1、第一章空間解析幾何與向量代數(shù)內(nèi)容小結(jié)一、向量代數(shù)L向堂的定義具有大小和方向的量稱為向量;只有大小的量稱為數(shù)量（實(shí)數(shù)）.向量可以用有向線段初 來表示.2,向上的模向量口的長度稱為向量的模,記為.模為1的向量稱為單位向量;長度為零的向量稱為 零向量.記為0.對(duì)兩個(gè)向量的夾角8,規(guī)定004兀3.基本單位向量與I軸、y軸述軸三個(gè)坐標(biāo)軸同方向的單位向量分別記為i,j,3稱為基本單位向量.4.向量的方向角與方向余弦非零向量。分別與I軸、）軸2軸三個(gè)坐標(biāo)軸正向的夾角口小y稱為口的方向角；cow tosf, cosy稱為。的方向余弦.5,向土的坐標(biāo)表示若a分別在工軸、丁軸排軸三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為口則a =山+

2、切+ d, 記為。二血八，并稱叫方式為向量a的坐標(biāo),對(duì)干給定的點(diǎn)Mi （j；小,為）,M式力，比，血）， 則mM= （七 一 ）i + （y2 1yi）j +（勺一修=5 一心功一用一右，6,向量的發(fā)性運(yùn)算給定向量。4及數(shù)量3可定義向量的加法a+P及數(shù)量乘法入a,統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn) 算，其滿足運(yùn)算律：1）加法交換律。+尸葉a；2）加法結(jié)合律（a+p）+尸c+（E+r）;3）數(shù)量乘法結(jié)合律1（w）=，Afl） = （1）*其中與是數(shù)量；4）數(shù)量乘法對(duì)于數(shù)量加法的分配律a+）a=+w；5）數(shù)量乘法對(duì)于向量加法的分配律Xa+，）=M+居7.向上的好積給定向量a與人它們的數(shù)量積定義為a,尸Wlcosy

3、,其中乎是。與。的夾角.數(shù)翻滿足下列運(yùn)算律:1）交換律a ,尸卜明2）結(jié)合律A（a P=（M），產(chǎn)a （加）,其中A是教量;3)分配律 S+A) r=a y+P rj8,向量的向量積給定兩個(gè)向量Q和，它們的向量積定義為一個(gè)向量，記為aX/h滿足:D Hxp| = |a|,|sin,其中是。與。的夾角；2）aX。的方向垂直于q與，所在的平面，并且與。,p符合右手法則.向量積滿足下列運(yùn)算律:反交換律 aX/J=-（/|Xa）；結(jié)合律 XaXA）= aa）XA=QX（邛），其中久是數(shù)量; 左分配律 rX（a+/J）=yXa+yX/,右分配律（a+）Xy=aXy+AXr.9.向量及其坐標(biāo)的有關(guān)公式給定

4、向量%,，=（仇也也）及數(shù)量九則1）M =/即，油），a土=加 61，1土瓦，由土仇）.2）a 六|。| I川co即=幻瓦+勺仇+%，其中9是兩個(gè)向量的夾角.于是可推知加=a加=a=+即67+小平一,一扃焉奇魂+史4）a與。平行的充要條件是它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例，即? = ? = 空.y 仇5） a與,垂直的充分必要條件是事，=0,即對(duì)仇+見仇+口33=。.6）若。=勺,%,的/0,6）若。=勺,%,的/0,則=1r-r0 lai稱為a單位化向量，它表示與。同方向的單位向量并有a=|a|atJ.此時(shí) H +/； +口；+ a； +a： Jg： +a； + a；= kosa, cosg, cosy

5、, 其中cosa, cosp, COS7是口的方向余弦.二、空間中的曲面與曲線.曲面與曲面方程給定曲面S及三元方程F(7.z)=0 如果曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，反之，方程 的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在S上冽稱S為方程FCr,yM=O所表示的曲面.兩個(gè)方程ECr,y,z)=O和F2(N,y,z) = 0表示同一個(gè)曲面的充分必要條件是它們?yōu)橥夥礁?空間由發(fā)的方程空間中的曲線C可以看做兩個(gè)曲面的交線，它的一般方程為F（7.y,z） = 0,G（7,y,z） = 0.空間曲線C也可表示為參數(shù)方程X -工9 y = y。）, z = z（z）.旋轉(zhuǎn)面方程I一條平面曲線C繞它所在平面的一條直線L旋轉(zhuǎn)一周所生

6、成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面(旋轉(zhuǎn) 面)，其中曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸.f(y,Z)= (J,0”平面上的曲線C：繞Z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程為7 = 0f(- JX + ,z) =0;繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程為f(y, 土 v? + r) = 0.類似可得其它坐標(biāo)面上的曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程.4.柱面方程一平行于定直線L并沿定曲線C移動(dòng)的直餞/所生成的曲面稱為柱面，其中動(dòng)直線，在移 動(dòng)中的每一個(gè)位置稱為柱面的母線，曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線.以0。平面上的曲線C：以0。平面上的曲線C：e = 0= o.同理方程g（y,w）=o和小工,力=。分別表示母線平行于工軸和軸的柱面.5,由

7、我收生標(biāo)面上的權(quán)形在空間曲線。（K（右 y,z） = 0,在空間曲線。的施中蜀同殿形分瞬去謔碎通幅到C在0”平取0m平面及0町平面上的投敷曲線，分別形如F(z) = 0, 工F(z) = 0, 工=0.G(n) = 0,y = 0,f = 0,z = 0.三、空間中的平面與直線方程L平面方程D點(diǎn)法式：給定空間中的點(diǎn)PCr”M。）及非零向量n=A,B,C,則經(jīng)過點(diǎn)R且與果 垂直的平面方程為AGr 工。）+ B（y 知）+CG %） = 0, 其中n稱為平面的法向量.2）一般式；Ai+By+a+D=0,其中A,B,C不全為零.3）截距式；尸1,其中血全不為零.4）兩個(gè)平面之間的關(guān)系：設(shè)兩個(gè)平面說與

8、嗎的法向量依次為“ = （A1,B,CJ和曲=4田力CJ山與4的夾角6規(guī)定為它們法向量的夾角（取銳角），這時(shí),coM =% =A4 +BB? + GGISJ TJ ，A； + B； + Cf ./A； + B；+C兩個(gè)平面平行的充要條件是:學(xué)=3=?；& 口 2 L兩個(gè)平面垂直的充要條件是：A1A2+B1B2+C1C2=0.直線方程.直線與平面的關(guān)系1）一般式：將直線表示為兩個(gè)平面的交線j A_r + Bi）+ Gz +D =0,（+ B2y + G t +。= 0.* 2）若直線L經(jīng)過點(diǎn)且與向量產(chǎn)=。,那,工0平行,則匕的方程為對(duì)稱式；工-工0_）一刈=看I m n參數(shù)式：，H=* + A , = %+血，-80, 60, c01-56）,例如4+4+左=1，/+2丁+3z? = 12等均表示橢球面. * v X U3）桶圓拋物面:其中。0其中。00 （圖157）.例如2 =尺+爐，-z = 2+y2等均表示橢圓拋物面.圖 1-57圖 1-574）橢圓錐面:7 _ V a ylZ _/ + 囚其中q00 （圖158）.例如z2=/+y2表示楠圓錐面.5）單葉雙曲