1、 - 175 - 反比例函數(shù)問(wèn)題題型全歸納題型一、反比例函數(shù)中的有關(guān)面積問(wèn)題一、反比例函數(shù)的幾何意義1.反比例函數(shù)的幾何意義：如圖，在反比例函數(shù)圖象上任選一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積為。如圖二，所圍成三角形的面積為 二、利用k的幾何意義進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化1.如圖，直線與反比例函數(shù)（）交于、兩點(diǎn)，與、軸的交點(diǎn)分別為、，那么，此方法是絕大部分學(xué)生選用的方法。但是，從效率來(lái)講，就比較低2.如圖，過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為、，則根據(jù)的幾何意義可得，而，所以，此方法的好處，在于方便，快捷，不易出錯(cuò)。 1、如圖，BOD都是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)B作ABOB交反比例函數(shù)y（x0）于點(diǎn)A，過(guò)

2、點(diǎn)A作ACBD于點(diǎn)C，若SBODSABC3，則k的值為 解析：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），ABC和BOD都是等腰直角三角形，BCAC，ODBDSBODSABC3，OD2AC23，OD2AC26，（OD+AC）（ODAC）6，ab6，k62、如圖，OAC和BAD都是等腰直角三角，ACOADB90，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則OAC與BAD的面積之差SOACSBAD 解析：設(shè)OAC和BAD的直角邊長(zhǎng)分別為a、b，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a+b，ab）點(diǎn)B在反比例函數(shù)y的第一象限圖象上，（a+b）（ab）a2b28SOACSBADa2b2（a2b2）843、如圖，一次函數(shù)yx3的圖象與反比例函數(shù)y（k0）的圖

3、象交于點(diǎn)A與點(diǎn)B（a，4）（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接OP，且過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)C，連接OC，若POC的面積為3，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解析：（1）將B（a，4）代入一次函數(shù)yx3中得：a1，B（1，4）將B（1，4）代入反比例函數(shù)y（k0）中得：k4，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y；（2）如圖：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）（m0），則C（m，m3）PC|（m3）|，點(diǎn)O到直線PC的距離為mPOC的面積m|（m3）|3，解得：m5或2或1或2點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，且A（4，1），m4又m0，m5或1或2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，）或（1，4）或（2，

4、2）4、如圖所示，函數(shù)y1kx+b的圖象與函數(shù)（x0）的圖象交于A（a2，3）、B（3，a）兩點(diǎn)（1）求函數(shù)y1、y2的表達(dá)式；（2）過(guò)A作AMy軸，過(guò)B作BNx軸，試問(wèn)在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使SPAM3SPBN？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）A、B兩點(diǎn)在函數(shù)（x0）的圖象上，3（a2）3am，a1，m3，A（1，3），B（3，1），函數(shù)y1kx+b的圖象過(guò)A、B點(diǎn)，解得k1，b4，y1x+4，y2；（2）由（1）知A（1，3），B（3，1），AMBN1，P點(diǎn)在線段AB上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+4），其中1x3，則P到AM的距離為hA3（x+4）x1，P到BN的距

5、離為hB3+x，SPBNBNhB1（3+x）（x+3），SPAMAMhA1（x1）（x+1），SPAM3SPBN，（x+1）（x+3），解得x，且1x3，符合條件，P（，），綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（，）小結(jié)：本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，在（1）中掌握交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，在（2）中用P點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出PBN和PAM的面積是解題的關(guān)鍵5、如圖，直線y1k1x+b與雙曲線y2在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn)，已知A（1，m），B（2，1）（1）k1 ，k2 ，b （2）直接寫出不等式y(tǒng)2y1的解集；（3）設(shè)點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于點(diǎn)D，

6、E是y軸上一點(diǎn)，求PED的面積S的最大值解析：（1）A（1，m），B（2，1）在雙曲線y2上，k2m212，A（1，2），則，解得：，k11，k22，b3；（2）由圖象得：不等式y(tǒng)2y1的解集是：0 x1或x2；（3）設(shè)點(diǎn)P（x，x+3），且1x2，PDx+3，ODx，則，當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)yx+5的圖象與函數(shù)y（k0）的圖象相交于點(diǎn)A，并與x軸交于點(diǎn)C，SAOC15點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，CD：AC2：3（1）求k的值；（2）根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)x0時(shí)不等式x+5的解集；（3）求AOD的面積初中數(shù)學(xué)資料共享群756917376解析：（1）yx+5

7、，當(dāng)y0時(shí)，x5，即OC5，C點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，0），過(guò)A作AMx軸于M，SAOC15，15，解得：AM6，即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是6，把y6代入yx+5得：x1，即A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，6），把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y得：k6；（2）當(dāng)x0時(shí)不等式x+5的解集是1x0；（3）CD：AC2：3，SAOC15，AOD的面積SAOC57、如圖，反比例函數(shù)y經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，2）（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C，若3OA4OB，求BOC的面積解析：（1）反比例函數(shù)y過(guò)點(diǎn)D（，2）k1，反比例函數(shù)解析式為y；（2）設(shè)直線AB的解析式為yax+b

8、，A（0，b），B（，0），OAb，OB，3OA4OB，3b，a，yx+b，直線AB經(jīng)過(guò)D（，2），2（）+b，b，yx+，B（2，0），解得或，C（，），SBOC28、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y的圖象過(guò)等邊三角形BOC的頂點(diǎn)B，OC2，點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，連接AC、AO（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）若四邊形ACBO的面積為3，求點(diǎn)A的坐標(biāo)解析：（1）作BDOC于D，如圖，BOC為等邊三角形，ODCDOC1，BDOD，B（1，），把B（1，）代入y得k1（），反比例函數(shù)解析式為y；（2）設(shè)A（t，），四邊形ACBO的面積為3，2+23，解得t，A點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）9、如圖，AO

