1、PAGE 第九章 曲線、曲面積分曲線、曲面積分是將積分概念推廣到一段曲線弧或一片曲面的情形，在求變力沿曲線做功，求引力，環(huán)流量等許多實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用廣泛，是場(chǎng)論的基礎(chǔ)。這一章的基本思想是用參數(shù)化方法解決曲線、曲面積分的計(jì)算，利用格林公式、斯托克斯公式、高斯公式解決一些較復(fù)雜的應(yīng)用問(wèn)題。在研究生入學(xué)考試中，本章是高等數(shù)學(xué)一和高等數(shù)學(xué)二的考試內(nèi)容。通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)為應(yīng)達(dá)到如下要求：明確兩類曲線積分和兩類曲面積分的背景，熟練掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的定義。熟練掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的參數(shù)化、投影計(jì)算法。具備對(duì)一些常見(jiàn)實(shí)際問(wèn)題的分析能力，正確使用格林公式、斯托克斯公式、高斯公式解決

2、一些較復(fù)雜的應(yīng)用問(wèn)題。一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、典型錯(cuò)誤分析例1 錯(cuò)誤結(jié)論設(shè)是分段光滑可求長(zhǎng)的平面曲線段，函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，則分析 從第一類曲線積分的定義知，該積分是該弧段上點(diǎn)的函數(shù)值與小弧段長(zhǎng)的乘積的和式的極限，故這個(gè)極限與曲線段的方向無(wú)關(guān)，因此不能照搬定積分的有關(guān)性質(zhì)。正確結(jié)論 設(shè)是分段光滑可求長(zhǎng)的平面曲線段，函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，則例2 錯(cuò)誤結(jié)論重積分、曲線積分、曲面積分的定義都可統(tǒng)一到定積分的定義形式。分析 從重積分、曲線積分、曲面積分的物理背景可知重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的定義可統(tǒng)一到定積分的定義形式：設(shè)是可度量的幾何形體，在上有界，將任意分成個(gè)部分，既表示第個(gè)部分

3、又表示其度，在上任取一點(diǎn)，若存在，則稱在上可積，記為對(duì)于第二類曲線積分、第二類曲面積分由其物理背景可知，其定義不能簡(jiǎn)單地統(tǒng)一到這種形式。正確結(jié)論 重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的定義都可統(tǒng)一到定積分的定義形式。例3求圓周上曲線段的弧長(zhǎng)，其中 .錯(cuò)解 分析 由于曲線從A到C時(shí),自增加到, 再由減少到, 在以上計(jì)算中統(tǒng)一將用表示不能保證而第一類曲線積分中,由定義可知應(yīng)大于零,因此此題應(yīng)分段進(jìn)行計(jì)算.正確解 例4. 計(jì)算 其中為以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形。錯(cuò)解 正方形方程為 即 ，. 所以分析 本題是計(jì)算第二類曲線積分, 因此用參數(shù)化法化為定積分求解。但應(yīng)注意的是此時(shí)定積分的下（上）限應(yīng)對(duì)應(yīng)始（終）

4、點(diǎn)的參數(shù)值。在以上解法中被積表達(dá)式是正確的，但積分上下限有的顛倒了，導(dǎo)致了結(jié)果錯(cuò)誤。正確解 正方形方程為 即 ，. 所以例5. 錯(cuò)誤結(jié)論 格林公式對(duì)單一型的積分不成立。分析 以上結(jié)論是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，其中，因此只要在以L為邊界正向的閉區(qū)域上滿足格林公式的條件即可使用格林公式。 正確結(jié)論 當(dāng)在以L為邊界正向的閉區(qū)域上滿足格林公式條件時(shí)：類似地，對(duì)單一型的積分，當(dāng)在以L為邊界正向的閉區(qū)域上滿足格林公式的條件時(shí)，有例6. 求曲線積分，其中曲線的方程.錯(cuò)解 由于在所圍的區(qū)域上滿足格林公式的條件，于是分析 在以上解法中，將第二類曲線積分利用格林公式轉(zhuǎn)化為二重積分來(lái)考慮這個(gè)思路是常用的，錯(cuò)誤在于將利用的方

