平行于x軸。1212、,1,1，類似的分析可知P(0,N)穩(wěn)定。1222圖2,1,1P穩(wěn)定1223、,1,1,由表1知對于P點(diǎn)p0,q0,故P穩(wěn)定，對軌線趨勢1233的分析見圖3。112圖3,1,1P穩(wěn)定12312、二階（平面）方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性6）4、1,1,由表1知對于P點(diǎn)qVO,故P不穩(wěn)定(鞍點(diǎn))，軌線或者1233趨向P

11、，或者趨向P，由軌線的初始位置決定，示意圖見圖4,在這種情況下P121和P都不能說是穩(wěn)定的，正因?yàn)檫@樣，所以P穩(wěn)定(與初始條件無關(guān))的條件需21要加上,1，P穩(wěn)定的條件加上,1。122圖41,1P不穩(wěn)定123結(jié)果解釋根據(jù)建模過程中,的含義，說明P、P、P點(diǎn)穩(wěn)定在生態(tài)上12123的意義。1、,1,1，,1意味著在對供養(yǎng)甲的資源的競爭中乙弱于甲，11212意味著在對供養(yǎng)乙的資源的競爭中甲強(qiáng)于乙，于是種群乙終滅絕，種群甲趨向最大容量，即X(t),X(t)趨向平衡點(diǎn)P(N,0)12112、1,1，情況與1正好的相反。123、,1,1，因?yàn)樵诟偁幖椎馁Y源中乙較弱，而在競爭乙的資源中甲較12弱，于是可以達(dá)

12、到一個雙方共存的穩(wěn)定的平衡狀態(tài)P，這是種群競爭中很少出現(xiàn)3的情況。4、1,1，請大家作出解釋。12、二階（平面）方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性6）生態(tài)學(xué)中有一個競爭排斥原理；若兩個種群的單個成員消耗的資源差不多相同，而環(huán)境能承受的種群甲的最大容量比種群乙大，那么種群乙終將滅亡，用本節(jié)的模型很容解釋這個原理。將方程（2）、（3）改寫為Nx+1xTOC o 1-5 h zdx11N2i，rx（1-2）dtiiN1N2x+xdx2Ni22，rx（1-i）dt22N原理的兩個條件相當(dāng)于NN1，1,2，1,NNiN2Ni221從這3個式子顯然可得1,1,這正是P穩(wěn)定，即種群乙滅絕的條件。121二、種群的相互依存自

13、然界中處于同一環(huán)境下兩個種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的，植物可以獨(dú)立生存。昆蟲的的授粉作用又可以提高植物的增長率，而以花粉為食物的昆蟲卻不能離開植物單獨(dú)存活，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關(guān)系，這種共生現(xiàn)象可以描述如下。設(shè)種群甲可以獨(dú)立存在，按Logistic規(guī)律增長，種群乙為甲提供食物，有助于甲的增長，類似于前面的方程（2）,種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作（r、N、N的意義同前）112蟲,rx（1-電+二）（9）dt11N1N12前面的-號這里變成+號，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供食物，1的含義是:單位數(shù)量乙（相對于N）提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相12對于N）消耗的供養(yǎng)甲

14、食物量的倍。11種群乙沒有甲的存在會滅亡，設(shè)其死亡率為r，則乙單獨(dú)存在時有2TOC o 1-5 h zdx/dt，-rx（10）222甲為乙提供食物，于是（2）式右端應(yīng)加上甲對乙增長的促進(jìn)作用，有xdx/dt，-rx(1一4)(11)2222N112、二階（平面）方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性6）顯然僅當(dāng)玉1時種群乙的數(shù)量才會增長，與此相同乙的增長又會受到自2N1身的阻滯作用，所以93）式右端還要添加Logistic項(xiàng)，方程變?yōu)閐X/dt二一rx（1土+上丄）（12）2222NN12方程（9）、（12）構(gòu)成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，下面利用平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長以后兩個種群的變化趨向。類似于前

15、面的作法將方程（9）、（12）的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析的結(jié)果列入表2表2種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性平衡點(diǎn)pq穩(wěn)定條件P(N,0)11r一r(一1)122一rr(一1)1221,1212N(1)N(1)P(11,22)2111212r(1)+r(一1)-4122112rr(1)(一1)1,120,X0），必須滿足下面兩個條件中的一個：12A:1,1,121212而由表2中P點(diǎn)的p、q可知，僅在條件A下P才是穩(wěn)定的（而在A下P是21222鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定），圖5畫出了條件A下相軌線的示意圖，其中甲二1土+二,1N1N12XX中=-1+節(jié)-尹。直線申=0和中=0將相平面（X0,X0）劃分為4個區(qū)S:dx/dt0,dx/dt0112S:dx/dt0,dx/dt0212S:dx/dt0,dx/dt0；S:dx/dt0,dx/dt0。從這4個區(qū)域中12412dx/dt,dx/dt的正負(fù)不難看出其相軌線的趨向如圖5所示。12圖5在條件A下P穩(wěn)定的相軌線12分析條件A的實(shí)際意義，其關(guān)鍵部分是，1,考慮到，的含義，這表示122種群甲要為乙提供足夠的食物維持其生長，而，1則是在，1條件下為P122