9、B在平面直角坐標(biāo)xOy中，反比例函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，反比例函數(shù)y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，作直線x1分別交y1，y2于C，D兩點(diǎn)，已知A（2，3），B（3，1）（1）求反比例函數(shù)y1，y2的解析式；（2）求COD的面積解析：（1）反比例函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），反比例函數(shù)y2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，1），k1236，k2313，y1，y2（2）由（1）可知兩條曲線與直線x1的交點(diǎn)為C（1，6），D（1，3），CD633，SCOD110、正方形ABCD的頂點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)C（3，3），反比例函數(shù)y（x0）（1）如圖1，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)求反比例函數(shù)y（x0）的關(guān)系式；（2）如圖2，正方形ABCD

10、向下平移得到正方形ABCD，邊AB在x軸上，反比例函數(shù)y（x0）的圖象分別交正方形ABCD的邊CD、邊BC于點(diǎn)F、E，求AEF的面積；如圖3，x軸上一點(diǎn)P，是否存在PEF是等腰三角形，若存在直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在明理由解析：（1）點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)C（3，3），點(diǎn)D（1，3），將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k3，故反比例函數(shù)表達(dá)式為：y；（2）平移后點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），則平移后點(diǎn)E縱坐標(biāo)為3，則點(diǎn)E（3，1），同理點(diǎn)F（，2），AEF的面積S正方形ABCDSABESADFSEFC222211；（3）點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為：（3，

11、1）、（，2），設(shè)點(diǎn)P（m，0），則EF2（3）2+（21）2，EP2（m3）2+1，PF2（m）2+4，當(dāng)EFEP時(shí)，即（m3）2+1，解得：m或；當(dāng)EFPF時(shí)，同理可得：m（舍去負(fù)值）；當(dāng)EPPF時(shí)，同理可得：m，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（，0）或（，0）11、如圖，單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格坐標(biāo)系中，一次函數(shù)ykx+b與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，反比例函數(shù)y（x0）經(jīng)過(guò)一次函數(shù)上一點(diǎn)C （2，a）（1）求反比例函數(shù)解析式，并用平滑曲線描繪出反比例函數(shù)圖象；（2）依據(jù)圖象直接寫出當(dāng)x0時(shí)不等式kx+b的解集；（3）若反比例函數(shù)y與一次函數(shù)ykx+b交于C、D兩點(diǎn)，使用直尺與2B鉛筆構(gòu)造以C、

12、D為頂點(diǎn)的矩形，且使得矩形的面積為10解析：（1）一次函數(shù)ykx+b過(guò)點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（8，0），一次函數(shù)解析式為：yx+4；點(diǎn)C在一次函數(shù)圖象上，a2+43，反比例函數(shù)y（x0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C （2，3），m6，反比例函數(shù)解析式為：y，圖象如圖所示：（2）反比例函數(shù)y與一次函數(shù)yx+4交于C、D兩點(diǎn)，x+4，x12，x26，點(diǎn)D（6，1），由圖象可得：當(dāng)2x6時(shí)，ykx+b的圖象在y圖象的上方，不等式kx+b的解集為2x6；（3）如圖，若以CD為邊，則矩形ABDC，矩形ABDC為所求，若以CD為對(duì)角線，則矩形DEDF為所求12、如圖，一次函數(shù)yx+3的圖象與反比例函數(shù)y（k0）在第一象限的圖象

13、交于A（1，a）和B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P在x軸上，且APC的面積為5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在y軸上，是否存在點(diǎn)P，使ABP是以AB為一直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入yx+3，得a2，A（1，2），把A（1，2）代入反比例函數(shù)，k122；反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）一次函數(shù)yx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)C，C（3，0），設(shè)P（x，0），PC|3x|，SAPC|3x|25，x2或x8，P坐標(biāo)為（2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：聯(lián)立，解得：或，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)P

14、在y軸上，設(shè)P（0，m），AB，AP，PB，若BP為斜邊，BP2AB2+AP2 ，即 2+，解得：m1，P（0，1）；若AP為斜邊，AP2PB2+AB2 ，即 +2，解得：m1，P（0，1）；綜上所述：P（0，1）或 P（0，1）13、如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線y1mx（m0）與反比例函數(shù)y2（k0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，連接AD交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)E，AC為BAD的平分線，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為C，連接CE，若AD2DE，AEC的面積為（1）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，y1y2；（2）求AOD的面積；（3）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，k），在y

15、軸的軸上是否存在一點(diǎn)M，使得OMP是直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解析：（1）直線y1mx（m0）與反比例函數(shù)y2（k0）圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)x取1x0或x1時(shí)，y1y2；（2）連接OC，OE，由圖象知，點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，OAOB，ACCB，ACB90，OCABAO，OACOCA，AC為BAD的平分線，OACDAC，OCADAC，ADOC，SAEOSACE，AD2DE，AEDE，SAOD2SAOE3；（3）作EFx軸于F，作AHx軸于H，則EFAHAD2DE，DEEA，EFAH，1，DFFH，

