1、控制工程基礎(chǔ)主講教師：韓錕Tel：82655345（O）Email:QQ：1297548665第1頁(yè)第1頁(yè)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第三章第2頁(yè)第2頁(yè)控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)普通環(huán)節(jié)：第三章第四章第六章擬定模型結(jié)構(gòu)擬定模型參數(shù)目的提出定性因果分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析與預(yù)測(cè)目的實(shí)現(xiàn)決議與最優(yōu)策略設(shè)計(jì)模型建立系統(tǒng)分析結(jié)識(shí)世界系統(tǒng)綜合改造世界第3頁(yè)第3頁(yè)一、概述二、控制系統(tǒng)時(shí)域模型三、控制系統(tǒng)復(fù)域模型控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第4頁(yè)第4頁(yè)一、概述 描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性數(shù)學(xué)方程，用來(lái)表示一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部各部分之間、或系統(tǒng)與外部環(huán)境之間關(guān)系。控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型基本概念 事實(shí)上，它是由系統(tǒng)輸入、輸出變量及系統(tǒng)參數(shù)構(gòu)成數(shù)學(xué)關(guān)系式，是描述系統(tǒng)、分析系統(tǒng)

2、、控制系統(tǒng)工具。第5頁(yè)第5頁(yè)建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型辦法機(jī)理分析法：依據(jù)對(duì)客觀事物特性結(jié)識(shí)，找出反應(yīng)內(nèi)部機(jī)理數(shù)量規(guī)律 建模辦法測(cè)試分析法：將對(duì)象看作“黑箱”，通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好模型基本辦法第6頁(yè)第6頁(yè)建模注意事項(xiàng)建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，要從系統(tǒng)本身特點(diǎn)出發(fā)，不同性質(zhì)系統(tǒng)，其建模過(guò)程有所不同；建模必須從系統(tǒng)所屬學(xué)科理論和基本規(guī)律出發(fā)，在理論指導(dǎo)下建立；建立模型時(shí)，應(yīng)明確模型工作條件，在工作條件允許情況下進(jìn)行必要簡(jiǎn)化和假設(shè)，在滿(mǎn)足使用要求前提下使模型盡也許簡(jiǎn)樸。第7頁(yè)第7頁(yè)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型形式幾種基本概念 連續(xù)時(shí)間函數(shù)連續(xù)時(shí)間函數(shù)： 若函數(shù)x(t)自變量 t 在時(shí)間軸上連續(xù)取值，稱(chēng)x

3、(t)為連續(xù)時(shí)間函數(shù)。第8頁(yè)第8頁(yè) 離散時(shí)間函數(shù)t=0t=1t=2時(shí)間1月2月3月產(chǎn)量Y(t)1.521.8例：某電視機(jī)廠(chǎng)生產(chǎn)電視機(jī)月統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)下列表：01.5Y(t)21.8t12離散時(shí)間函數(shù)：若函數(shù)x(t)自變量 t 僅在時(shí)間軸離散點(diǎn)上取值，則稱(chēng)x(t)為離散時(shí)間函數(shù)。第9頁(yè)第9頁(yè) 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：若系統(tǒng)輸入輸出都是連續(xù)時(shí)間函數(shù)，且在其內(nèi)部也未轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間函數(shù)，則稱(chēng)此系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)：若系統(tǒng)輸入輸出都是離散時(shí)間函數(shù)，則稱(chēng)此系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)。第10頁(yè)第10頁(yè) 時(shí)域、復(fù)域、頻域自變量是時(shí)間時(shí)域（時(shí)間域）自變量是復(fù)變量復(fù)域（復(fù)數(shù)域）自變量是頻率頻域（頻率

4、域）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)拉氏變換離散時(shí)間系統(tǒng)Z變換第11頁(yè)第11頁(yè)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型形式 概述在自然科學(xué)以及工程、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、體育、生物、社會(huì)等學(xué)科中許多系統(tǒng)，有時(shí)很難找到該系統(tǒng)相關(guān)變量之間直接關(guān)系函數(shù)表示式，但卻容易找到這些變量和它們微小增量或改變率之間關(guān)系式，這時(shí)往往采用微分或差分關(guān)系式來(lái)描述該系統(tǒng)即建立微分或差分方程模型；連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型可用微分方程來(lái)描述；離散時(shí)間系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型可用差分方程來(lái)描述。第12頁(yè)第12頁(yè)數(shù)學(xué)模型形式復(fù)數(shù)域頻率域時(shí)間域頻率特性狀態(tài)方程差分方程微分方程傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)拉氏變換 拉氏反變換Z變換 Z反變換 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型詳細(xì)形式第13頁(yè)第13頁(yè)二、控制系統(tǒng)時(shí)域數(shù)學(xué)模型

