1、數(shù)學(xué)思維方法的實踐樣態(tài)摘要：學(xué)校應(yīng)倡導(dǎo)思維導(dǎo)向的通識教育，強調(diào)超越知識點的教育，彰顯數(shù)學(xué)的價值。教師如何 在數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,很大程度上取決于數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思維方法。 從思維與數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵特質(zhì)，幾種重要的思維方法樣態(tài)和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的樣態(tài)，可以分析數(shù)學(xué) 思維方法教學(xué)對促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)的作用與方法。關(guān)鍵詞：思維；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)思維方法；數(shù)學(xué)思維品質(zhì)思維是具有意識的人腦對客觀事物的本質(zhì)屬性 和內(nèi)部規(guī)律性的概括和間接反映。數(shù)學(xué)思維是以數(shù) 和形為對象，以數(shù)學(xué)語言和符號為載體，并以認識和 發(fā)展數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維氣數(shù)學(xué)思維的特征 主要是概括性、問題

2、性和相似性。數(shù)學(xué)思維可以按如 下分類：數(shù)學(xué)思維方式按照思維活動的形式可以分為邏 輯思維、形象思維和直覺（頓悟）思維三種；數(shù)學(xué)思維 方式按照思維指向可以分成集中思維（系統(tǒng)或者聚 合）和發(fā)散思維兩類；數(shù)學(xué)思維方式按照智力品質(zhì)可 以分成再現(xiàn)性思維（反思）和創(chuàng)造性思維兩類。數(shù)學(xué)的思維方法（也是數(shù)學(xué)思維形成的方法）包 括觀察、實驗、比較、分類、分析、綜合、概括、類比、歸 納、演繹、聯(lián)想、猜想、一般化、特殊化等。-、觀察與實驗觀察與實驗法是以感知為基礎(chǔ)，是人們根據(jù)一 定的研究目的，運用一定的物質(zhì)手段，在人為地控制 或模擬自然現(xiàn)象的條件下，使自然過程或生產(chǎn)過程 以純粹的、典型的形式表現(xiàn)出來，暴露它們在天然條

3、 件下無法暴露的特征，以便進行觀察、研究、探索自 然界的本質(zhì)及其規(guī)律的一種研究方法。觀察與實驗法 能夠促進學(xué)生形象思維、邏輯思維、創(chuàng)造思維的發(fā)展。例如，觀察與實驗1：如圖1,設(shè)所剪出的紙片三 角形為ABC，剪下#!和#，把它們和#拼在一起，可以得出怎樣的實驗結(jié)果？觀察實驗2：先將紙片三角形一角折向?qū)叄?頂點落在對邊上，折線與對邊平行%圖2），然后把 另外兩角相向?qū)φ?，使其頂點與已折角的頂點重合 （圖2），最后得圖2,觀察猜想可得怎樣的實驗結(jié)圖2二、一般與特殊（-）一般化一般化也稱普遍化，它是一種數(shù)學(xué)思維方法。波 利亞說：“普遍化就是考慮一個對象過渡到考慮包含 該對象的一個集合；或者從考慮一

4、個較小的集合到 考慮一個包含該較小集合的更大的集合。*例如，設(shè)/（%） = 1一，利用課本中推導(dǎo)等差2+ $2數(shù)列前&項和的公式的方法，可求得汽-5）折-4）+ + +f（0）+ + +$（6）的值為等差數(shù)列的求和方法為倒序相加法，如果逐一去配對比較麻煩，所以我們可以先找到 一般規(guī)律，即/()和/法，如果逐一去配對比較麻煩，所以我們可以先找到 一般規(guī)律，即/()和/(1)的關(guān)系。1-廠(1,故可12 +! 2由倒序相加法得到：$=A-5)+A-4)+A0)+(+A6)5(A6)+!(5)+(+A1)+(+A-5)#2&( 12,所以/(-5)+/(-4)+(+/(0)+(+/(6)(6(二)特

5、殊化與一般化的思維方法相反，特殊化是從原思維 對象所在的范圍轉(zhuǎn)化為比它小的，且被它所包含的 范圍內(nèi)進行思維的方法希爾伯特說：“在討論數(shù)學(xué) 問題時，我相信特殊化比一般化起著更重要的作用, 這種方法是克服困難最重要的杠桿之一 ”例如，已知定義域為R的函數(shù)f() (二是奇2 +a函數(shù)，求a,b的值。特殊化：由于定義在R上的奇函數(shù)，首先想到特 殊值!)0)(0,故可得到b ( l。根據(jù)奇函數(shù)的定義/(-) (-f(x),特別的有-1)(/)1),解得a=2o一般化和特殊化的數(shù)學(xué)思維方法教學(xué)可以促進 學(xué)生直覺思維、邏輯思維、聚合思維、創(chuàng)造思維的發(fā) 展。三、分析與綜合分析與綜合有各種不同的含義和形式。這種

6、數(shù) 學(xué)思維方法教學(xué)可以促進學(xué)生直覺思維、邏輯思維、 聚合思維、創(chuàng)造思維的發(fā)展。(一)分析法從要證明的結(jié)論出發(fā),并逐步尋找讓它成立的 充分條件，直到所需要的條件為已知條件或者是一 個很明顯成立的事實,從而使得命題成立的方法稱 之為分析法。例如，【2019年新課標(biāo)1理科23】已知a,b,c為正 數(shù)，且滿足abc=lo證明：(l )+ +a +b +c ； abc證明：(l)采用分析法：已知a,b,c為正數(shù),且滿 足abc=l %!2 2 2要證(l)一+一+ a +b +c ；因為abc=l,abcabc abc abc 2 2 2 就要證：+ a +b +c ； abc即I證：bc+ac+ab

