1、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良中師生的表征特點研究摘 要：本研究以中師學(xué)生為研究對象，以排列組合為內(nèi)容設(shè)計表征測試工具。通過與學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生對比，揭 示學(xué)習(xí)不良學(xué)生的表征特點。結(jié)果表明：與學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生相比，學(xué)習(xí)不良學(xué)生表征方式單一，缺乏多種表征的 習(xí)慣和能力；在表征方式上更傾向于由抽象向具體的表征；對問題深層表征能力低。關(guān)鍵詞：表征方式；表征順序；表征深度；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良中師生學(xué)習(xí)不良學(xué)生是指學(xué)習(xí)效率低下，智力正常， 不能達(dá)到學(xué)校教學(xué)規(guī)定的基本要求的學(xué)生七近年 來中師學(xué)生中學(xué)習(xí)不良學(xué)生的比例明顯增多，提高 其學(xué)習(xí)能力成為亟待解決的問題。表征是指信息的記載或表達(dá)方式2o表征又稱 心理表征或內(nèi)在表征，它是外在事物在心理

2、活動中 內(nèi)在的呈現(xiàn)。以往研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)不良學(xué)生與學(xué)習(xí) 優(yōu)秀學(xué)生相比，表征存在差異。那么中師生中數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)不良者與優(yōu)秀者存在哪些差異，他們在數(shù)學(xué)問 題解決的表征中表現(xiàn)出哪些特點？這正是本研究 要探討的問題。、研究方法（一）被試研究的取樣來自阜陽市某?？茖W(xué)校中師小教 專業(yè)二年級的1-6個班的學(xué)生。按照標(biāo)準(zhǔn)選出學(xué)習(xí) 優(yōu)秀的學(xué)生69人，學(xué)習(xí)不良的學(xué)生69人。分為6 個小組，每組23人。（二）實驗材料本研究所用的測驗是數(shù)學(xué)問題表征和數(shù)學(xué)問 題解決測試。本問卷選用的是開放式的數(shù)學(xué)問題, 共有3道題目組成，測驗的內(nèi)容主要涉及排列組合 （這部分知識學(xué)生在測驗前一學(xué)期學(xué)完）。試題1：甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名

3、老師 站成一排合影留念，不同的站法有多少種？試題2：甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師 站成一排合影留念，要求老師必須站中間，不同的 站法有多少種？試題3：甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師 站成一排合影留念，要求老師必須站中間，甲同學(xué) 不與老師相鄰，不同的站法有多少種？（三）實驗設(shè)計與程序本測驗主要從三方面研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良學(xué)生 的表征特點：第一，學(xué)習(xí)不良學(xué)生表征方式是單一 還是多樣；第二，在多種表征方式中是由具體到抽 象，還是由抽象到具體；第三，和學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生相 比，其表征深度有無差異。測驗在2018年3月進(jìn)行，由6名數(shù)學(xué)教師做 主試（他們不知道測驗的具體目的），同時在6個班 進(jìn)行測試。測試時間

4、分別為60分鐘。要求被試完 成試題，并寫出具思考過程，標(biāo)注思考時間。二、結(jié)果與分析（一）兩類學(xué)生使用多種表征頻數(shù)的差異比較 在測驗題作答中，被試成功使用圖形和公式表 征兩種方式解答即為多種表征，如只成功使用一種 表征方式為單一表征。紀(jì)桂萍等把數(shù)學(xué)問題解決中 的心理表征分為形象表征和抽象表征兩種回。形象 表征是以圖片、圖形的形式進(jìn)行呈現(xiàn)。形象表征比 較生動、形象,而且它與視覺的關(guān)聯(lián)性也比較強， 因此也將它叫做圖形表征。抽象表征是以語言、文 字和符號、命題、圖式等形式存在的表征。表1中， 學(xué)習(xí)不良學(xué)生使用多種表征的頻數(shù)為0. 89 + 0. 69, 學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生使用多種表征頻數(shù)為2.09 + 0.

