1、第6章 無限長單位脈沖響應(yīng)IIR濾波器設(shè)計 1概述: 許多信息處理過程，如信號的過濾，檢測、預測等都要用到濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中使用得最廣泛的一種線性系統(tǒng)，是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)。實現(xiàn)方法主要有兩種：數(shù)字信號處理硬件和計算機軟件。2數(shù)字濾波器(DF)的定義 輸入和輸出均是數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系(數(shù)值運算)，改變輸入數(shù)字信號所含頻率成份的相對比例或濾除某些頻率成份的器件。 數(shù)字濾波器的特點(相對模擬濾波器)：精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、不要求阻抗匹配。 數(shù)字濾波器處理模擬信號通過A/DC和D/AC，使用數(shù)字濾波器對模擬信號的處理。3(1) 一般分類經(jīng)典濾波器：輸入信號中的有用

2、的頻率成分和希望濾除的頻率成分占用不同的頻帶，通過選頻濾波器達到濾波的目的?，F(xiàn)代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統(tǒng)計分布規(guī)律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡爾曼濾波器和自適應(yīng)濾波器等。(2) 從濾波器的結(jié)構(gòu)分類 IIR/FIR(3) 從濾波器的功能分類 分為低通、高通、帶通、帶阻濾波器1、數(shù)字濾波器的分類4DF的傳輸函數(shù)是以2為周期，低通的中心頻帶處于2的整數(shù)倍處，高通的中心頻帶處于的奇數(shù)倍附近。056 確定傳輸函數(shù)H(z)的過程稱為數(shù)字濾波器設(shè)計 . 在大多數(shù)應(yīng)用中，關(guān)鍵的問題是用一個可實現(xiàn)的傳輸函數(shù)去逼近給定的濾波器幅度響應(yīng)指標，而濾波器的相位響應(yīng)可以通過級聯(lián)全通濾

3、波器來校正。 一種廣泛應(yīng)用的IIR濾波器設(shè)計方法是將一個模擬的原型傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個數(shù)字的傳輸函數(shù)，F(xiàn)IR濾波器的設(shè)計則是基于對指定幅度響應(yīng)的直接逼近 在設(shè)計數(shù)字傳輸函數(shù)H(z)之前，有兩個關(guān)鍵的問題需要考慮 ：分析使用數(shù)字濾波器的整個系統(tǒng)的需求，確定合理的濾波器頻率響應(yīng)指標 .確定所設(shè)計的濾波器是FIR還是IIR數(shù)字濾波器。 7數(shù)字濾波器的數(shù)學描述：1)差分方程2)系統(tǒng)函數(shù)8通帶過渡帶阻帶低通濾波器的技術(shù)要求91011為3dB通帶截止頻率。通稱為邊界頻率。1211+ p1- psp s低通數(shù)字濾波器的典型幅度指標13 dBs= -20log10 (s ) dB1411/Ap s歸一化的數(shù)字低

4、通濾波器幅度響應(yīng)指標15dBdB16 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟1）按照實際需要確定濾波器的性能要求。2）用一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的 H(z) 或 h(n) 去逼近這個性能要求，即求 h(n) 的表達式確定系數(shù) 、 或零極點 、 ，以使濾波器滿足給定的性能要求3）用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。包括選擇運算結(jié)構(gòu)：如級聯(lián)型、并聯(lián)型、卷積型、頻率 采樣型以及快速卷積（FFT）型等;選擇合適的字長和有效數(shù)字的處理方法等。17IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法： 1）先設(shè)計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預定指標的數(shù)字濾波器。 由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，模擬濾波器有簡單而嚴格的設(shè)計公式，設(shè)計起來方

5、便、準確、可將這些理論推廣到數(shù)字域，作為設(shè)計數(shù)字濾波器的工具。DF指標轉(zhuǎn)換相應(yīng)的AF指標H（z）（ ）（ ）方法：脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變化法注：僅適合IIRDF，而不適合FIRDF。182）最優(yōu)化設(shè)計方法分兩步： a)確定一種最優(yōu)準則，如最小均方誤差準則，即使設(shè)計出的實際頻率響應(yīng)的幅度特性 （與所要求的理想頻率響應(yīng) 的均方誤差最小， 此外還有其他多種誤差最小準則， b)在此最佳準則下，求濾波的系數(shù) 和 通過不斷地迭代運算，改變 、 ，直到 滿足要求為止。零極點累試法頻域逼近法、時域逼近法19 以上兩種設(shè)計方法中，第一種比較重要，因為數(shù)字濾波器在很多場合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，如作低通