16、EF是DHA的中位線，EFAH，SOEFSOAH，OFEFOHHA，OHOF，OHHF，DFFHHODO，SOAHSADO31，1，k2，y，點(diǎn)A在y的圖象上，把x1代入得，y2，A（1，2），點(diǎn)A在直線ymx上，m2，P（2，2），在y軸上找到一點(diǎn)M，使得OMP是直角三角形，當(dāng)OMP90時(shí)，PMy軸，則OM2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（02）；當(dāng)OPM90時(shí)，過(guò)P作PGy軸于G，則OPM是等腰直角三角形，OM2PG4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（04）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（02）或（0，4）題型二、反比例函數(shù)中的有關(guān)最值問(wèn)題一、k的幾何意義與反比例函數(shù)對(duì)稱性1.如圖一，直線與反比例函數(shù)（）交于、兩點(diǎn)，與、軸的交點(diǎn)

17、分別為、，那么，此兩種方法是絕大部分學(xué)生選用的方法。常規(guī)方法，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力、而且還易計(jì)算出錯(cuò)。2.如圖二，我們知道反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)，連接、則，因此可以將的面積轉(zhuǎn)化為梯形的面積 1、如圖，已知一次函數(shù)yx+2的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、C與反比列函數(shù)y的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PBx軸，垂足為B，且ABP的面積為9（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；（2）已知點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y的圖象上，其橫坐標(biāo)為6，在x軸上確定一點(diǎn)M使得PQM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo) 分析：（1）求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),令橫縱坐標(biāo)等于零即可求

18、出A,C的坐標(biāo),再利用P為直線與雙曲線的交點(diǎn)和ABP的面積為9列出二元一次方程組求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可,（2）根據(jù)題意作出Q的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接PQ交x軸于點(diǎn)M,求出解析式,即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).解析：（1）當(dāng)y0時(shí)，x+20，解得：x4，當(dāng)x0時(shí)，y2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）（a0），則，解得：，（舍去），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），（2）如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱軸Q，連接PQ，與x軸交于點(diǎn)M，連接QM，此時(shí)PQM的周長(zhǎng)最小點(diǎn)P（2，3）在反比例函數(shù)y圖象上，k236，即反比例函數(shù)解析式為y，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，1），設(shè)直線PQ的解析式

19、為ymx+n（m0），將點(diǎn)P（2，3），Q（6，1）代入ymx+n，得，得：，yx+5，當(dāng)y0時(shí)，x+50，解得：x5，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，0），當(dāng)PQM的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，0）2、如圖，一次函數(shù)yx6的圖像與反比例函數(shù)y(k0)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，AOM的面積為2.5.（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在y軸上有一點(diǎn)P，當(dāng)PAPB的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)分析：（1）根據(jù)反比例系數(shù)和三角形面積關(guān)系，求出k，即可；（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交y軸于P點(diǎn)由兩個(gè)函數(shù)解析式組成方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線BC的解析式.,再求出P的坐

20、標(biāo).解析：(1)設(shè)A（m,n），則，SAOM2.5，|k|2.5k0，k5，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y(2) 如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交y軸于P點(diǎn)A，B是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，解或A(1，5)，B(5，1)，C(1，5)設(shè)yBCkxb，代入B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)得 解得 yBCx，P(0，)，3、如圖，直線y1k1x+b與雙曲線y2在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn)，已知A（1，m），B（2，1）（1）k1 ，k2 ，b （2）直接寫出不等式y(tǒng)2y1的解集；（3）設(shè)點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于點(diǎn)D，E是y軸上一點(diǎn)，求PED的面積S的最大值解析：（1）A（1，m），B（2，1）在雙曲

21、線y2上，k2m212，A（1，2），則，解得：，k11，k22，b3；（2）由圖象得：不等式y(tǒng)2y1的解集是：0 x1或x2；（3）設(shè)點(diǎn)P（x，x+3），且1x2，PDx+3，ODx，則，當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1kx+b（k0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的A（3，5），B（a，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出當(dāng)y1y2時(shí)，x的取值范圍；（3）在y軸上找一點(diǎn)P使PBPC最大，求PBPC的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)解析：（1）把A（3，5）代入，可得m3515，反比例函數(shù)的解析式為；把點(diǎn)B（a，3

22、）代入，可得a5，B（5，3）把A（3，5），B（5，3）代入y1x+b，可得，解得，y1x+2；（2）當(dāng)y1y2時(shí)，5x0或x3（3）一次函數(shù)的解析式為y1x+2，令x0，則y2，一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為P（0，2），此時(shí)，PBPCBC最大，P即為所求，令y0，則x2，C（2，0），5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，2）一次函數(shù)ykx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）直接寫出當(dāng)x0時(shí)，kx+b0的解集；（3）在x軸上找一點(diǎn)M，使得AM+BM的值最小，直接寫出點(diǎn)M

23、的坐標(biāo)和AM+BM的最小值 解析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BFx軸于點(diǎn)F點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，2）OA2，OC1，BCA90，BCF+ACO90，又CAO+ACO90，BCFCAO，AOC和CFB中，AOCCFB（AAS），F(xiàn)COA2，BFOC1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得：1，解得：k3，y；將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得：，解得：所以yx（2）結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)及圖象，可得當(dāng)x0時(shí)，kx+b0的解集為：3x0；（3）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A，連接 B A與x軸 的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，A（0，2），A（0，2），設(shè)直線BA的解析式為yax+b，將點(diǎn)A及點(diǎn)