5、 85, 對兩者多種表征使用頻數(shù)的差異比較，t=-7. 94（P=0. 0000. 001）。結(jié)果顯示，被試在測驗題中 選擇多種表征頻次存在差異。學(xué)習(xí)不良學(xué)生和學(xué)習(xí) 優(yōu)秀學(xué)生在問題解決過程中使用多種表征的頻數(shù) 存在顯著差異，優(yōu)秀學(xué)生更多使用多種表征方式。表1兩類學(xué)生多種表征使用頻數(shù)差異變量學(xué)習(xí)不良學(xué)生（M + SD） （N=69）學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生（M+SD） （N=69）tP多種表征頻數(shù)0.89 + 0.692.09+0.85-7.940.000學(xué)習(xí)不良學(xué)生更多使用單一的表征方式，對問 題的理解往往不夠全面、深刻。事實上，具體的數(shù) 學(xué)問題往往包含有多種信息，一種表征方式，往往 只能獲得部分信息而非

6、全部，信息遺漏會影響對問 題的準(zhǔn)確理解，甚至是造成對問題的錯誤判斷，使 問題解決失敗，這一觀點已被諸多研究證實。學(xué)習(xí) 優(yōu)秀的學(xué)生，更傾向于選擇多種表征結(jié)合的方式。 多種表征可以理解為將語言、文字、符號、圖片、 具體物、活動或?qū)嶋H情景等多種形式相結(jié)合的綜合 表征形式。借助不同的表征形式，形成對問題的不 同屬性和特征的認(rèn)識，獲得多方面的信息Keller 認(rèn)為，數(shù)學(xué)的多種表征形式能夠形象具體的凸顯數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)對象的兩個方面：一是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的多元 屬性可以強化其復(fù)雜性，能夠便于學(xué)生對不同表征 進(jìn)行轉(zhuǎn)換；二是它的多元屬性也可以淡化其復(fù)雜 性，能夠便于學(xué)生對不同表征的認(rèn)識聯(lián)結(jié)4o因此, 缺乏多種表征結(jié)合習(xí)

7、慣和能力，是導(dǎo)致學(xué)習(xí)不良的 原因之一。（二）兩類學(xué)生表征的順序比較分析學(xué)生的思考過程和解題過程發(fā)現(xiàn)，兩類被 秀的學(xué)生還是學(xué)習(xí)不良的學(xué)生都試圖通過多種表 征方式去尋找不同的解決思路。從表2可以看出， 兩類學(xué)生在兩種表征方式使用的先后順序上存在 差異：第1題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生中52人成功解題， 其中41人使用具體到抽象表征，11人使用抽象到 具體圖形表征；學(xué)習(xí)不良學(xué)生中29人成功解題， 其中10人使用具體到抽象表征，19人使用抽象到 具體圖形表征。第2題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生中47人成 功解題，其中38人使用具體到抽象表征，9人使 用抽象到具體圖形表征；學(xué)習(xí)不良學(xué)生中17人成 功解題，其中6人使用具體到抽象表

8、征，11人使 用抽象到具體圖形表征。第3題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生中 47人成功解題，其中37人使用具體到抽象表征， 10人使用抽象到具體圖形表征；學(xué)習(xí)不良學(xué)生中 16人成功解題，其中4人使用具體到抽象表征， 12人使用抽象到具體圖形表征?？ǚ椒治鼋Y(jié)果分 別為 15. 71、10.90、17. 84, P 分別為 0. 0000. 01、 0.0020.01、P=0.0000.01。結(jié)果表明，學(xué)習(xí)優(yōu)秀 的學(xué)生更傾向于具體圖形一抽象表征，而學(xué)習(xí)不良 者更愿意從抽象到具體圖形表征。試選擇表征順序和解題思路存在差異。無論學(xué)習(xí)優(yōu)表2兩類學(xué)生表征的轉(zhuǎn)換順序題目序號第1題第2題第3題表征層次（順序）學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)學(xué)習(xí)不

