1、三函數(shù)與函數(shù)二一函數(shù)函數(shù). 函數(shù)和3 歐拉積分 在本節(jié)中我們將討論由含參量反常積 分定義的非初等函數(shù):函數(shù)之間的關(guān)系 一函數(shù) 含參量積分：稱為格馬函數(shù).函數(shù)可以寫成如下兩個積分之和： 其中時是正常積分,當(dāng)時是收斂 的無界函數(shù)反常積分(可用柯西判別法推得); 時是收斂的無窮限反常積分(也可用柯西 判別法推得). 所以含參量積分(1)在時收斂, 即函數(shù)的定義域為. 1. 在定義域內(nèi)連續(xù)且有任意階導(dǎo)數(shù)在任何閉區(qū)間上, 對于函數(shù)當(dāng) 時有由于收 斂, 從而在上也一致收斂,對于當(dāng) 上連續(xù).用上述相同的方法考察積分它在任何區(qū)間上一致收斂. 于是由定理 19.10得到在上可導(dǎo), 由a, b的任意性, 時, 有

2、由于在收斂,從而在上也一致收斂, 于是同理可證 2. 遞推公式 對下述積分應(yīng)用分部積分法, 有 在 上可導(dǎo), 且讓就得到的遞推公式:設(shè)應(yīng)用遞推公式(3) n次 可以得到 公式(3)還指出, 如果已知在上的值, 那么在其他范圍內(nèi)的函數(shù)值可由它計算出來. 若s為正整數(shù)n+1,則(4)式可寫成3. 函數(shù)圖象的討論對一切,恒大于0, 因此的圖形 位于軸上方, 且是向下凸的. 因為所以在上存在唯一的極小點故有由(5)式及在上嚴(yán)格增可推得在內(nèi)嚴(yán)格減;在內(nèi)嚴(yán)格增. 又由于綜上所述, 函數(shù)的圖象如圖19-2中部分所示.4. 延拓改寫遞推公式(3)為 當(dāng)時, (6)式右端有意義, 于是可應(yīng)用(6)式 來定義左端

3、函數(shù)在內(nèi)的值, 并且可推得這時用同樣的方法, 利用式又可定義 在 內(nèi)的值, 而且這時 依此下去可把延拓到整個數(shù)軸(除了 以外),其圖象如圖19-2所示. 已在內(nèi)有定義這一事實, 由(6)5. 的其他形式在應(yīng)用上, 也常以如下形式出現(xiàn), 如令 則有 令 就有二、B函數(shù)含參量積分： 稱為貝塔(Beta)函數(shù)(或?qū)懽骱瘮?shù)).注 與前討論的單參變量的含參數(shù)積分不同，函數(shù) 是含兩元的含參量積分，但討論的步驟與方法是完 全類似的. B函數(shù)(2)當(dāng)時, 是以為瑕點的無界函數(shù) 反常積分; 當(dāng)時, 是以為瑕點的無界函數(shù) 反常積分. 應(yīng)用柯西判別法可證得當(dāng)時這兩個無界函數(shù)反常積分都收斂. 所以函數(shù)的定義域為1.

4、在定義域內(nèi)連續(xù)由于對任何成立不等式而積分收斂, 故由M判別法知在上一致收斂. 因而推得在內(nèi)連續(xù). 2. 對稱性作變換得3. 遞推公式證 下面只證公式(8), 公式(9)可由對稱性及公式(8) 推得, 而最后一個公式則可由公式(8), (9)推得. 當(dāng) 時, 有移項并整理就得(8) .4. 的其他形式在應(yīng)用中函數(shù)也常常以如下形式出現(xiàn).如令 則有令 則有考察令 則有所以三、函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系 當(dāng)為正數(shù)時反復(fù)應(yīng)用函數(shù)的遞推公式可得 又由于所以即 對任何正實數(shù)p, q也有相同的關(guān)系: 這個關(guān)系式我們將在第二十一章8中加以證明.例1 求證證 令則再令則復(fù)習(xí)思考題1.若是定義在的函數(shù),試定義含參量積分的一致收斂性.2. 若是