24、B的坐標(biāo)代入可得：，解得：故直線BA的解析式為yx2，令y0，可得x20，解得：x2，故點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（2，0），AM+BMBM+MABA3綜上可得：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），AM+BM的最小值為36、定義：若實(shí)數(shù)x，y，x，y滿足xkx+2，yky+2（k為常數(shù)，k0），則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱點(diǎn)（x，y）為點(diǎn)（x，y）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”例如，點(diǎn)（3，0）是點(diǎn)（1，2）的“1值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”（1）在A（2，3），B（1，3）兩點(diǎn)中，點(diǎn) 是P（1，1）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；（2）若點(diǎn)C （8，5）是雙曲線y（t0）上點(diǎn)D的“3值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求t的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）設(shè)兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)m，n滿足點(diǎn)E

25、（m2+mn，2n2）是點(diǎn)F（m，n）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求點(diǎn)F到原點(diǎn)O的距離的最小值解析：（1）若點(diǎn)A（2，3）是P（1，1）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，k，不合題意，若點(diǎn)B（1，3）是P（1，1）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，k1，符合題意，（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)C （8，5）是點(diǎn)D的“3值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)D是雙曲線y（t0）上點(diǎn)，t212；（3）點(diǎn)E（m2+mn，2n2）是點(diǎn)F（m，n）的“k值關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，m2n+mn22n2n2m2m，（mn）（mn+2）0，mn，mn2，m，（mn）20，m2+n22mn0，m2+n22mn，m2+n2+n22n4，點(diǎn)F到原點(diǎn)O的距離，點(diǎn)F到原點(diǎn)O

26、的距離的最小值為27、如圖，已知反比例函數(shù)y1的圖象與一次函數(shù)y2k2x+b的圖象在第一象限交于A（1，3），B（3，m）兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)C（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y20？（3）已知點(diǎn)P（0，a）（a0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，在第一象限內(nèi)交一次函數(shù)y2k2x+b的圖象于點(diǎn)M，交反比例函數(shù)y1的圖象于點(diǎn)N結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出當(dāng)PMPN時(shí)a的取值范圍解析：（1）反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，3），k13，反比例函數(shù)表達(dá)式為：；點(diǎn)B（3，m）在函數(shù)的圖象上，B（3，1）一次函數(shù)y2k2x+b的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（3，1），解得，一次函數(shù)的表達(dá)式

27、為：y2x+4；（2）當(dāng)y20時(shí)，x+40，x4，C（4，0），由圖象可知，當(dāng)x4時(shí)，y20（3）如圖，由圖象可得，當(dāng)1a3時(shí)，PMPN8、如圖，一次函數(shù)ykx+b的圖象與反比例函數(shù)y（x0）的圖象交于點(diǎn)P（n，2），與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，PBx軸于點(diǎn)B，且ACBC（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出kx+b的x的取值范圍；（3）點(diǎn)D為反比例函數(shù)圖象上使得四邊形BCPD為菱形的一點(diǎn)，點(diǎn)E為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|DEPE|最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)解析：（1）ACBC，COAB，A（4，0），O為AB的中點(diǎn)，即OAOB4，P（4，2），B（4，0），將A（4，

28、0）與P（4，2）代入ykx+b得：，解得：，一次函數(shù)解析式為yx+1，將P（4，2）代入反比例解析式得：m8，即反比例解析式為y；（2）觀察圖象可知：kx+b時(shí)x的取值范圍0 x4；（3）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，如下圖所示，連接DC交PB于F，四邊形BCPD為菱形，CFDF4，CD8，將x8代入反比例函數(shù)y得y1，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，1）則反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時(shí)D坐標(biāo)為（8，1）；延長(zhǎng)DP交y軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求，則|DEPE|PD為最大，設(shè)直線PD的表達(dá)式為：ysx+t，將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，yx+3，令x0，則y3，故點(diǎn)

29、E（0，3）9、已知，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為A（2，0），C（1，2），反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（m0）（1）求出反比例函數(shù)的解析式（2）將OABC沿著x軸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，作出點(diǎn)D并判斷點(diǎn)D是否在反比例函數(shù)y的圖象上（3）在x軸是否存在一點(diǎn)P使OCP為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）分別過(guò)點(diǎn)C、B作x軸的垂線，垂足分別為：E、F，四邊形OABC為平行四邊形，則COEBAF，COAB，RtCOERtBAF，AFOE1，故點(diǎn)B（1，2），故m2，則反比例函數(shù)表達(dá)式為：y；（2）翻折后點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，2），（1）（2）

30、2，D在反比例函數(shù)y的圖象上；（3）當(dāng)OPOC時(shí)，點(diǎn)P（，0）；當(dāng)OCPC時(shí)，點(diǎn)P（2，0）；當(dāng)OPPC時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（m，0），則m2+（m+1）2+4，解得：m2.5；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）或（2，0）或（2.5，0）10、正方形ABCD的頂點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)C（3，3），反比例函數(shù)y（x0）（1）如圖1，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)求反比例函數(shù)y（x0）的關(guān)系式；（2）如圖2，正方形ABCD向下平移得到正方形ABCD，邊AB在x軸上，反比例函數(shù)y（x0）的圖象分別交正方形ABCD的邊CD、邊BC于點(diǎn)F、E，求AEF的面積；如圖3，x軸上一點(diǎn)P，是否存在PEF是等腰三角形，若存在直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，若