5、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)微分方程模型自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域 建模依據(jù)機(jī)械系統(tǒng)電氣系統(tǒng) 建?；A(chǔ)：牛頓運(yùn)動(dòng)定律、胡克定律、能量守恒定理 建?；A(chǔ)：歐姆定理、基爾霍夫定律第14頁(yè)第14頁(yè) 建模環(huán)節(jié) 依據(jù)元件工作原理和在系統(tǒng)中作用，擬定各環(huán)節(jié)輸入量和輸出量，并依據(jù)需要引進(jìn)一些中間變量。 右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排。劃分環(huán)節(jié)寫(xiě)出每一環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系式消去中間變量寫(xiě)成原則形式擬定系統(tǒng)輸入輸出量第15頁(yè)第15頁(yè) 舉例（第一組） 機(jī)械系統(tǒng) 闡明：機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧、阻尼三個(gè)要素！質(zhì)量 M彈簧 K阻尼 B第16頁(yè)第16頁(yè)例1：機(jī)械平移系統(tǒng)：列寫(xiě)質(zhì)量 m在外力F 作用下產(chǎn)生位移 y

6、運(yùn)動(dòng)方程。Fkyy！以外力作用前靜止（平衡）點(diǎn)作為位移零點(diǎn)，以消除重力影響。證實(shí)：在外力作用前平衡狀態(tài)，設(shè)彈簧和阻尼拉伸量為y1，為常數(shù)，此時(shí)有 外力作用后，設(shè)彈簧和阻尼拉伸量為y2，（2）-（1），有0第17頁(yè)第17頁(yè)證實(shí)（續(xù)）：如以外力作用前平衡點(diǎn)作為位移零點(diǎn)，則y1y2y位移零點(diǎn)彈力零點(diǎn)外力作用后位移點(diǎn)依據(jù)微分性質(zhì)，有又由于y1，為常數(shù)，故將（4）、（5）、（6）式代入（3），整理后，得以外力作用前靜止（平衡）點(diǎn)作為位移零點(diǎn)，能夠消除重力影響。第18頁(yè)第18頁(yè)Fkyy依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有：微分算子第19頁(yè)第19頁(yè) 電氣系統(tǒng)闡明：電氣系統(tǒng)三元件：電阻、電容、電感電阻 R電容 C電感 L第2

7、0頁(yè)第20頁(yè)例2：RLC電路：列寫(xiě)以u(píng)r(t)為輸入量，uc(t)為輸出量網(wǎng)絡(luò)微分方程。RLCi(t)ur(t)uc(t)擬定系統(tǒng)輸入輸出量：輸入ur(t)，輸出uc(t)引入中間變量：中間變量：i(t)依據(jù)基爾霍夫電路定律，列寫(xiě)微分方程：第21頁(yè)第21頁(yè)消去中間變量：寫(xiě)成原則形式：相似！思考：該電路微分方程與上例機(jī)械平移系統(tǒng)異同。第22頁(yè)第22頁(yè) 從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理性質(zhì)不同系統(tǒng)其輸出相同（相同系統(tǒng)）。相同系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)M基礎(chǔ)。 通常，系統(tǒng)微分方程階次等于系統(tǒng)中包括獨(dú)立儲(chǔ)能元件，如慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等個(gè)數(shù)，由于每增長(zhǎng)一個(gè)獨(dú)

