1、多維隨機(jī)變量的特征值第1頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二數(shù)學(xué)期望若 (X, Y) PX=xi ,Y=yj,= pij, i, j=1, 2, , 則Z= g(X，Y)的期望第2頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二例1 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)解:例2 隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，聯(lián)合密度函數(shù)為 求Z=X+Y的數(shù)學(xué)期望第3頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二解：聯(lián)合密度函數(shù)為練習(xí)：181頁 6、8第4頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二1. E(c)=c,c為常數(shù); 2、E(cX)=cE

2、(X), c為常數(shù);數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3. E(X+Y)=E(X)+E(Y);5、隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y)推廣 E(A+B+Z)=E(A)+E(B)+E(Z);和的期望等于期望的和第5頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二若E(X),E(X2)存在，則 EX-E(X)2 記為D(X),或Var(X). 稱 為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差可見 重要性質(zhì) Var(X)=E(X2)-E(X)2. 方差第6頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二方差的性質(zhì)(1) D(c)=0 即 PX=C=1 D(X)=0; (2) D(aX)=a2D(X), a

3、為常數(shù)；(3)若 X，Y 相互獨(dú)立，則 D(X+Y)=D(X)+D(Y);第7頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二例3 若Xb(n,p)二項分布, 求期望和方差解:設(shè)第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生則0-1分布相互獨(dú)立第8頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二例4 設(shè)隨機(jī)變量X U(0,6) ， Y N(1,3)，ZExp(3),且X，Y，Z相互獨(dú)立，求隨機(jī)變量U=X-2Y+3Z的數(shù)學(xué)期望、方差解 E(X)=(0+6)/2=3 D(X)=(6-0)2/12E(Y)=1, D(Y)=3; E(Z)=1/3, D(Z)=1/9第9頁，共26頁，2

4、022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二第10頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二證明:X，Y 相互獨(dú)立，E(XY)=E(X)E(Y)第11頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二證明:設(shè)(X,Y)f(x,y) X、Y相互獨(dú)立第12頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二證明:設(shè)(X,Y)f(x,y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)第13頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)一）協(xié)方差定義與性質(zhì) 1. 定義 若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 則稱COV(X, Y)=EXE(X)YE(Y).

5、為X與Y的協(xié)方差, 易見 COV(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y). 當(dāng)COV(X,Y)=0時，稱X與Y不相關(guān)。？“X與Y獨(dú)立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？書：170頁第14頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二二.協(xié)方差性質(zhì) (1) COV(X, Y)=COV(Y, X); (2) COV(X,X)=D(X); COV(X,c)=0 (3) COV(aX, bY)= ab COV(X, Y), 其中a, b為 常數(shù)； (4) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z); (5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y).第15頁，共

6、26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二例題 設(shè)二維變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為試求：Cov（X,Y）練習(xí) 設(shè)隨機(jī)變量Xb（12,0.5),Y N(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差由公式 COV(X, Y)=E(XY）- E(X)E(Y).我們需要求解E(XY)、E(X)、E(Y)COV (aX+bY, cX+dY)=?第16頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二二）.相關(guān)系數(shù) 1. 定義 若X，Y的方差和協(xié)方差均存在, 且D(X)0,D(Y)0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù). 注：若記稱為X和Y的標(biāo)準(zhǔn)化，易知E

7、X*=0，EY*=0.且第17頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常數(shù)a, b 使PY= aX+b=1； (3) X與Y不相關(guān) XY=0;例 設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0 x1,0yx上的均勻分布,求X與Y的相關(guān)系數(shù)D1x=y解第18頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二第19頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二可見，若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。 第20頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二四. 協(xié)方差矩

8、陣1.定義 設(shè)X1， , Xn為n個r.v., 記cij=cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, , n. 則稱由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量 X1， , Xn的協(xié)方差矩陣C。即作業(yè)：183頁17、19第21頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二關(guān)系圖Var(X)=E(X2)-E2(X) COV(X, Y)=E(XY）- E(X)E(Y).Var(X Y)=Var(X)+Var(Y) 2COV(X, Y).期望 E(X)方差 EX-E(X)2協(xié)方差 COV(X, Y)=EXE(X)YE(Y).相關(guān)系數(shù)第22頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二第23頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二以上EX的結(jié)果說明了什么？解1)2)第24頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z);證明：Cov(X+Y,Z)=E(X+Y)Z- E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)- E(X)E(Z) -E(Y)E(Z)=Cov(X,Z)+ Cov(Y,Z)COV(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y).第25頁，共26頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)15分，星期二D(X+Y)=D(X)+D(Y)+ 2COV