1、匚口.常 A/r I牢性不振動的動能和侯斡 初邊值問題解的唯1L振動的動能和位能考察一維初邊值問題:q2*=o ( 0, 0 x Z)(1) t(x,0) = cp(x), wr(x,0) = |/(x) (0 x 0(a)，ux. j, 0)=奴x, j), ut (x, j,0) = (x, p)鼠范35=(”4)的解至多有一個。證明：由有關(guān)能量積分的推導(dǎo)可知，當(dāng)/三0,日三0時,有陰。,所以,+ /叱 + ,)心的有陰。,所以,+ /叱 + ,)心的E(t) = E(0) =+ a?”； + *)dxdy11上頁I下頁I返回11設(shè)ur(x,y,t u2(x,y,t)都 是問題0)的解，令

2、V = u1-u2,則滿足;%（與/）。工0r（x,j,o）= o,r;（x,j,o）= oy（xyt） . A = 0所以，對任意f 0均有JJ巴2+/（叱+4）依4=0Qv a2 0,二些三0,必三0,從而三C（常數(shù)） dt dxf/ lz（x,0） = 0, /. C = 0, i.e., V（xyt） = 0, % 三 %12上頁I下頁I返回12能量不等式用能量積分法討論波動方程初邊值問題rutt - 02bl = / （羽 j） 0,W（x, j, 0）二（p（x, j）,火（x, y, 0）二之（x, j）,（羽3）L,）3二。記 E(t) = jj記 E(t) = jjQ+ a2

3、(u + u)dxdy珈=2 dt13utf dxdy jjudxdy +JJ f2dxdyQQQ E(t) + JJ f2dxdy上頁I下頁I返回nE(t IJJ f2dxdydiq/ 今 E(t) M E(0) + J。e , JJ f?dxdydr( T 當(dāng) OfT 時 E(t) Co E()+ JIf /公處Q7（其中C0 =d是僅與丁有關(guān)的正常數(shù)。）記 /=jj u2dxdy a今9di-2JJuu今9di-2JJuutdxdy jju2dx(fy + jjudxdy QQQ0(O+r(O14上頁I下頁I返回+ 整)V/E atat二石0 - E。(0) +儲工廠石北r當(dāng)0tT時 E

4、o)VG(Eo(0) + Jo E(r)dr) (G =).rE(了 )而.rE(了 )而jHk(o)+j：jjjdxdydTdT C2(E(0) + J：而) 二 coT):.E.(t) 0, 沏=7(%7)0,只要帆勾心) ,麻-外兒(Q)，帆廣即|妹)V小ki-L(Q) ，帆-八隊(duì)(0,T)xQ) 小那么以(卬1,5)為初值，/1為右端項(xiàng)的解的與以(牝,甲2) 為初值，力為右端項(xiàng)的解町之差在WT上滿足2(Q)17上頁I下頁I返回173,柯西問題解的唯一性與穩(wěn)定性(d)% 一屋(%十%) = 0,(工,0) =(p(x, j), %(*, j, 0)=孤x、y)設(shè)是問題(d)的解，記 : (x - %o)2 + (y 盟)2 (/?- at)2瓦(QJ含JJM則有 dE(Qt)+ a2 (u +u)dxdydt0 （證明略）故 ;(QJWE(Q。)18（*0，盟）上頁I下頁I返回R0定理6.3波動方程初值問