8、立儲(chǔ)能元件，系統(tǒng)內(nèi)部就多一層能量（信息）互換。 物理本質(zhì)不同系統(tǒng)，能夠有相同數(shù)學(xué)模型，從而能夠拋開(kāi)系統(tǒng)物理屬性，用同一方法進(jìn)行含有普遍意義分析研究（信息方法）； 小結(jié)：第23頁(yè)第23頁(yè) 舉例（第二組） 自然科學(xué)領(lǐng)域物理學(xué)中單擺例3：建立單擺自由運(yùn)動(dòng)方程mglmv擬定系統(tǒng)輸入輸出量：輸入：無(wú)輸出：角度劃分環(huán)節(jié)，引入中間變量：環(huán)節(jié)1：?jiǎn)螖[第24頁(yè)第24頁(yè)單擺運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型列寫(xiě)各環(huán)節(jié)運(yùn)動(dòng)方程：依據(jù)牛頓第二定律：寫(xiě)成原則形式：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型單擺運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型第25頁(yè)第25頁(yè) 工程技術(shù)領(lǐng)域倒立擺倒立擺系統(tǒng) 該系統(tǒng)由小車(chē)和安裝在小車(chē)上倒立擺構(gòu)成。倒立擺是不穩(wěn)定，假如沒(méi)有適當(dāng)控制力作用到它上面，它將隨時(shí)也許向

9、任何方向傾倒。這里我們只考慮二維問(wèn)題，即認(rèn)為倒立擺只在圖所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。 若有適當(dāng)控制力u作用于小車(chē)上可使擺桿維持直立不倒。這實(shí)際是一個(gè)空間起飛助推器姿態(tài)控制模型(姿態(tài)控制問(wèn)題目的是要把空間助推器保持在垂直位置)。第26頁(yè)第26頁(yè)例4：直線(xiàn)一級(jí)倒立擺系統(tǒng) 控制器依據(jù)偏差決議抱負(fù)擺角電機(jī)小車(chē)擺桿系統(tǒng)實(shí)際擺角角位移傳感器偏差決議F結(jié)論： 需建立小車(chē)擺桿系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，找到擺角和外力F之間關(guān)系！第27頁(yè)第27頁(yè) 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將該系統(tǒng)抽象為小車(chē)和勻質(zhì)桿組成系統(tǒng)，以下圖：M 小車(chē)質(zhì)量m 擺桿質(zhì)量b 小車(chē)與導(dǎo)軌摩擦系數(shù)l 擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸長(zhǎng)度I 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量F 加在小車(chē)上力x 小車(chē)位置

10、擺桿與垂直向上方向夾角第28頁(yè)第28頁(yè)劃分環(huán)節(jié)，引入中間變量：環(huán)節(jié)1：小車(chē)環(huán)節(jié)2：擺桿擬定系統(tǒng)輸入輸出量：輸入：控制力F輸出：角度中間變量：小車(chē)位置x列寫(xiě)各環(huán)節(jié)運(yùn)動(dòng)方程：擬定系統(tǒng)輸入輸出量：輸入：控制力F輸出：角度第29頁(yè)第29頁(yè)1）分析小車(chē)水平方向所受合力，有：第30頁(yè)第30頁(yè)2）分析擺桿水平方向所受合力，有：第31頁(yè)第31頁(yè)3）代(3)入(1)，得到系統(tǒng)第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：4）分析擺桿垂直方向合力，有：第32頁(yè)第32頁(yè)4）擺桿對(duì)質(zhì)心力矩平衡方程：5）從(3)、(6)、(7)中消去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：第33頁(yè)第33頁(yè)6）綜上，系統(tǒng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程為：第34頁(yè)第34頁(yè) 非線(xiàn)性模型線(xiàn)性化非線(xiàn)性模

11、型線(xiàn)性化基本辦法基本思想基本假設(shè)數(shù)學(xué)工具 連續(xù)改變非線(xiàn)性特性函數(shù)線(xiàn)性化，可用切線(xiàn)法（或小偏差法），其實(shí)質(zhì)是在一個(gè)很小范圍內(nèi)，將非線(xiàn)性特性用一段直線(xiàn)來(lái)代替。 在控制系統(tǒng)整個(gè)調(diào)整過(guò)程中，所有變量與穩(wěn)態(tài)值之間只會(huì)產(chǎn)生足夠微小偏差。泰勒級(jí)數(shù)第35頁(yè)第35頁(yè)單變量非線(xiàn)性函數(shù)在平衡點(diǎn)附近線(xiàn)性化辦法 設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)可微，則將它在該點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，得 當(dāng)增量 很小時(shí)，略去級(jí)數(shù)中含有其高次冪項(xiàng)，并將上式各邊均減去 ，即 ，得第36頁(yè)第36頁(yè) 將參考坐標(biāo)原點(diǎn)移到系統(tǒng)或元件平衡工作點(diǎn)上，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)起始點(diǎn)，這時(shí)，系統(tǒng)所有初始條件均為零。增量方程數(shù)學(xué)含義：線(xiàn)性化模型，又稱(chēng)增量