31、不存在明理由解析：（1）點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)C（3，3），點(diǎn)D（1，3），將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k3，故反比例函數(shù)表達(dá)式為：y；（2）平移后點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），則平移后點(diǎn)E縱坐標(biāo)為3，則點(diǎn)E（3，1），同理點(diǎn)F（，2），AEF的面積S正方形ABCDSABESADFSEFC222211；（3）點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為：（3，1）、（，2），設(shè)點(diǎn)P（m，0），則EF2（3）2+（21）2，EP2（m3）2+1，PF2（m）2+4，當(dāng)EFEP時(shí)，即（m3）2+1，解得：m（舍去）或；當(dāng)EFPF時(shí)，同理可得：m（舍去負(fù)值）；當(dāng)EPPF時(shí)

32、，同理可得：m，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）或（，0）或（，0）11、如圖所示，一次函數(shù)yx6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B將直線AB沿y軸正方向平移與反比例函數(shù)y（x0）的圖象分別交于點(diǎn)C，D，連接BC交x軸于點(diǎn)E，連接AC，已知BE3CE，且SABE27（1）求直線AC和反比例函數(shù)的解析式；（2）連接AD，求ACD的面積解析：（1）在yx6中，當(dāng)x0時(shí)，y6；當(dāng)y0時(shí)，x6A（6，0），B（0，6），OBOA6，又SABE27，OBAE27，AE9，OE3過(guò)C作CNx軸于N，則CNOB，又BE3CE，EN1，CN2，ON4，C（4，2）反比例函數(shù)的解析式為y設(shè)直線AC的解析式為ykx+b（k0）

33、，將A（6，0），C（4，2）代入得：，解得：直線AC的解析式為yx+；（2）根據(jù)題意設(shè)直線CD的解析式為yx+b1，將點(diǎn)C（4，2）代入得：4+b12，b16直線CD的解析式為yx+6將直線CD和反比例函數(shù)解析式聯(lián)立得：，解得：，D（2，4）過(guò)D作DMy軸交AC于M，則M（2，1.6），SACDSADM+SCDMDM|xMxA|+DM|xCxM|DM|xCxA|（41.6）|4（6）|1212、菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B落在y軸正半軸上，點(diǎn)A、D落在第一象限內(nèi)，且D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）（1）如圖1，若反比例函數(shù)y（x0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求k的值；（2）菱形ABCD向右平移t個(gè)單位得

34、到菱形A1B1C1D1，如圖2請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B1、D1的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）：B1 、D1 ；是否存在反比例函數(shù)y（x0），使得點(diǎn)B1、D1同時(shí)落在y（x0）的圖象上？若存在，求n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）如圖，作DFx軸于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3），F(xiàn)O4，DF3，DO5，AD5A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），xy4832，k32；（2）平移后B1、D1的坐標(biāo)分別為：（t，5），（t+4，3），存在，理由如下：點(diǎn)B1、D1同時(shí)落在（x0）的圖象上B1（t，5），D1（t+4，3），5tn，3（t+4）n，解得：t6，n30所以，存在，此時(shí)n3013、如圖，直線yx+6與反比例函數(shù)y（

35、x0）分別交于點(diǎn)D、A（ABAC），經(jīng)探索研究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論ABCD始終成立另一直線ymx（m0）交線段BC于點(diǎn)E，交反比例函數(shù)y（x0）圖象于點(diǎn)F（1）當(dāng)BC5時(shí)：求反比例函數(shù)的解析式若BE3CE，求點(diǎn)F的坐標(biāo)（2）當(dāng)BE：CD1：2時(shí)，請(qǐng)直接寫出k與m的數(shù)量關(guān)系解析：（1）針對(duì)于直線yx+6，令x0，則y6，A（0，6），OA6，令y0，則0 x+6，x8，D（8，0），OD8，AD10，BC5，AB+CDADBC5，ABCD，AB，過(guò)點(diǎn)B作BGy軸于G，AGB90AOB，BAGDAO，ABGADO，AG，BG2，OGOAAG，B（2，），點(diǎn)B在反比例函數(shù)y（x0）圖象上，k29，反比例函數(shù)的

36、解析式為y；BC5，BE+CE5，BE3CE，BE，AEAB+BE，過(guò)點(diǎn)E作EHy軸于H，AHE90AOB，HAEOAD，HAEOAD，AH，BG5，OHOAAH，E（5，），直線OE的解析式為yx，聯(lián)立，解得，（舍）或，F(xiàn)（2，）；（2）BE：CD1：2，BEa，則CD2a，ABCD2a，AEAB+BE3a，過(guò)點(diǎn)E作EHy軸于H，同（1）的方法得，HAEOAD，AHa，EHa，OHOAAH6a，E（a，6a），將點(diǎn)E坐標(biāo)代入直線ymx（m0）中，解得am6a，a，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y（x0）中，解得，ka（6a）a（103a）（10）14、如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線y1mx（m0）與反比例函

37、數(shù)y2（k0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，連接AD交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)E，AC為BAD的平分線，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為C，連接CE，若AD2DE，AEC的面積為（1）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，y1y2；（2）求AOD的面積；（3）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，k），在y軸的軸上是否存在一點(diǎn)M，使得OMP是直角三角形，若存在，寫出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由解析：（1）直線y1mx（m0）與反比例函數(shù)y2（k0）圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)x取1x0或x1時(shí)，y1y2；（2）連接OC，OE，由