5、程，用9來(lái)代換。事實(shí)上二重積分中的積分變量應(yīng)在所圍的積分區(qū)域上取值，而不能僅在上取值。正確解 利用對(duì)稱性例7. 求曲線積分，其中曲線的方程。錯(cuò)解 由于積分曲線關(guān)于軸對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù)，利用對(duì)稱性，得 分析 在定積分、重積分中，常利用積分區(qū)域的對(duì)稱性配合被積函數(shù)的奇偶性法則來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。由于第二類曲線積分、第二類曲面積分的定義與定積分、重積分的定義形式不同（參見(jiàn)例2），因此不能直接照搬此性質(zhì)。正確解利用參數(shù)法， 例8. 求曲面積分，其中為曲面的外側(cè)。錯(cuò)解 分析 上面解法的錯(cuò)誤在于對(duì)第二類曲面積分直接利用重積分的對(duì)稱性求解，這是沒(méi)有根據(jù)的。對(duì)第二類曲面積分，首先應(yīng)將它化為重積分，才能考慮是否可

6、用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。正確解一 利用高斯公式正確解二以上積分也可用常規(guī)的方法，分片積分。將分為上半球面：下半球面：于是 +例9. 試問(wèn)是否某個(gè)函數(shù)的全微分？若是，求函數(shù)錯(cuò)解 設(shè)因?yàn)?所以對(duì)一切，原式是某個(gè)函數(shù)的全微分。取為起點(diǎn)，以折線為積分路徑，其中于是 分析以上解法是在根據(jù)推得“一切，原式是某個(gè)函數(shù)的全微分”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，但是這里忽略了函數(shù)當(dāng)時(shí)沒(méi)有定義，因此，只有在時(shí)，才成立，因此不能任取一點(diǎn)為起點(diǎn)，所選擇的路徑必須將直線中排除在外。正確解 設(shè)因?yàn)?所以在直線以外的區(qū)域內(nèi)，原式是某個(gè)函數(shù)的全微分。取為起點(diǎn)，以折線為積分路徑，其中于是 例10. 把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其路徑為沿

7、上半圓周從點(diǎn)到錯(cuò)解 由方程得因此圓周的切線向量為方向余弦為 于是分析 在以上解法中，所運(yùn)用的兩類曲線積分之間的關(guān)系式是正確的，但沒(méi)有按“切線向量的方向與有向曲線的方向必須保持一致”去求出切線向量，造成結(jié)論錯(cuò)誤。 正確解 曲線的方程為 以為參數(shù)，則曲線的切線向量為 由得因此切向量為由于沿上半圓周從點(diǎn)到，故切線方向余弦取 于是三、綜合題型分析例11計(jì)算其中為球面與平面相交的圓周。分析一 所求積分為第二類曲線積分，可用常規(guī)方法即參數(shù)化法進(jìn)行如下計(jì)算。解一 先求出曲線的參數(shù)方程。由方程組 得 （1）由旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸，有，于是(1)為 設(shè)得所求圓周的參數(shù)方程為于是得所以分析二利用對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算，這兒不僅要求

8、所沿的積分曲線要對(duì)稱，且定義在此曲線上的函數(shù)也要求對(duì)稱。解二 由對(duì)稱性知考慮到大圓的周長(zhǎng)為易得 于是 方法小結(jié)對(duì)于計(jì)算第一類曲線積分，參數(shù)化法是一種常規(guī)方法，因此應(yīng)熟練掌握，但針對(duì)題目的特點(diǎn)，有時(shí)其它方法更簡(jiǎn)便，本題利用對(duì)稱性求解更簡(jiǎn)便。例12. 計(jì)算曲線積分其中從沿?cái)[線 到分析一 由于被積函數(shù)在全平面上滿足，故 +必為某個(gè)函數(shù)的全微分，以下用求原函數(shù)的方法求此積分值。解一 因?yàn)?+所以分析二 設(shè) 因于是積分與路徑無(wú)關(guān)，所以可任意選擇一條路徑進(jìn)行積分。解二 根據(jù)以上分析，可選擇折線為路徑進(jìn)行積分，其中為已知，為 +方法小結(jié) 對(duì)于第二類曲線積分一般可考慮采用參數(shù)化法，求原函數(shù)法，利用積分與路徑無(wú)