9、良學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)學(xué)習(xí)不良學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)學(xué)習(xí)不良學(xué)生（52人）生（29人）生（47人）生（17人）生（47人）生（16人）具體圖形-抽象表征4110386374抽象-具體圖形表征11199111012卡方分析15.71 (P=0.0000.01)10.90 (P=0.0020.01)17.84 (P=0.0000.01)長期以來的爭論專注于使用具體表征還是抽 象表征，特別是，數(shù)學(xué)和科學(xué)。盡管具體到抽象應(yīng) 該是一個連續(xù)體，人們通常很極端，把具體和抽象 對立起來。Bruner于1966年最先提出CRA技術(shù)，允許學(xué)習(xí)者開始有益于具體情境，鼓勵他們超越具 體情境，逐漸去除無關(guān)的細(xì)節(jié)，抽象概括它們回。Fyfe

10、回、Ching B. H. -H., Wu X研究發(fā)現(xiàn)，具體到 抽象的表征順序是成功學(xué)習(xí)的關(guān)鍵7。思維的發(fā)展 是從具體到抽象的，知識的學(xué)習(xí)也是由感性上升到 理性的。因此，學(xué)生在認(rèn)識事物或問題解決中，也 應(yīng)遵循從具體圖形到抽象表征的過程。具體表征形 式具有外顯性、展開性和直觀具體性。首先進(jìn)行直 接觀察，容易理解具體物體、實際情境，激活現(xiàn)實 世界的知識。其次具體表征既具有具體性，又具有 形象性，更有利于學(xué)生從感性上升到抽象概念，形 成知識之間本質(zhì)、內(nèi)在聯(lián)系，它可以幫助學(xué)習(xí)者理 解模糊且復(fù)雜的抽象概念。因此，如果具體材料先 于抽象材料，學(xué)習(xí)者可以用已經(jīng)理解的具體材料或 情境來解釋意義模糊的抽象材料。

11、而學(xué)習(xí)不良者更 多選擇從抽象到具體的表征，抽象材料會使得學(xué)習(xí) 者在沒有被理解的情況下，操縱無意義的符號回。 研究發(fā)現(xiàn)以抽象的形式解決問題經(jīng)常導(dǎo)致無效的 解答策略9，習(xí)得程序的不靈活的運用10，或出現(xiàn) 非邏輯錯誤11o因此，問題解決中由抽象到具體的順序，導(dǎo)致 學(xué)生沒能充分理解問題。直接使用抽象表征形式， 是學(xué)習(xí)不良者解題失敗的重要原因之一兩類學(xué)生表征深度比較辛自強教授提出了 “表征復(fù)雜性模型”，以此 來考察或區(qū)分兒童的表征能力。他認(rèn)為數(shù)學(xué)問題， 特別是數(shù)學(xué)應(yīng)用題最本質(zhì)的屬性往往是題目所涉 及數(shù)量或集合關(guān)系的復(fù)雜性。以最基本的算術(shù)應(yīng)用 題為例，一般只涉及三個集合,其中兩個集合已知, 求第三個。在這

12、些問題中，三個集合存在一定的關(guān) 系(比如部分-整體關(guān)系)，我們稱之為集合之間的 初級關(guān)系。如果集合的集合又與別的集合發(fā)生了關(guān) 系，那就是建立在初級關(guān)系基礎(chǔ)上的二級關(guān)系，依 次類推，可以有三級關(guān)系、四級關(guān)系等。這種由關(guān) 系的層級數(shù)決定的問題的復(fù)雜性，可以稱為關(guān)系的 等級復(fù)雜性，而對問題表征的質(zhì)量主要取決于能理 解的關(guān)系的最高層次，即表征深度。本實驗材料為排列組合題，試題1,只涉及排 列問題，其解決過程為五人排，即P(5, 5)，列式 正確得6分，其表征深度為初級關(guān)系；試題2中， 要先將老師選出站中間，在將其他四人排列，即 C(1,1)P(4,4),每個關(guān)系正確得3分，共6分，其 表征深度為二級關(guān)

13、系；試題3在選出老師站中間 后，再將甲同學(xué)排在兩邊，最后排列其他三人，每 個關(guān)系正確的2分，共6分，即 C(1, 1)C(2, 1)P(3, 3)，其表征深度為三級關(guān)系。分析所有被試對三類題目的重復(fù)測量的方差 表明(見表3)，在排列組合計算測驗上三道試題之 間存在極為顯著的主效應(yīng)，F(xiàn)=488. 80, p=0. 000 0. 001。前后兩個試題結(jié)果配對T檢驗表明，兩個 試題之間的正確率均有極其顯著的差異t1-2= 4. 12, p=0. 0000. 001 ； t2-3=2. 70, p=0. 0000. 001 這 說明，在三道試題的計算方面，存在明確的難度等 級。表3學(xué)生排列組合的列式成