38、圖象知，點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，OAOB，ACCB，ACB90，OCABAO，OACOCA，AC為BAD的平分線，OACDAC，OCADAC，ADOC，SAEOSACE，AD2DE，AEDE，SAOD2SAOE3；（3）作EFx軸于F，作AHx軸于H，則EFAH，AD2DE，DEEA，EFAH，1，DFFH，EF是DHA的中位線，EFAH，SOEFSOAH，OFEFOHHA，OHOF，OHHF，DFFHHODO，SOAHSADO31，1，k2，y，點(diǎn)A在y的圖象上，把x1代入得，y2，A（1，2），點(diǎn)A在直線ymx上，m2，P（2，2），在y軸上找到一點(diǎn)M，使得OMP是直角三角形，當(dāng)OMP90

39、時(shí)，PMy軸，則OM2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（02）；當(dāng)OPM90時(shí)，過(guò)P作PGy軸于G，則OPM是等腰直角三角形，OM2PG4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（04）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（02）或（0，4）15、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A（1，0），B（4，1），C（4，4）反比例函數(shù)y（x0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，點(diǎn)P是一次函數(shù)ykx+44k（k0）的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個(gè)公共點(diǎn)（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明一次函數(shù)ykx+44k（k0）的圖象一定過(guò)點(diǎn)C；（3）對(duì)于一次函數(shù)ykx+44k（k0），當(dāng)隨x的增大而增大時(shí)，確定點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍（不必寫過(guò)程）解析：（1）四邊形ABCD

40、是平行四邊形，ADBC，B（4，1），C（4，4），BCx軸，ADBC3，而A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）反比例函數(shù)y（x0）的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（1，3），3，m3，反比例函數(shù)的解析式為y；（2）當(dāng)x4時(shí)，ykx+44k4k+44k4，一次函數(shù)ykx+44k（k0）的圖象一定過(guò)點(diǎn)C；（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，一次函數(shù)ykx+44k（k0）過(guò)C點(diǎn)，并且y隨x的增大而增大時(shí)，k0，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)要小于4，橫坐標(biāo)大于4，當(dāng)縱坐標(biāo)小于4時(shí)，y，4，解得：a，則a的范圍為a1或a題型三、反比例函數(shù)中的直角三角形問(wèn)題1、如圖，一次函數(shù)ykx+b（k0）與反比例函數(shù)y（a0）的圖象在第一象限交于

41、A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，6），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），連接OA，過(guò)B作BCy軸，垂足為C（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在射線CB上是否存在一點(diǎn)D，使得AOD是直角三角形，求出所有可能的D點(diǎn)坐標(biāo)解析：（1）點(diǎn)B（2，3）在反比例函數(shù)y的圖象上，a326，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y圖象上，A（1，6），一次函數(shù)的表達(dá)式為y3x+9；（2）如圖，當(dāng)OD1A90時(shí)，設(shè)BC與AO交于E，則E（，3），AEOED1E，E（，3），D1的坐標(biāo)為（，3）；當(dāng)OAD290時(shí)，可得直線AD2的解析式為：yx+，當(dāng)y3時(shí)，x19，D2坐標(biāo)為（19，3），綜上所述

42、，當(dāng)AOD是直角三角形，D點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）或（19，3）2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y（m為常數(shù)，m1，x0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（m，1）和Q（1，m），直線PQ與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)（1）求OCD的度數(shù)；（2）如圖2，連接OQ、OP，當(dāng)DOQOCDPOC時(shí)，求此時(shí)m的值；（3）如圖3，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在x軸和y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)再以O(shè)A、OB為鄰邊作矩形OAMB若點(diǎn)M恰好在函數(shù)y（m為常數(shù)，m1，x0）的圖象上，且四邊形BAPQ為平行四邊形，求此時(shí)OA、OB的長(zhǎng)度解析：（1）設(shè)直線PQ的解析式為ykx+b，則有，解得，yx+m+1，令x0，得到y(tǒng)m+1，D（0，m+1），令y0

43、，得到xm+1，C（m+1，0），OCOD，COD90，OCD45（2）如圖2，過(guò)Q作QMy軸于M，過(guò)P作PNOC于N，過(guò)O作OHCD于H，P（m，1）和Q（1，m），MQPN1，OMONm，OMQONP90，OMQONP（SAS），OQOP，DOQPOC，DOQOCDPOC，OCD45，DOQPOCQOHPOH22.5，MQQHPHPN1，OCDODC45，DMQ和CNP都是等腰直角三角形，DQPC，OCODm+1，CDOC，CDDQ+PQ+PC，2+2，m+1；（3）如圖3，四邊形BAPQ為平行四邊形，ABPQ，ABPQ，OAB45，AOB90，OAOB，矩形OAMB是正方形，點(diǎn)M恰好在函

44、數(shù)y（m為常數(shù)，m1，x0）的圖象上，M（，），即OAOB，ABPQ，解得：m或（舍），OAOB3、如圖，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，射線AB與反比例函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為B（1，a），射線AC與x軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)C，BAC75，ADy軸，垂足為D（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求DC的長(zhǎng)；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得APE與ACD相似，若存在，請(qǐng)求出滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，k2，（2）過(guò)點(diǎn)B作BMAD于M，把B（1，a）代入得，B（1，2），AMBM21，BAM45，BAC75，DAC754530，CDADtanDAC22；

45、（3）存在，如圖，OCCDOD1，OEOC，當(dāng)APx軸時(shí)，APECDA，則：OP1AD2，P1（2，0），當(dāng)APAE時(shí)，APEDCA，AP11，AP2P1903060則，綜上所述，滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），（，0）4、如圖，直線yx+b與反比例函數(shù)y（x0）的圖象交于A（2，6），B（a，3）兩點(diǎn)，BCx軸（點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)），且BCm，連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CDx軸于點(diǎn)D，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E（1）求b的值和反比例函數(shù)的解析式；（2）填空：不等式x+b的解為 ；（3）當(dāng)OC平分BOD時(shí)，求的值；（4）如圖，取BC中點(diǎn)F，連接DF，AF，BD，當(dāng)四邊形ABDF為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)

