1、第四章 不 定 積 分求原來那個函數(shù)的問題.已知某曲線的切線斜率為2x, 本章研究微分運算的逆運算已會求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的運算.解決相反的問題,就是已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分,例如某質(zhì)點作直線運動,已知運動速度函數(shù) 求路程函數(shù).常要求此曲線的方程.1.2.不定積分. indefinite integral1第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式不定積分的性質(zhì)小結(jié) 思考題 作業(yè) indefinite integral第四章 不定積分2一、原函數(shù)與不定積分的概念幾何問題解例設(shè)曲線方程上任一點的切線斜率都等于切點處橫坐標(biāo)的兩倍,求曲線的方程.設(shè)曲線方程為滿足此條件的函數(shù)有無窮多

2、個,如等都是.一般,所求曲線方程為C為任意常數(shù).不定積分的概念與性質(zhì)3定義1例1. 原函數(shù)如果在區(qū)間I上,則稱或原函數(shù).一個或由知是原函數(shù).也是的原函數(shù),其中為任意常數(shù).不定積分的概念與性質(zhì)4一般,的原函數(shù)(C為任意常數(shù)).因一個函數(shù)如果有原函數(shù),就有無窮多個.在區(qū)間I上的一個在區(qū)間I上的任一原函數(shù)都其中C為某一常數(shù).則定理定理表明:的一整族函數(shù)形如是f(x)的全部原函數(shù).原函數(shù), 結(jié) 論 的形式,不定積分的概念與性質(zhì)可表為5故證的另一個原函數(shù),則又只要找到f (x)的一個原函數(shù),就知道它的全部原函數(shù).在區(qū)間I上的一個原函數(shù),則f(x)在區(qū)間I上的任一原函數(shù)都可表為其中C為某一常數(shù).定理的形式

3、,要證常數(shù)因為不定積分的概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)必為常數(shù)某個常數(shù)6積分變量積分常數(shù)被積函數(shù)定義2被積表達(dá)式2. 不定積分不定積分.(1) 定義全部原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為函數(shù)f (x)的 總和(summa)記為不定積分的概念與性質(zhì)積分號71. 被積函數(shù)是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù),被積表達(dá)式是原函數(shù)的微分.2. 不定積分表示那些導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的所或說其微分等于被積表達(dá)式的所有函數(shù).有函數(shù).因此絕不能漏寫積分常數(shù)C.3. 求已知函數(shù)的原函數(shù)或不定積分的運算稱 為積分運算,它是微分運算的逆運算.不定積分的概念與性質(zhì)8例 求解解例 ?不定積分的概念與性質(zhì)9(2)不定積分的幾何意義積分曲線稱為的積分曲線.的圖形向

4、平行于y 軸的方向任意上下移動,得出的無窮多條曲線,稱為的圖形是平面的一條曲線,是將曲線族.不定積分的概念與性質(zhì)10 由于不論常數(shù)C 取何值,同一x處其導(dǎo)數(shù)等于f(x),各切線相互平行.有積分曲線族即x不定積分的概念與性質(zhì)11不定積分的概念與性質(zhì)解故所求曲線方程為(3) 積分常數(shù)的確定求通過點 且其切線斜率為2x曲線.例 在求原函數(shù)的實際問題中,有時要從全部原函數(shù)中確定出所需要的具有某特性的一個原函數(shù),這時應(yīng)根據(jù)這個特性確定常數(shù)C的值,從而找出需要的原函數(shù).的曲線族為有12解例所以不定積分的概念與性質(zhì)13（原函數(shù)存在定理）連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).則它必有原函數(shù).(4) 原函數(shù)存在問題定理2哪些函

5、數(shù)有原函數(shù)?又如何求其原函數(shù)?不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)是否必為連續(xù)函數(shù)?14 由不定積分的定義 結(jié)論微分運算與求不定積分的運算是如(1)或或互逆的.二、不定積分的性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)15證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）(2)(2)，(3)稱為線性性質(zhì). 思考: k = 0,等式是否成立?(3)不定積分的概念與性質(zhì)16實例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式結(jié)論 要判斷一個不定積分公式是否正確,只要將右端的函數(shù)求導(dǎo),看是否等于被積函數(shù).求導(dǎo)公式?積分公式.?三、基本積分公式不定積分的概念與性質(zhì)積分運算和微分運算是互逆的，17基本積分公式 (k是常數(shù))說明：簡寫為不定積分的概

6、念與性質(zhì)18不定積分的概念與性質(zhì)19熟 記不定積分的概念與性質(zhì)20例 求積分解出一些簡單函數(shù)的不定積分,稱為利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式,可求由公式直接積分法.不定積分的概念與性質(zhì)21例 求積分解不定積分的概念與性質(zhì)22例 求積分解不定積分的概念與性質(zhì)23例 求積分解 稱為分項積分法.分項積分法 利用線性性質(zhì)計算積分,上兩例是將被積函數(shù)作恒等變形,不定積分的概念與性質(zhì)24例 求積分解不定積分的概念與性質(zhì) 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形,才能使用基本積分表.25解例 不定積分的概念與性質(zhì)26解所求曲線方程為不定積分的概念與性質(zhì)已知一曲線 y = f (x)在點( x, f (x)處的切線例斜率為且此曲線與y軸的交點為(0,5),求此曲線的方程.27練習(xí)不定積分的概念與性質(zhì)28練習(xí)不定積分的概念與性質(zhì)29熟記基本積分公式不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念不定積分的概念求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的幾何意義30應(yīng)先將絕對值符號化掉,即將| x |化作分段函數(shù):不定積分的概念與性質(zhì)思考題解31因此在x = 0處必連續(xù),由于