9、關(guān)等方法求解。在采用求原函數(shù)法，改變路徑積分等方法時(shí)，首先應(yīng)驗(yàn)證被積函數(shù)和積分區(qū)域是否滿足條件。在改變路徑積分時(shí)，往往選用分段與坐標(biāo)軸平行的折線為路徑。例13計(jì)算曲線積分其中是圓上原點(diǎn)到的一段弧。分析 以下用四種方法求解此第二類曲線積分，用不同的方法，其難易程度相差較大。解一 的參數(shù)方程為，由 則由 解二 的極坐標(biāo)方程為因此參數(shù)方程為 由 由 解三 因?yàn)?所以積分與路徑無(wú)關(guān)。解四 因?yàn)?利用全微分方法小結(jié) 比較以上四中解法，前面兩種都屬于直接計(jì)算法，后面兩種是利用積分與路徑無(wú)關(guān)、求原函數(shù)進(jìn)行求解的。不難看出，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，若滿足，解法三、四是較簡(jiǎn)便的。當(dāng)且積分曲線不封閉時(shí)，也可先用“補(bǔ)路封

10、閉法”進(jìn)行計(jì)算再減去補(bǔ)路上的積分，但必須在補(bǔ)路后的封閉曲線所圍的區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。例14設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 則。（A）2; （B）; （C）; （D）1.分析 要求出積分, 首先應(yīng)利用條件求出由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充要條件可知:于是 由條件 得再由條件積分與路徑無(wú)關(guān), 取積分路線,則得因此選擇（B）.(這里若取折線,也易得)方法小結(jié)分析要求的積分式子,易知必須利用條件先求出未知函數(shù),因此有了以上的解法。從所求結(jié)果出發(fā)進(jìn)行分析，往往是解決問(wèn)題的一種有效途徑。例15計(jì)算，其中為下半球面的上側(cè)，為大于零的常數(shù)。分析一 曲面積分是沿著曲面的積分，可用曲面方程代入被積表達(dá)

11、式化簡(jiǎn)，對(duì)本題而言特別重要。因代入被積表達(dá)式后將分母中的化為提出去了，使得余下的被積表達(dá)式能夠用高斯公式計(jì)算（否則高斯公式所要求的連續(xù)可微性條件不滿足）。解一 由于高斯公式要求積分曲面為封閉曲面，所以必須將原曲面補(bǔ)上一塊有向曲面 其法向量與軸正向相反，從而得到原式 其中為圍成的空間區(qū)域，為上的平面區(qū)域.于是原式分析二 本題也可直接用統(tǒng)一投影法，化為平面的某區(qū)域上的二重積分進(jìn)行計(jì)算。解二 由于所以 記 則原式=（在第一項(xiàng)中令分析三 由題意，可將所求曲面積分分兩項(xiàng)，分別用投影法化為兩個(gè)坐標(biāo)平面的某區(qū)域上的二重積分進(jìn)行計(jì)算。解三 原式=， 其中為平面上的半圓：利用極坐標(biāo)計(jì)算，得其中為平面上的圓域：因

12、此原式方法小結(jié) 第二類曲面積分有多種計(jì)算方法，用曲面方程代入被積表達(dá)式化簡(jiǎn)積分是常用的手段。另外，投影法的應(yīng)用也是靈活的（祥見(jiàn)解二和解三），可根據(jù)題目來(lái)選用某種投影法。例16計(jì)算曲線積分，其中圓周，的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?。分析?這個(gè)曲線積分若直接用參數(shù)化法求解是困難的，以下考慮用格林公式求解。解一解：由于時(shí)，被積函數(shù)無(wú)意義，故所包圍的區(qū)域不滿足格林公式的條件，作一小圓挖去原點(diǎn)，作逆時(shí)針?lè)较虻膱A周：，使全部被所包圍，在和為邊界的區(qū)域內(nèi)，根據(jù)格林公式，有 ，故上式為零。方法小結(jié) 用格林公式求解第二類曲線積分往往是有效的，但必須要考慮曲線所包圍的區(qū)域是不是滿足格林公式的條件，本題利用挖去一個(gè)小圓，使考

13、慮的區(qū)域滿足條件。本題采用的挖去一個(gè)小圓的方法是常用的。例17計(jì)算，其中為圓柱面介于和之間的部分。分析一本題是對(duì)面積的曲面積分，在直角坐標(biāo)下，它化為二重積分計(jì)算，有三個(gè)公式可考慮用于計(jì)算，其中之一為 (1)這里是曲面的方程，是在平面上的投影區(qū)域，且是上的單值可微函數(shù)。但在本題中，不能用公式(1)計(jì)算，這是因?yàn)榍娌荒軐?xiě)成的單值函數(shù)，且這時(shí)在平面上的投影是一條曲線（圓曲線），其面積為零，從而 因此本題只能考慮用另外兩個(gè)公式計(jì)算。解一利用向面投影的方法來(lái)計(jì)算，此時(shí)分曲面為兩個(gè)半柱面，。由于與關(guān)于面對(duì)稱，被積函數(shù)在與上也對(duì)稱，故所求積分為在上積分的兩倍，其中的方程為 在上的投影區(qū)域?yàn)椋?于是類似地，