46、（1）將A（2，6）代入yx+b得，3+b6，解得：b9，將A（2，6）代入y得，k12，反比例函數(shù)的解析式為：y；（2）當(dāng)y3時(shí)，3，解得：x4，B（4，3），由圖象可知不等式x+b的解為：2x4，（3）將B（a，3）代入y得，3，解得：a4，OC平分BOD，BOCCOD，BCx軸，BCOCOD，BOCBCO，OBBC，B（4，3），OBBC5，C（9，3），E（9，），D（9，0），DE，CE3，；（4）作AHBC于H，則H（2，3），AH3，BH2，四邊形ABDF為平行四邊形，ABDF，ABDF，CFDCBQ，AHBDCF90，ABHCBQ，CFDABH，ABHDFC，CFBH2，F(xiàn)是B

47、C中點(diǎn)，BFCFBC2，B（4，3），F(xiàn)（6，3）5、定義：在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位的平移稱為一次斜平移已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)A經(jīng)過(guò)n次斜平移得到點(diǎn)B，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)（1）當(dāng)n3時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ，點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M落在y的圖象上，求n的值；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M落在直線l上，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，BC與直線l相交于點(diǎn)N求證：ABC是直角三角形；當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，3）時(shí)，求MN的長(zhǎng)解析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，點(diǎn)A（1，0）經(jīng)過(guò)n次斜平移得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1+n，2n），當(dāng)n3時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，6），點(diǎn)M是線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)

48、M的坐標(biāo)是（2.5，3），（2）由題意，A（1，0），B（1+n，2n），線段AB中點(diǎn)M（，n），點(diǎn)M落在y的圖象上，n4，解得n2或n4（舍去），n2；（3）連接CM，如圖1，M是AB的中點(diǎn)，AMBM，由軸對(duì)稱可知：BMCM，AMCMBM，MACACM，MBCMCB，MAC+ACM+MBC+MCB180，ACM+MCB90，即ACB90，ABC是直角三角形；點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，3），點(diǎn)A（1，0），AC5，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，BNCN，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)AMBM，MNAC6、如圖（1），正方形ABCD頂點(diǎn)A、B在函數(shù)y（k0）的圖象上，點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸的正半軸上，當(dāng)k的值改

49、變時(shí)，正方形ABCD的大小也隨之改變（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；（2）如圖（2），當(dāng)k8時(shí)，分別求出正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)變化的正方形ABCD與（2）中的正方形ABCD有重疊部分時(shí)，求k的取值范圍解析：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AEy軸于點(diǎn)E，則AED90四邊形ABCD為正方形，ADDC，ADC90，ODC+EDA90ODC+OCD90，EDAOCD，在AED和DOC中，AEDDOC（AAS），ODEA5，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為5；（2）作AMy軸于M，BNx軸于點(diǎn)N，設(shè)ODa，OCb，同理可得BCNCDOADE，CNODAMa，BNCODMb，A（a，a+b），B（a

50、+b，b），點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y的圖象上，a（a+b）8，b（a+b）8，解得ab2或ab2（舍），A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，4），（4，2）；（3）設(shè)直線AB的解析式為ymx+n，把A（2，4），B（4，2）代入得，解得，直線AB解析式為yx+6，同樣可求得直線CD解析式為yx+2，由（2）可知OCD是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2m），點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，m），當(dāng)A點(diǎn)在直線CD上時(shí)，則2mm+2，解得m，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），k；當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上時(shí)，有m6，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，12），k61272；綜上可知：當(dāng)變化的正方形ABCD與（2）中的正方形ABCD有重疊部分時(shí)，k的取

51、值范圍為x727、如圖，如圖，一次函數(shù)yx+b與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（m，1）和B （1，3）（1）填空：一次函數(shù)的解析式為 ，反比例函數(shù)的解析式為 ；（2）點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接AP，BP當(dāng)ABP是直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解析：（1）點(diǎn)A（m，1）和B （1，3）在反比例函數(shù)的圖象上，k1（3）3，km1，m3，點(diǎn)A（3，1），反比例函數(shù)解析式為：y；一次函數(shù)yx+b過(guò)點(diǎn)B（1，3），31+b，b2，一次函數(shù)解析式為：yx2；（2）如圖1，當(dāng)ABP90時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作CDx軸，過(guò)點(diǎn)A作ACDC于C，過(guò)點(diǎn)B作BDCD于D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），ACx+3，CP1，PD3，BDx1

52、，APB90，APC+BPD90，又APC+CAP90，CAPBPD，又CBDP90，ACPPBD，x11，x21（舍），點(diǎn)P（1+，0）；當(dāng)ABP90時(shí)直線yx2與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)D（0，2），OC2，OD2，CD2，BC3，tanOCD，CP6，點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)P（4，0），綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（4，0）8、如圖，一次函數(shù)yx+3的圖象與反比例函數(shù)y（k0）在第一象限的圖象交于A（1，a）和B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P在x軸上，且APC的面積為5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在y軸上，是否存在點(diǎn)P，使ABP是以A