7、a +b +c ；即 & 2bc+2ac+2ab 2( +2 +2c ；2( +2b +2c -2bc-2ac-2ab #0(a-b) +(a-c) +(b-c) #0； 因為a,b ,c為正數(shù)，且滿足abc = 1 %所以(a-b) #0； (a-c) #0； (b-c) #0恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)：a=b=c = 1時取等號.即(a-b) +(a-c) +(b-2!22 2c ) #0得證 故一+ a +b +c 得證abc使用分析法應(yīng)注意：每一步追溯的條件都是能夠讓結(jié)論成立的充 分條件%由要證明的結(jié)論出發(fā)，需要從多種角度去追尋，因此逆推的途徑不唯一，在逆推的過程中需要聯(lián)系已知條件去進行合理的猜

8、想，找尋最佳的途徑必須按照分析法的做題格式嚴格書寫，必要 的文字切記不能省略(二)綜合法從已知的條件出發(fā)，利用到定義、定理、公理、性 質(zhì)等，需要經(jīng)過一系列的邏輯推理和論證，從而能夠 推演出成立命題的方法稱之為綜合法例如，【2020年全國3卷理科23】設(shè)a,b ,c $ R,a+b+c=0,abc = 1 % 證明:ab+bc+ca0；2222解：因為(a+b+c) (a +b +c +2ab +2ac +2bc=0,所以ab+bc+ca=(a +b +c )。2因為abc = l,所以a,b,c均不為0,則a +b +c0,所以ab+bc+ca= (a +b +c )0；分析法顯著的特點就是：

9、從“未知”看“需知”，再 逐步向“已知”靠攏,事實上就是要尋找讓它成立的 充分條件。而綜合法的顯著的特點是：從“已知”看 “可知”，再逐步推向“未知”，事實上就是要尋找讓它 成立的必要條件從其中的解題的思路來看,分析法 是一種執(zhí)果索因，經(jīng)常要尋根揭底，比較容易成功； 而綜合法是一種由因?qū)Ч际枪?jié)外生枝的，不 容易達到目的。但是從表達的形式看，分析法的敘述 比較的煩瑣，而綜合法的敘述形式簡單，條理清晰。 因此，分析法有利于思考，綜合法有利于如何表達， 在解決實際的問題時，應(yīng)該要把分析法與綜合法相 互結(jié)合起來使用，首先利用分析法去思考問題，然后 再想著用綜合法去表述問題的解題步驟。四、猜想與

10、證明猜想，是指由直覺或某些數(shù)學(xué)事實推測某個判 斷或命題是否成立的一種創(chuàng)造性思維方法。高斯 (Johann Gauss)說：沒有大膽的猜想就不可能有偉 大的發(fā)現(xiàn)?！薄叭魺o某種大膽放肆的猜想，一般是不可 能有知識的進展的?！边@種數(shù)學(xué)思維方法教學(xué)可以 促進學(xué)生直覺思維、邏輯思維、聚合思維、發(fā)散思 維、再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造思維的發(fā)展*例如，2020年全國3卷理科17,設(shè)數(shù)列%滿足！ 1=3，+i=3n-4no計算猜想的通項公式并加以證 明；求數(shù)列2：的前項和(1)該題目的解答，由題意可得2=31-4=9-4= 5，3=32-8=15-8=7，學(xué)生根據(jù)已學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等 比數(shù)列的概念很容易由數(shù)列%的前三項可

11、猜想數(shù) 列%是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，即=2+ 1,這里對該猜想的證明我們采用數(shù)學(xué)歸納法*證明如下：當(dāng)=1時皿=3成立；假設(shè)n=k時，a%=2k+1成立*那么n=k+1 時，ak+1=3ak-4k=3 (2k + 1)-4k=2k+3=2(k+1) +1也成立*則對任意的n # N*，都有an=2n+1成立；(2)由(1)可知an-2 =(2n+1 )-2 , Sn=3x2+5x2+7x2+/+(2n-1)2 +(2n+1)2， 2(n=3x2 +5x2 +7x2 + +(2n-1)2 +(2n+1)-2， TOC o 1-5 h z 2 3nn+1由-得：-Sn=6+2x(2+2+/+2 )-(2n+1)-22n-1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 2 x( 1 2)n+1n+1=6+2x2x(1 2 ) (2n+1)2 =(1-2n)2 -2，12n+1即(n=(2n-1)-2 +2。在教學(xué)中教師應(yīng)力求培養(yǎng)與提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問 題、提出問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的歸納與 總結(jié)、類比與推理、引申與聯(lián)想的能力及探索精神、 創(chuàng)新意識，在方法上，教師應(yīng)力求運用特殊到一般再 回到特殊(從實際到理論,再回到實際)的研究方法去 思考、探索問題，從具體問題出發(fā),并在教師的指導(dǎo) 下，結(jié)合已有的知識與經(jīng)驗,通過自主學(xué)習(xí)