1、集合與實(shí)變函數(shù)第1頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第2頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第3頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第4頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第5頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第一章 集合與映射集合的概念集合的運(yùn)算集合間的映射集合的基數(shù)集合的拓?fù)浼系臏y(cè)度第6頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四具有某種確定性質(zhì)的事物或?qū)ο蟮娜w，稱之為集合，記為A。羅素悖論：所有集合放在一起，是否是集合？某一個(gè)理發(fā)師，聲稱：給所有不給自己理發(fā)

2、的人理發(fā)，那他的頭發(fā)怎么辦？第7頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第8頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第9頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第10頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第11頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第12頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第13頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四類：其元素是集合的集合，記為 第14頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第15頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月

3、20日，14點(diǎn)32分，星期四第16頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第17頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四映射類型：?jiǎn)紊?、滿射、雙射第18頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第19頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第20頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第21頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第22頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第23頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第24頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5

4、月20日，14點(diǎn)32分，星期四第25頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第26頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四可數(shù)集合的性質(zhì)任意無(wú)窮集合都有可數(shù)子集可數(shù)集合的子集至多是可數(shù)集合可數(shù)個(gè)可數(shù)集合的并仍然是可數(shù)集合無(wú)窮集合不一定都是可數(shù)的，入如（0，1）第27頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第28頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四二、集合上的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)第29頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四度量空間第30頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四有了開(kāi)集的概念，就可

5、以定義閉集、映射的連續(xù)等等概念第31頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四直線上的開(kāi)集、閉集和完備集第32頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第33頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四拓?fù)淇臻g第34頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第35頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四歐式空間的重要定理第36頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第37頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四三、集合的測(cè)度第38頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分

6、，星期四第39頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四直線上集合的測(cè)度第40頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第41頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四可測(cè)集類就是全體Borel集和全體零測(cè)度集合的“可加”集合類的確存在不可測(cè)集合，如商集合0,1/Q在二維以上的歐式空間，也可以作類似的推廣，其上的Lebesgue測(cè)度理論與直線上的情形很相似。第42頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第二章、L-可測(cè)函數(shù)和L-微積分理論一、可測(cè)函數(shù)第43頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第44頁(yè)，共62

7、頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第45頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第46頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第47頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第48頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四二、L-積分可以通過(guò)依次引入下列各函數(shù)類的L-積分： 非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)、非負(fù)可測(cè)函數(shù)、有界可測(cè)函數(shù)、一般可測(cè)函數(shù)在有界可測(cè)集和一般可測(cè)集合上的積分L-積分與R-積分有著幾乎完全一樣的性質(zhì)： 單調(diào)性、線性、對(duì)集合的有限（可數(shù)）可加性、積分的絕對(duì)連續(xù)性等等第49頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14

8、點(diǎn)32分，星期四第50頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四兩者的區(qū)別與聯(lián)系改變函數(shù)f在零測(cè)度集上的定義，其L-積分不變。第51頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四積分與極限換序第52頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第53頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四Fubini定理第54頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四第55頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四三、微分條件太強(qiáng)了，在L-積分中，只需要函數(shù)F(x)是絕對(duì)連續(xù)，就夠了第56頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月2

9、0日，14點(diǎn)32分，星期四第57頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四有趣的問(wèn)題嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)是不是處處可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)一定大于0？其導(dǎo)函數(shù)是不是可積，積分等于端點(diǎn)處的函數(shù)值之差？例如Cantor函數(shù)第58頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四十九世紀(jì)初，曾經(jīng)有人試圖證明任何連續(xù)函數(shù)除個(gè)別點(diǎn)外總是可微的。后來(lái)，德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯提出了一個(gè)由級(jí)數(shù)定義的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，但是維爾斯特拉斯證明了這個(gè)函數(shù)在任何點(diǎn)上都沒(méi)有導(dǎo)數(shù)。這個(gè)證明使許多數(shù)學(xué)家大為吃驚。 第59頁(yè)，共62頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)32分，星期四函數(shù)空間L2a,b上平方可積的函數(shù)的全體，將幾乎處處相等的不同函數(shù)視為同一個(gè)元素，就得到了一個(gè)商集L2，通過(guò)定義距離，正交等概念，可得到一無(wú)窮維的歐式空間。在L2中建立正