53、B為一直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入yx+3，得a2，A（1，2），把A（1，2）代入反比例函數(shù)，k122；反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）一次函數(shù)yx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)C，C（3，0），設(shè)P（x，0），PC|3x|，SAPC|3x|25，x2或x8，P的坐標(biāo)為（2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：聯(lián)立，解得：或，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)P在y軸上，設(shè)P（0，m），AB，AP，PB，若BP為斜邊，BP2AB2+AP2 ，即 2+，解得：m1，P（0，1）；若AP為斜邊，AP2PB2+AB2 ，即 +2，解得：

54、m1，P（0，1）；綜上所述：P（0，1）或 P（0，1）9、如圖，直線yx+6與反比例函數(shù)y（x0）分別交于點(diǎn)D、A（ABAC），經(jīng)探索研究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論ABCD始終成立另一直線ymx（m0）交線段BC于點(diǎn)E，交反比例函數(shù)y（x0）圖象于點(diǎn)F（1）當(dāng)BC5時(shí)：求反比例函數(shù)的解析式若BE3CE，求點(diǎn)F的坐標(biāo)（2）當(dāng)BE：CD1：2時(shí)，請(qǐng)直接寫出k與m的數(shù)量關(guān)系解析：（1）針對(duì)于直線yx+6，令x0，則y6，A（0，6），OA6，令y0，則0 x+6，x8，D（8，0），OD8，AD10，BC5，AB+CDADBC5，ABCD，AB，過(guò)點(diǎn)B作BGy軸于G，AGB90AOB，BAGDAO，ABGADO

55、，AG，BG2，OGOAAG，B（2，），點(diǎn)B在反比例函數(shù)y（x0）圖象上，k29，反比例函數(shù)的解析式為y；BC5，BE+CE5，BE3CE，BE，AEAB+BE，過(guò)點(diǎn)E作EHy軸于H，AHE90AOB，HAEOAD，HAEOAD，AH，BG5，OHOAAH，E（5，），直線OE的解析式為yx，聯(lián)立，解得，（舍）或，F(xiàn)（2，）；（2）BE：CD1：2，BEa，則CD2a，ABCD2a，AEAB+BE3a，過(guò)點(diǎn)E作EHy軸于H，同（1）的方法得，HAEOAD，AHa，EHa，OHOAAH6a，E（a，6a），將點(diǎn)E坐標(biāo)代入直線ymx（m0）中，解得am6a，a，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y（x0

56、）中，解得，ka（6a）a（103a）（10）10、如圖，已知直線y2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，矩形ACBE的頂點(diǎn)B在第一象限的反比例函數(shù)y圖象上，過(guò)點(diǎn)B作BFOC，垂足為F，設(shè)OFt（1）求ACO的正切值；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含t的式子表示）；（3）已知直線y2x+2與反比例函數(shù)y圖象都經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DE，如果DEx軸，求m的值 解析：（1）直線y2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，2）OA1，OC2，tanACO；（2）四邊形ACBE是矩形，ACB90，ACO+BCF90，且BCF+CBF90，ACOCBF，OFt，CF2t，tanCB

57、FtanACO，BF42t，點(diǎn)B（42t，t）；（3）如圖，連接DE，交x軸于H點(diǎn)，DEx軸，AHE90，HAE+AEH90，且CAO+HAE90，CAO+ACO90，ACO+BCF90，AEHBCF，且CFBAHE，AEBC，BCFAEH（AAS）。AHBF42t，CFHE，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)H（32t，0），當(dāng)x32t時(shí)，y2（32t）+284t，點(diǎn)D坐標(biāo)為（32t，84t），點(diǎn)D，點(diǎn)B都在反比例函數(shù)y上，（32t）（84t）t（42t），t12（不合題意舍去），t2；點(diǎn)B（，），m11、如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線y1mx（m0）與反比例函數(shù)y2（k0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，且點(diǎn)A

58、的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，連接AD交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)E，AC為BAD的平分線，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為C，連接CE，若AD2DE，AEC的面積為（1）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，y1y2；（2）求AOD的面積；（3）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，k），在y軸的軸上是否存在一點(diǎn)M，使得OMP是直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解析：（1）直線y1mx（m0）與反比例函數(shù)y2（k0）圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)x取1x0或x1時(shí)，y1y2；（2）連接OC，OE，由圖象知，點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，OAOB，AC

59、CB，ACB90，OCABAO，OACOCA，AC為BAD的平分線，OACDAC，OCADAC，ADOC，SAEOSACE，AD2DE，AEDE，SAOD2SAOE3；（3）作EFx軸于F，作AHx軸于H，則EFAH，AD2DE，DEEA，EFAH，1，DFFH，EF是DHA的中位線，EFAH，SOEFSOAH，OFEFOHHA，OHOF，OHHF，DFFHHODO，SOAHSADO31，1，k2，y，點(diǎn)A在y的圖象上，把x1代入得，y2，A（1，2），點(diǎn)A在直線ymx上，m2，P（2，2），在y軸上找到一點(diǎn)M，使得OMP是直角三角形，當(dāng)OMP90時(shí)，PMy軸，則OM2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（02）；

60、當(dāng)OPM90時(shí)，過(guò)P作PGy軸于G，則OPM是等腰直角三角形，OM2PG4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（04）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（02）或（0，4）題型四、反比例函數(shù)中的等腰三角形問(wèn)題1、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b(k0)與反比例函數(shù)y=(m0)的圖象交于第二、四象限A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ADx軸于D，AD=4，sinAOD=，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n,-2)（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）E是y軸上一點(diǎn)，且AOE是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)（1）；（2）當(dāng)點(diǎn)E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)時(shí)，AOE是等腰三角形2、已知一次函數(shù)y=kx+b