14、本題也可利用向面投影的方法來(lái)計(jì)算。分析二考慮到在圓柱面方程中的對(duì)稱性，故利用此特性求解。解二由于的方程中對(duì)稱，所以，從而方法小結(jié) 對(duì)第二類曲面積分，在直角坐標(biāo)下采用投影法化為二重積分計(jì)算時(shí)，對(duì)曲面方程是有要求的，應(yīng)引起充分注意。同時(shí)從解二看到，利用具體題目的特性求解往往較簡(jiǎn)捷，對(duì)稱性是常被應(yīng)用的特性。例18計(jì)算曲面積分，其中是長(zhǎng)方體的整個(gè)表面的外側(cè)，.分析一 所求積分為第二類曲線積分，由于被積函數(shù)且積分區(qū)域均比較簡(jiǎn)單，可用以下常規(guī)的投影法求解。解一把有向曲面分成以下六個(gè)部分： ：()的上側(cè)； ：()的下側(cè)； ：()的前側(cè)； ：()的后側(cè)； ：()的右側(cè)； ：()的左側(cè)。其中、在面上的投影為零，

15、因此 所以分析二由于是長(zhǎng)方體的整個(gè)表面的外側(cè)，易知是分片光滑的，又被積函數(shù)在上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，于是用高斯公式求解。解二因?yàn)殚L(zhǎng)方體的整個(gè)表面的外側(cè)，由高斯公式且， 原式 方法小結(jié) 在考慮第二類曲面積分時(shí)，投影法和使用高斯公式求解都是常用的方法。但在用高斯公式時(shí)應(yīng)驗(yàn)證積分區(qū)域和被積函數(shù)是否滿足條件，否則很容易出錯(cuò)。例19 證明：對(duì)于曲線積分的估計(jì)式為 式中為積分曲線段長(zhǎng)度， 利用這個(gè)不定積分估計(jì)： 并證明分析一由于所求不等式的右邊是曲線段的長(zhǎng)度和的乘積，因此可利用第二類曲線積分的定義以及兩向量的向量積，估計(jì)不等式。對(duì)，一般可利用參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。證一 因?yàn)?這里所以 設(shè) 于是 在曲線上， 因此

16、于是分析二 在估計(jì)曲線積分值時(shí)，結(jié)合已知的不等式常常會(huì)帶來(lái)方便，以下用此法估計(jì).證二 因?yàn)橛刹坏仁剑ㄒ?jiàn)證一），易得于是方法小結(jié) 在估計(jì)第二類曲線積分值時(shí)，利用向量的計(jì)算和一些已知不等式，往往是有效的。例20 計(jì)算 其中為曲線 其方向是從軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较?。分?為一條空間曲線，本題若采用將其方程參數(shù)化進(jìn)行求解是比較麻煩的，以下用斯托克斯公式來(lái)計(jì)算。解答 設(shè)上圓的內(nèi)部區(qū)域?yàn)?法向量取向上。由斯托克斯公式： 易知指定側(cè)的單位法向量為所以 其中為的方向角。由第一、二類曲面積分的聯(lián)系，得其中為圓的面積。易知的半徑 從而 因此 方法小結(jié) 在計(jì)算空間曲線積分時(shí)，將其方程參數(shù)化后進(jìn)行求解是一種基本方法，

17、但一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算比較麻煩。而用斯托克斯公式來(lái)計(jì)算往往較簡(jiǎn)捷，但應(yīng)注意斯托克斯公式關(guān)于符號(hào)的規(guī)定。四、考研試題分析例21(2003年高數(shù)一)已知平面區(qū)域?yàn)榈恼蜻吔?，試證.分析一 等式的兩邊均為第二類曲線積分，可分別對(duì)兩邊直接積分，比較積分值，得結(jié)果。 證一 左邊 右邊 于是.分析二 對(duì)于第二類曲線積分，?？紤]用格林公式轉(zhuǎn)化為二重積分求解，由于被積函數(shù)在全平面上都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，故可利用格林公式進(jìn)行求證。證二由格林公式，由于關(guān)于對(duì)稱，故于是.例22(1993年高數(shù)一、二)設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且則等于.（A） （B） （C） （D）.答案 (B)分析 本題的關(guān)鍵在于由條件“