6、、高通、帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這時數(shù)字濾波也可看作是“模仿”模擬濾波器。在IIR濾波器設(shè)計中，采用這種設(shè)計方法目前最普遍。由于計算機技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計方法的使用也逐漸增多。206.2 常用模擬低通濾波器特性 為了方便學習數(shù)字濾波器，先討論幾種常用的模擬低通濾波器設(shè)計方法，高通、帶通 、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。 模擬濾波器的設(shè)計指標有21通帶過渡帶阻帶圖： 低通濾波器的技術(shù)要求222324為3dB通帶截止頻率。25幾種典型模擬濾波器（AF）的特點（對相同的階數(shù)N）（1）巴特沃斯（butterworth）AF：幅頻特性單調(diào)下降，但選擇性最差；26（2）切比雪夫I（

7、Chebyshev I）AF：幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)等波紋，阻帶單調(diào)下降，選擇性比切比雪夫II好。2728（3）切比雪夫II（Chebyshev II）AF：幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)單調(diào)下降，阻帶等波紋；2930（4）橢圓（ellip）AF：選擇性最好，通帶阻帶均為等波紋。31（5）貝塞爾（Bessel）AF： 通帶內(nèi)有較好的線性相位特性。32模擬濾波器的設(shè)計相應(yīng)的AF指標（ ）？33模擬濾波器的設(shè)計就是根據(jù)一組設(shè)計規(guī)范設(shè)計模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個理想濾波器特性。 因果系統(tǒng)中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實函數(shù)。 不難看出 34定義振幅平方函數(shù) 式中 Ha(s)模擬濾波器 系統(tǒng)函數(shù) Ha(j

8、)濾波器的頻率響應(yīng) |Ha(j)|濾波器的幅頻響應(yīng)又 S=j，2=S2 A(2)=A(-S2)|S=j35問題：由A(-S2)Ha(S) 對于給定的A(-S2)，先在S復平面上標出A(-S2)的極點和零點，由(1)式知，A(-S2)的極點和零點總是“成對出現(xiàn)”，且對稱于S平面的實軸和虛軸，選用A(-S2)的對稱極、零點的任一半作為Ha(s)的極、零點，則可得到Ha(s)。 為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應(yīng)選用A(-S2)在S左半平面的極點作為Ha(s)的極點。36 零點的分布則無此限制，只和濾波器的相位特性有關(guān)，如果要求是最小相位延遲特性，則 Ha(s) 應(yīng)取左半面零點，若無特殊要求，則可將對稱

9、零點的任一半（應(yīng)為共軛對）取為Ha(s) 的零點。37由此看出，由 確定 的方法如下：（1）由 得到象限對稱的s平面函數(shù)；（2）將 因式分解，得到各零極點，將左半平面極點歸于 。 軸上的零點或者極點都為偶次，應(yīng)取一半（應(yīng)為共軛對）作為 的零點或極點。 （3）按照 與 的低頻或高頻特性的對比就可以確定出增益常數(shù)。 （4）由求出的零點，極點及增益常數(shù)，則可完全確定系統(tǒng)函數(shù)38例 根據(jù)以下幅度平方函數(shù) 確定系統(tǒng)函數(shù)解：Step1:Step2:Step3:3940 1）巴特沃茲濾波器 (Butterworth 濾波器)(巴特沃茲逼近) 特點：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f，幅頻特 性單調(diào)。 其幅

10、度平方函數(shù)： 三種模擬低通濾波器的設(shè)計41圖1 巴特沃茲濾波器 振幅平方函數(shù)42 通帶: 使信號通過的頻帶 阻帶：抑制噪聲通過的頻帶 過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范圍 c ：3dB截止頻率。 過渡帶為零， 阻帶|H(j)|=0 通帶內(nèi)幅度|H(j)|=cons.， H(j)的相位是線性的。 理想濾波器43圖1中，N增加，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越陡。通帶內(nèi)，分母/c1, ( /c)2N1， ( /c)2N 1, 增加， A(2)快速減小。=c, ， ,幅度衰減 ，相當于3db衰減點。 44振幅平方函數(shù)的極點： 令分母為零，得 式中，k0，1，2，（2N1） 可見，Butter wort