14、績試題成績(MSD) /分第1題4. 070. 23第2題3. 040. 20第3題2.440. 19表4兩類學(xué)生三道試題成績試 題第1題第2題第3題學(xué)習(xí)不良學(xué)生成績 (MSD) /分3. 260. 321. 780. 280.960.28學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生成績 (MSD) /分4. 870. 324.300.283.930.27方差分析(F)45.80 (P=0. 0000.001)193. 31 (P=0.0000.001)346.56(P=0.0000.001)在表4中，對學(xué)習(xí)優(yōu)秀(69人)和學(xué)習(xí)不良(69 人)兩類學(xué)生的成績做了比較，結(jié)果表明，無論就 各個試題而言，還是就整個測驗而言，兩類學(xué)

15、生的 成績都存在顯著差異。事后比較表明，學(xué)習(xí)不良學(xué) 生的排列組合計算成績通常落后于優(yōu)秀生。第1 題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生成績?yōu)?.870.32分，學(xué)習(xí)不 良學(xué)生成績?yōu)?.260.32分；第2題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀 學(xué)生成績?yōu)?.300.28分，學(xué)習(xí)不良學(xué)生成績?yōu)?1. 780. 28分；第3題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生成績?yōu)?. 93 0. 27分，學(xué)習(xí)不良學(xué)生成績?yōu)?.960.28分。 方差分析結(jié)果顯示，兩類學(xué)生在三道試題存在顯著 差異。由此可以看出，優(yōu)秀生通常有較高的圖式水 平，表征深度通常較大，理解表征問題中復(fù)雜關(guān)系 的能力較好；而學(xué)習(xí)不良學(xué)生的圖式水平相對較 低，不善于理解表征問題中復(fù)雜的關(guān)系。從表4可 以看出，兩

16、類學(xué)生三題的得分差值分別為1.61、2.52, 2.97,隨著試題層次的升高，兩類學(xué)生得分 的差距也越來越大。三、結(jié)論與建議本研究對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良的中師學(xué)生進(jìn)行表征 特點分析。通過測試了解學(xué)生對數(shù)學(xué)問題表征的選 擇傾向及其對問題解決的效果的影響。研究發(fā)現(xiàn)， 學(xué)習(xí)不良學(xué)生問題表征具有以下三方面特點：一是 表征方式單一，缺乏多種表征的習(xí)慣和能力。因此, 教師在日常教學(xué)中要改變傳統(tǒng)教學(xué)只關(guān)注抽象表 征的方式。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的特點，適時將形 象表征、抽象表征等多種表征結(jié)合。同時注意把握 每個層面的知識點及知識點的整合。使得各種表征 方式所提供的信息不是孤立的、分散的存在，而是 能看到不同表征所提供信

17、息的統(tǒng)一性。二是在表征問題時，多傾向具體到抽象的方 式。以往表征研究中往往只考察是否使用多種表 征，很少研究不同表征順序?qū)W(xué)習(xí)者的影響。研究 發(fā)現(xiàn)，對學(xué)習(xí)不良學(xué)生來說，不經(jīng)具體表征過程直 接使用抽象表征，容易讓學(xué)生死背公式，或生搬硬 套某類熟悉的題目。布魯納在1966年提出，外在 刺激程度深刻影響著學(xué)生思維活動的水平。他用動 作的、形象的和符號的三種表征來代表不同的外在 刺激程度。并且認(rèn)為，學(xué)生的思維水平是以“線 性，或“單向性”的方式從動作表征到圖形表征， 最后再到符號表征。實物表征能夠更直觀地感受數(shù) 學(xué)對象，形象表征能夠直觀地傳達(dá)大量數(shù)學(xué)圖形信 息，在具體表征基礎(chǔ)上再進(jìn)行深度表征，更有利于 提高學(xué)生解決問題