12、方程第37頁(yè)第37頁(yè)非線(xiàn)性函數(shù)線(xiàn)性化關(guān)鍵擬定系統(tǒng)平衡工作點(diǎn)！單擺自由運(yùn)動(dòng)方程線(xiàn)性化系統(tǒng)平衡工作點(diǎn)為（0,0）單擺運(yùn)動(dòng)線(xiàn)性化方程第38頁(yè)第38頁(yè)倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程線(xiàn)性化：系統(tǒng)平衡工作點(diǎn)（F0, 0）為（0,0）在平衡工作點(diǎn)處非線(xiàn)性項(xiàng) 線(xiàn)性化為：第39頁(yè)第39頁(yè)在平衡工作點(diǎn)處非線(xiàn)性項(xiàng) 線(xiàn)性化為：在平衡工作點(diǎn)處非線(xiàn)性項(xiàng) 線(xiàn)性化為：倒立擺系統(tǒng)線(xiàn)性化模型為：第40頁(yè)第40頁(yè)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等大系統(tǒng)領(lǐng)域模擬近似法：在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科實(shí)際問(wèn)題中，許多現(xiàn)象規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜，慣用模擬近似方法來(lái)建立微分方程模型。建模時(shí)在不同假設(shè)下去模擬實(shí)際現(xiàn)象，這個(gè)過(guò)程是近似，用模擬近似法所建立微分方程從數(shù)學(xué)上

13、去求解或分析解性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，看這個(gè)微分方程模型能否刻劃、模擬、近似一些實(shí)際現(xiàn)象。 建模辦法用模擬近似法時(shí)必須檢查所求得解是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，不然就得找出不相符主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。 第41頁(yè)第41頁(yè) 舉例 經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域馬爾薩斯（Malthus）人口預(yù)測(cè)模型背景資料：英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯（17661834）在擔(dān)任牧師期間，查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料,發(fā)覺(jué)人口出生率是一個(gè)常數(shù)，于1789年在人口原理一書(shū)中提出了聞名于世馬爾薩斯人口模型?；炯僭O(shè)：在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中，凈增長(zhǎng)率（出生率與死亡率之差）是常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與人口成正比

14、，百分比系數(shù)設(shè)為r。第42頁(yè)第42頁(yè)問(wèn)題描述：在上述假設(shè)下，推導(dǎo)并求解人口隨時(shí)間改變數(shù)學(xué)模型。 分析與建模： 設(shè)t時(shí)刻人口數(shù)為N(t)，t = t0時(shí)，N(t0)= N0 ，則依據(jù)馬爾薩斯假設(shè)，在 t 到 t 時(shí)間段內(nèi)，人口增長(zhǎng)量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量 t時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量第43頁(yè)第43頁(yè)普通情況下， t 很小，人口總數(shù)N(t)很大，故可將N(t)當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理（離散變量連續(xù)化）。Malthus人口模型第44頁(yè)第44頁(yè) 模型求解：采用可分離變量法求解：兩邊積分，得：第45頁(yè)第45頁(yè) 模型檢查：統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：據(jù)預(yù)計(jì)1961年地球上人口總數(shù)為3.06109，而在以后7年中，人口總數(shù)以每年2%速度增長(zhǎng)，人口數(shù)大約每35年增長(zhǎng)一倍。模型檢查：令人口數(shù)量翻一番所需時(shí)間為T(mén)，則有： t0 = 1961，N0 = 3.06109，r = 0.02計(jì)算參數(shù)：第46頁(yè)第46頁(yè) 馬爾薩斯模型一個(gè)明顯特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需時(shí)間是固定。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：據(jù)預(yù)計(jì)1961年地球上人口總數(shù)為3.06109，而在以后7年中，人口總數(shù)以每年2%速度增長(zhǎng)，人口數(shù)大約每35年增長(zhǎng)一倍?；疚呛系?7頁(yè)