1、無窮極數(shù)中的幾個典型反例一、正項(xiàng)級數(shù)中比值判別法和根值判別法的反例(1) 比值差別法：U土3級數(shù)疽n=1級數(shù)疽n=1u 發(fā)散，但極限lim 土并不存在n T3 Un因?yàn)榧墧?shù)2=發(fā)散而級數(shù)芝 坪1收斂。所以級數(shù)、2 十：11發(fā)散。n=1n=1n=1而.=，2 + ( 1)n +1是擺動數(shù)列U 2 + 而.=，2 + ( 1)n +1是擺動數(shù)列U 2 + ( 1)n nn T8 Un T8 1時收斂;,PnnF Un=1np 1時,發(fā)散。(2) 根值判別法：272 + (-1)nn例2： 2 -一n=1 L-級數(shù)習(xí)業(yè)廠收斂，, n = 1級數(shù)習(xí)業(yè)廠收斂，, n = 1ns=limnT3靈 + (1

2、)n并不存在。八72 + 1n)n (2 M $(很 + 1Y0 -一- - I而2 蘭I收斂(公比小于1的等比級數(shù))。-I Vn=1 V)由比較判別法，n = 12 V由比較判別法，n = 12 V2 + (-1)n3n收斂。但V2 + ( 1)n是擺動數(shù)列。故 lim 尋 =limnsn T32 + (1)n不存在。注:在正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別中，比值判別法和根值判別法使用起來非常方便,但是它成立的 條件是充分而非必要的。、交錯級數(shù)中使用萊布尼茲差別法的反例在交錯級數(shù)的斂散性判別中，萊布尼茲判別法使用起來非常方便，但是有些情況下的交錯級 數(shù)不滿足條件。1u =，n 3 + (-1)n顯而易見

3、滿足limu- 0，而不滿足。u產(chǎn)+ (n = 1,2,)，但作為任意項(xiàng)級數(shù) n s_(-1)nu n n + (-1)n=(-1)_(-1)nu n n + (-1)n=(-1)n 1n -1 n -1收斂，而級數(shù)上 發(fā)散知，級數(shù)井，(-1)n 發(fā)散。 n=2 + (-1)n例4： (-1) nn=例4： (-1) nn=2n + (-1) n井(-1) nn=21(-1)n (n - (-1)n )(-1)nnn + (-1) n 一,.一、,.、,(-1)n n 根據(jù)萊布尼茲判別法易知交錯級數(shù)-n 2 -1n=2收斂，而占收斂，所以原級數(shù)n=2 (-1) 土是收斂的。n=2注：例3與例4

4、都是不滿足|七 |七|的情況，不能使用萊布尼茲判別法直接判定。三、冪級數(shù)中的反例Xn的收斂半徑R豐Xn的收斂半徑R豐0，那么一定有n=0limnsan+1limnsan+1an二L=1/R，這是不對的，因?yàn)橛锌赡躭immsan+1an不存在。例5：求冪級數(shù)當(dāng)攔nxn的收斂半徑2 nn=1同例1,可知limnT8an+1an寸 2 + (-1) n予不存在，而 X同例1,可知limnT8an+1an寸 2 + (-1) n予不存在，而 Xn = 2 nn =1n=1Xn + Oh Xn 2n-12n，顯然 1_ (-1) n 2 + (-1) n乙Xn與Xn的收斂半徑均為2,所以，冪級數(shù)乙Xn的

5、收斂半徑R=2。2nn = 12 n-1 n=12nn = 1泰勒級數(shù)中的反例只要一個函數(shù)在某點(diǎn)處存在任意階導(dǎo)數(shù),在此點(diǎn)處的泰勒級數(shù)一定存在，但泰勒級數(shù)作為冪 級數(shù)，它在收斂域內(nèi)是否收斂于函數(shù)本身？四、例6：討論f (x)= 旎X * 0 在點(diǎn)x = 0處的泰勒級數(shù)是否在收斂域內(nèi)收斂于函數(shù)f (x) 0, X = 0本身?？梢宰C明f (x)在x = 0點(diǎn)任意階可導(dǎo)，且f(n)(0) = = 0 ( n = 0, 1, 2,).f (x)在點(diǎn)乂 =該級數(shù)在(-8,可見，除x = 0外,0處的泰勒級數(shù)為工0 X Xn ,n=0+ 8)內(nèi)的和函數(shù)s (x) = 0.f (x)在點(diǎn)x = 0處的泰勒級

6、數(shù)處處不收斂于f (x).另外一個例子是高數(shù)課本中的例子例7：冪級數(shù) ,”,n(n +1)n = 1別是-1, 1 , - 1,Xn+1,工Xn它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域分n=0 -1, 1).n=11)五、任意項(xiàng)級數(shù)中的反例例8：(2000年考研題)設(shè)級數(shù) un = 1例8：(2000年考研題)設(shè)級數(shù) un = 1是收斂，則必收斂的級數(shù)為(A)工(-1)nU n n=1(B)工 u 2 (C)nn = 1工(u2n1 -u2n)(D)工(un = 1n = 1u )n+1解解應(yīng)用級數(shù)的性質(zhì)，收斂級數(shù) un = 1與 u逐項(xiàng)相加后的級數(shù)仍收斂，故(D)成立.其n +1它3種情況不成立

7、列舉反例如下:U(1)n，則 E (-1)-是收斂的，而 E (-1) 匕=E 1 是發(fā)散的;n ln nIn nn n In n TOC o 1-5 h z n=1n=1n=1U = (-1)nL，則E (-1)n 是收斂的，而E U 2= E -是發(fā)散的；n七nnn nn=1n=1n=1U =-(-1)n-11，則 E-(-1)n 1 是收斂的，而 E (u- U )= E 是nnn2 n-12 n2n(2 n -1) HYPERLINK l bookmark126 o Current Document n=1n=1n=1發(fā)散的.參考文獻(xiàn)1 :劉紅衛(wèi)，于力.關(guān)于無窮多個無窮小的乘積的注記J1高等數(shù)學(xué)研究，2002, 5 (3