18、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)”導(dǎo)出所滿足的微分方程, 由此求出求的表達(dá)式。解答 設(shè) 由于 在全平面上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，因此即滿足方程 （1）由初始條件，得（1）的特解例23(2000年高數(shù)一)設(shè)為在第一卦限中的部分，則有.（A） （B）， （C）， （D）.答案 (C)分析一 本題可采用排除法進(jìn)行判別。由于(A), (B)兩個(gè)式子在形式上只是將換成了由和的表達(dá)式知，的地位完全相當(dāng)，因此(A), (B)兩式或全對(duì)或全錯(cuò)，由于這里只有一個(gè)對(duì)的答案，故(A), (B) 全錯(cuò)。又(D)式左端的被積函數(shù)在區(qū)域上的符號(hào)不同，因此積分值應(yīng)有所抵消，而右端的被積函數(shù)在上非負(fù)，故(D)式左端的值不可能

19、是在第一象限上積分的四倍，即(D)不可能成立。由此只能選擇(C)。分析二 本題也可通過(guò)計(jì)算進(jìn)行選擇，但這樣比較煩瑣。例24(1989年高數(shù)一、二)設(shè)平面曲線為下半圓周 則曲線積分分析一只要準(zhǔn)確地寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程，即可求出該積分。解一 的參數(shù)方程為故因此分析二本題若注意到在上變化時(shí)滿足 則立即可得結(jié)果。 解二 例25(2005年高數(shù)一)設(shè)是由錐面與半球面圍繞的空間區(qū)域，是的整個(gè)邊界的外側(cè)，則 答案 分析一 對(duì)第二類曲面積分，用高斯公式求解往往較為簡(jiǎn)捷，由于易知本題的積分區(qū)域以及被積函數(shù)滿足用高斯公式求解的條件，于是首先考慮采用高斯公式求解。解一因?yàn)槭堑恼麄€(gè)邊界的外側(cè)，根據(jù)高斯公式可得： 令可得

20、交線在平面上的投影區(qū)域?yàn)椋?于是 故 分析二 計(jì)算第二類曲面積分，在直角坐標(biāo)下采用投影法化為二重積分進(jìn)行計(jì)算是常用的基本方法，本題也可用此法計(jì)算，但計(jì)算量比較大。（解略）例26(1996年高數(shù)一、二)計(jì)算曲面積分其中是有向曲面 其法向量與軸正向的夾角為銳角。分析一由于被積函數(shù)在空間任意光滑封閉曲面所圍區(qū)域上滿足高斯公式條件，故采用添加有向曲面，利用高斯公式計(jì)算。這里應(yīng)注意在高斯公式中，曲面積分是沿著封閉曲面外側(cè)進(jìn)行的，因此本題沿著封閉曲面內(nèi)側(cè)的積分應(yīng)加負(fù)號(hào)。解一 記為法向量指向軸的負(fù)向的有向平面，為在平面上的投影區(qū)域，則 設(shè)為所圍成的空間區(qū)域，則由高斯公式知因此原式 分析二 對(duì)此第二類曲面積分

21、，可用“一投、二代、三投影”步驟求解。應(yīng)注意按照投影法確定符號(hào)。解二設(shè) 為在平面上的投影區(qū)域，則其中令則上式又所以例27(2003年高數(shù)一)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點(diǎn)為 終點(diǎn)為 記證明曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；當(dāng)時(shí)，求的值。分析一 由題設(shè)，第一問(wèn)可利用平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充要條件給予證明。在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)求原函數(shù)，并求原函數(shù)的改變量，求得的值。解一 （1）記，則，于是滿足：在時(shí)，且 所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，故存在原函數(shù)使得且：由于連續(xù)，所以存在，使得 于是所以原函數(shù)為取 得 于是分析二 在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，第二問(wèn)的值，可通過(guò)如下取積分路徑為折線路徑，分段化為定積分求得。解二 （2）由于曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取為從到的折線段，于是例28(2004