11、h濾波器 的振幅平方函數(shù)有2N個極點，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=c的圓周上。45例：N=3階BF振幅平方函數(shù)的極點分布46 考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知DF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點（SP3，SP4，SP5）組成的，它們分別為： 系統(tǒng)函數(shù)為： 令 ，得歸一化的三階BF： 如果要還原的話，則有47 由于各濾波器的幅度特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有頻率歸一化，采用對3dB截止頻率 歸一化，歸一化后的 表示為稱為歸一化頻率；令，p稱為歸一化復變量，這樣歸一化的巴特沃斯的傳輸函數(shù)為48式中， 為歸一化極點，則只要知道階數(shù)N，由表6.2.1查表可得到及各極點。(6.2.11)49問題：階數(shù)N如何確定

12、？階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降速度，應(yīng)由技術(shù)指標確定。5051解上面兩式，得到52令則N可表示為：（6.2.16)53 而對于3dB截止頻率，若技術(shù)指標沒有給出，也可由上面兩式得出：或者54 低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：（1）根據(jù)技術(shù)指標，用（6.2.16)式求出濾波器的階數(shù)N；（2）求出歸一化極點 和歸一化傳輸函數(shù) （3）將 去歸一化。將 代入 得到實際的濾波器傳輸函數(shù)55 2）切比雪夫（chebyshev）濾波器 (切比雪夫多項式逼近)特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。 巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率 處，幅度下降很多，或者說，為了使

13、通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（N）很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式逼近所希望的 。 切比雪夫濾波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小?？筛鶕?jù)需要對通帶內(nèi)允許的衰減量（波動范圍）提出要求，如要求波動范圍小于1dB。 56振幅平方函數(shù)為 有效通帶截止頻率 與通帶波紋有關(guān)的參量， 大 波紋大 0 1 VN（x）N階切比雪夫多項式，定義為57 如圖1,通帶內(nèi) 變化范圍1 c ，隨/c ， 0 (迅速趨于零)當 =0時， N為偶數(shù)， ，min ， N為奇數(shù)， ， max，58 切比雪夫濾波器的振幅平方特性 59 有關(guān)參數(shù)的確定: a、通帶截止頻率 ，

14、預先給定 b、由通帶波紋表為 給定通帶波紋值分貝數(shù) 后，可求 。 60c、階數(shù)N由阻帶的邊界條件確定（ 、A事先給定） 61 3、橢圓濾波器（考爾濾波器）特點：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。 其振幅平方函數(shù)為RN（，L）雅可比橢圓函數(shù)L表示波紋性質(zhì)的參量62 N=5， 的特性曲線 可見，在歸一化通帶內(nèi)（-11）， 在（0，1）間振蕩，而超過L后， 在 間振蕩。 。 這一特點使濾波器同時在通常和阻帶具有任意衰減量。 63 下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù) 橢圓濾波器的振幅平方函數(shù)

15、圖中和A的定義 同切比雪夫濾波器ss64當c、s、和A確定后，階次N的確定方法為：式中 為第一類完全橢圓積分 查閱有關(guān)模擬濾波器手冊，確定 。 65 上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)計方法，設(shè)計時按照指標要求，合理選用。 一般，相同指標下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。66【例】已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術(shù)指標設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。解：(1) 設(shè)計模擬濾波器的指標為 p=2fp=104(rad/s)， ap=2dB s=2fs=2.4104(rad/s)， as=30dB 67(2) 確定濾波器的階數(shù)N取N為5=686970(3) 求極點P0P1P2P3P4代入歸一化傳輸函數(shù)公式pk=ej (+(2k+1)/2N)最簡便的方法：由N=5，直接查表得到： 極點形式：-0.3090j0.9511； -0.8090j0.5878; -1.0000分母多項式的形式：分母因式的形式：71(4) 將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c5b0=1.0000、b1=3.2361、b2