1、2 輸入-輸出模型與傳遞函數(shù)什么是系統(tǒng)? 自然界中,任何實(shí)體都存在于一個(gè)特定環(huán)境中。實(shí)體和環(huán)境關(guān)系包含兩方面：環(huán)境對(duì)實(shí)體作用與實(shí)體對(duì)環(huán)境反作用。以下圖所表示。 表示環(huán)境對(duì)實(shí)體輸入， 表示實(shí)體對(duì)環(huán)境輸出。實(shí)體及 和 就構(gòu)成了一個(gè)系統(tǒng)。2.1 線性系統(tǒng)輸入輸出微分方程第1頁(yè)第1頁(yè)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 描述系統(tǒng)輸入與輸出之間改變關(guān)系式子。對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型普通用一個(gè)線性常系數(shù)微分方程來表示。左圖 所表示為一機(jī)械系統(tǒng)示意圖。此系統(tǒng)由彈簧、質(zhì)量和阻尼器構(gòu)成。系統(tǒng)輸入量為外力 ，輸出量為質(zhì)量位移 。 由牛頓定律， ，其中 為質(zhì)量； 為位移加速度； 為作用于 上力，包括外力 、彈簧恢復(fù)力 , 和與速度 成

2、正比阻力 。由此得出 與 所滿足微分方程為：顯然它是一個(gè)常系數(shù)微分方程。第2頁(yè)第2頁(yè)此后我們所研究系統(tǒng)，通常都可用下列一個(gè)線性常微分方程來描述：其中第3頁(yè)第3頁(yè)線性系統(tǒng)及其特性 線性系統(tǒng)滿足疊加原理。疊加原理有兩重含義：可加性與齊次性。齊次性可加性第4頁(yè)第4頁(yè)疊加原理表明：兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)所產(chǎn)生總輸出，等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用時(shí)分別產(chǎn)生輸出之和（可加性），且外作用數(shù)值增大若干倍時(shí)，其輸出亦相應(yīng)增大同樣倍數(shù)。（齊次性） 因此，對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時(shí)，假如有幾種外作用同時(shí)加于系統(tǒng)，則能夠?qū)⑺鼈兎謩e處理，依次求出各個(gè)外作用單獨(dú)加入時(shí)系統(tǒng)輸出，然后將它們疊加。另外，每個(gè)外作用在數(shù)值上可只取單位

3、值，從而大大簡(jiǎn)化了線性系統(tǒng)研究工作。第5頁(yè)第5頁(yè)2.2 線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)與卷積定理對(duì)線性系統(tǒng)輸入輸出方程兩邊求拉氏變換得：其中：（1）第6頁(yè)第6頁(yè)簡(jiǎn)記（1）式為： 和 都是由初值所擬定。由于這些初始值有很大隨意性，與系統(tǒng)本性無關(guān)，因此可令它們?nèi)珵榱?，即因此在零初始條件下， 與 之間滿足其中稱 為系統(tǒng)（1）傳遞函數(shù)由傳遞函數(shù)定義可知，微分方程和其傳遞函數(shù)是一一相應(yīng)，并且從其中任一形式能以便地寫出另一形式。第7頁(yè)第7頁(yè)例1寫出 傳遞函數(shù)。 寫出 相應(yīng)微分方程。 1)2)解:1)兩邊取拉氏變換,并利用零初始條件得:得2)第8頁(yè)第8頁(yè)由于 L -1 =1肪沖響應(yīng)在零初始條件下,線性系統(tǒng)對(duì)單位脈沖輸入信

4、號(hào)輸出響應(yīng),稱為該系統(tǒng)肪沖響應(yīng).這表明,傳遞函數(shù)拉氏逆變換即為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)(用 表示).即:L -1 線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)與其脈沖響應(yīng)就系統(tǒng)外部動(dòng)態(tài)特性來說,它們包括信息是相同.反應(yīng)在時(shí)間域上,就是:卷積定理在零初始條件下,系統(tǒng)任一輸入 與相應(yīng)輸出 之間有下列關(guān)系:由拉氏變換卷積公式很容易得到這個(gè)結(jié)果.(2)詳細(xì)使用(2)式時(shí),必須注意是否滿足零初始條件這一前提。其中 零初始條件可認(rèn)為成立（系統(tǒng)從靜止?fàn)顟B(tài)開始）；而 是一給定信號(hào)，不一定滿足 但m=1時(shí)，（1）式解與 初值無關(guān)，不然，必須有上述 初值為零作為(2)式成立確保。第9頁(yè)第9頁(yè)階躍響應(yīng)即系統(tǒng)(1)由靜止開始,由單位價(jià)躍輸入相相應(yīng)輸出響應(yīng)，

5、記為由于 L -1 =1/s當(dāng)系統(tǒng)（1）中m=1,有：或故得：（3）若以 直接代入卷積公式（2），得：（4）（3）、（4）即為脈沖響應(yīng)與階躍響應(yīng)間關(guān)系式。假如因 ，上述關(guān)系普通不成立。由（2）知，知道了 ,則系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為特性就清楚了。但對(duì)于諸多慣性大而靈敏度小系統(tǒng)，直接進(jìn)行脈沖響應(yīng)測(cè)試是較困難。這時(shí)可改而進(jìn)行階躍響應(yīng)測(cè)試。由于階躍輸入作用是持久存在，因此較易得到 。然后利用關(guān)系式(3),就可間接得到第10頁(yè)第10頁(yè)Example設(shè)一系統(tǒng)輸入輸出微分方程為1） 求其脈沖響應(yīng) ;2） 當(dāng) 時(shí)，求與之相應(yīng)輸出 。解 1) 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：因此L -1 L -1 =第11頁(yè)第11頁(yè)2）由于 卷積定理?xiàng)l

6、件滿足。在假設(shè)下，得：如何求本例階躍響應(yīng)？第12頁(yè)第12頁(yè)因此無法用卷積公式。在兩側(cè)取拉氏變換得：在 假設(shè)下，并將 代入，上式變?yōu)?L -1 = L -1 第13頁(yè)第13頁(yè)2.3 組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)一個(gè)系統(tǒng)往往由兩個(gè)或兩個(gè)以上子系統(tǒng)按某種方式連接而成，稱之為組合系統(tǒng)。組合方式有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種連接方式。串聯(lián)組合設(shè)兩個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)分別為如圖所表示, 子系統(tǒng) 和 串聯(lián)連接。子系統(tǒng) 輸出 作為子系統(tǒng) 輸入;子系統(tǒng) 輸入 和子系統(tǒng) 輸出 分別是整個(gè)組合系統(tǒng)輸入和輸出。虛線框內(nèi)是串聯(lián)組合系統(tǒng).第14頁(yè)第14頁(yè)由于因此，組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)為普通地，如圖所表示由 個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)而成組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)為第15頁(yè)第15頁(yè)并聯(lián)組合圖示為一并聯(lián)組合系統(tǒng)。 同時(shí)輸入作用于 和 ,分別得輸出響應(yīng) 和 。它們和 為組合系統(tǒng)輸出。由于因此即并聯(lián)組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)為普通地，由 個(gè)子系統(tǒng) 并聯(lián)構(gòu)成組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：第16頁(yè)第16頁(yè)反饋組合如圖為反饋組合。 為前向子系統(tǒng)， 為反饋?zhàn)酉到y(tǒng)。由于得因此（負(fù)）反饋組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：第17頁(yè)第17頁(yè)