1、初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)微專題五二次函數(shù)中的存在性問題初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)微專題五二次函數(shù)中的存在性問題【主干必備】存在性問題是指根據(jù)題目所給定的條件,探究是否存在符合要求的結(jié)論.二次函數(shù)中的存在性問題常見類型有:【主干必備】(1)以二次函數(shù)圖象為載體來探究特殊圖形(如等腰三角形,直角三角形,平行四邊形,矩形,菱形等)的存在性問題.(2)以二次函數(shù)圖象為載體來探究圖形間特殊關(guān)系(如兩個(gè)三角形相似或全等,兩條直線或同一個(gè)圖形兩個(gè)角度或者兩條邊存在某種位置或數(shù)量關(guān)系等)的存在性問題.(1)以二次函數(shù)圖象為載體來探究特殊圖形(如等腰三角形,直角解決二次函數(shù)中的存在性問題的核心思想方法:(1)在解決存在性探究問題

2、時(shí),需要根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及該圖形的概念或性質(zhì)來對(duì)圖形進(jìn)行分類討論,或者對(duì)于含有參數(shù)的問題要對(duì)參數(shù)的允許值進(jìn)行全面的分類討論.解決二次函數(shù)中的存在性問題的核心思想方法:(2)根據(jù)題意表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合圖形建立方程(組),并根據(jù)方程(組)的解的情況來判斷該圖形形狀是否存在或存在某種位置或數(shù)量關(guān)系.(2)根據(jù)題意表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合圖形建立方程(組),并根 【微點(diǎn)警示】 因?yàn)辄c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)既能改變圖形相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,又能改變圖形的形狀和位置,從而形成特殊的圖形,所以解決此類問題的關(guān)鍵在于確定動(dòng)點(diǎn)的位置. 【微點(diǎn)警示】 因?yàn)辄c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)既能改變圖形相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,又能【核心突破】【類型一】 探究特

3、殊圖形的存在性問題【例1】(2019山西中考)綜合與探究如圖,拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m(1m 4).連接AC,BC,DB,DC .【核心突破】(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2)BCD的面積等于AOC的面積的 時(shí),求m的值.(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.【自主解答】略【自主解答】略 【明技法】探究特殊圖

4、形存在性問題的三步驟(1)先假設(shè)這樣的圖形存在,然后根據(jù)該圖形的定義或性質(zhì)來確定出動(dòng)點(diǎn)的位置,并畫出相應(yīng)圖形. 【明技法】(2)結(jié)合圖形建立方程(組).(3)根據(jù)方程(組)的解的情況來判斷該圖形形狀是否存在.(2)結(jié)合圖形建立方程(組).【類型二】探究特殊關(guān)系存在性問題【例2】(2018常州中考)如圖,二次函數(shù)y=- x2+bx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A(-4,0),P是拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C不重合).【類型二】探究特殊關(guān)系存在性問題(1)b=_,點(diǎn)B坐標(biāo)是_.(2)設(shè)直線PB與直線AC相交于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PMMB=12?若存在,求出點(diǎn)P的橫坐

5、標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.(3)連接AC,BC,判斷CAB與CBA的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(1)b=_,點(diǎn)B坐標(biāo)是_.初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)微專題五二次函數(shù)中的存在性問題【自主解答】 (1)b= .(2) 假設(shè)點(diǎn)M在PB之間,存在PMMB=12,過點(diǎn)P作EFAC,交坐標(biāo)軸于點(diǎn)E和F,則 ,【自主解答】A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-4,0), ,AB= +4= ,AE= ,E點(diǎn)的坐標(biāo)為 .C(0,2),由A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得AC的解析式為y= x+2,直線EF的解析式為y= ,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-4,0), ,AB= 解方程組: 消去y,得方程:8x2+32x+33=0,由于=-32,所以這種情況不

6、存在.解方程組: 當(dāng)點(diǎn)M在CA(或AC)的延長(zhǎng)線時(shí),同理可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ,直線PF的解析式為y= 解方程組 消去y,得方程:8x2+32x-33當(dāng)點(diǎn)M在CA(或AC)的延長(zhǎng)線時(shí),同理=0,x1=-2- ,x2=-2+ ,所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=-2- ,x2=-2+ .(3)略=0,x1=-2- ,x2=-2+ ,所以P 【明技法】探究特殊關(guān)系存在性問題的三步驟(1)先假設(shè)這樣的關(guān)系存在,然后用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形,把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程,抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系,并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系,畫出相應(yīng)圖形. 【明技法】(2)通過幾何推理或建立關(guān)系式(函數(shù)或

7、不等式或方程(組)等)進(jìn)行推理或求解.(3)最后根據(jù)幾何推理或者舉反例或者方程(組)的解的情況來判斷該特殊關(guān)系是否存在.解決此類問題時(shí),常常利用三角形相似或三角函數(shù)來尋找關(guān)系.(2)通過幾何推理或建立關(guān)系式(函數(shù)或不等式或方程(組)等)【題組過關(guān)】1.(2019眉山中考)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=- x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-5,0)和點(diǎn)B(1,0).世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo).【題組過關(guān)】(2)點(diǎn)P是拋物線上A,D之間的一點(diǎn),過點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E,PGy軸,交拋物線于點(diǎn)G.過點(diǎn)G作GFx軸于點(diǎn)F.當(dāng)矩形PEFG的周長(zhǎng)最大時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).(2)點(diǎn)P是拋

8、物線上A,D之間的一點(diǎn),過點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)(3)如圖2,連接AD,BD,點(diǎn)M在線段AB上(不與A,B重合),作DMN=DBA, MN交線段AD于點(diǎn)N,是否存在點(diǎn)M,使得DMN為等腰三角形?若存在,求出AN的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.(3)如圖2,連接AD,BD,點(diǎn)M在線段AB上(不與A,B重【解析】(1)拋物線的解析式為:y=- (x+5)(x-1)=- x2- x+ .配方得:y=- (x+2)2+4,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,4).【解析】(1)拋物線的解析式為:y=- (x+5)(x-1(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 -5a-2,則PE= ,PG=2(-2-a)=-4-2a.矩形PEFG的周長(zhǎng)為2(

9、PE+PG)= (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 -5a- 0,當(dāng)a=- 時(shí),矩形PEFG的周長(zhǎng)最大,此時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為- .- DAB,而DAB=DMN,DNMDMN,DNDM.綜上所述,存在點(diǎn)M滿足要求,此時(shí)AN的長(zhǎng)為1或 .DN=DM不成立.2.(2019安順中考)如圖,拋物線y= x2+bx+c與直線y= x+3分別相交于A,B兩點(diǎn),且此拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為C,連接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0).2.(2019安順中考)如圖,拋物線y= x2+bx+c(1)求拋物線的解析式.(2)在拋物線對(duì)稱軸l上找一點(diǎn)M,使|MB-MC|的值最大,并求出這個(gè)最大值.(1)求拋物線的解析式.(3)點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過點(diǎn)P作PQPA交y軸于點(diǎn)Q,問:是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.略(3)點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過點(diǎn)P作PQ3.(2019海南中考)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A(-5,0),B(-4,-3)兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,連接CD.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)3.(2019海南中考)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+(1)求該拋物線的表達(dá)式.(2)