1、第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案一計(jì)算題（本題滿分35分，共有5道小題，每道小題71x 2xx1求極限 x3x0解： x2 f t dt 及3 x2設(shè)x0時(shí)，及是等價(jià)無窮小，k等價(jià)無窮小，求常數(shù) 及f xkA20解：3x f t dt3xf t dt 及由于當(dāng)x0時(shí)，k等價(jià)無窮小，所以lim1而0Axkx00116所以，lim1因此，k A6Akxk1x0b x2 x1a中不含有對數(shù)函數(shù)，求常數(shù) 及 應(yīng)滿足的條件b3如果不定積分解：1x22xaxb2 將 x1化為部分分式，有1 x22b x2 因此不定積分中不含有對數(shù)函數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù) x11x22 x1 12 2x2axb

2、BDB1 x2D x1 即 x1x11x2 x1 x2222 x2 axb B1 x2 D x1 2 B D x2 2Dx B D所以，有比較上式兩端的系數(shù)，有1BD, a2D, bBD所以，得b152min x2 dx5計(jì)算定積分0解：第 1 頁5513812 22min x2 dx dx 2x dx x2 dx 所以，00125設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為r asin3，求曲線C的全長3解：曲線rasin一周的定義域?yàn)? ，即 因此曲線C的全長為0 33345分，共有5道小題，每道小題9 sin x f x lim 6求出函數(shù)的所有間斷點(diǎn)，并指出這些間斷點(diǎn)的類型1 2x2nn解：11 x 1x

3、2f x是函數(shù) 的間斷點(diǎn)因此及22，因此x1是函數(shù) f x 00 f x x 1f x的第一類可去型，2121211xxx2x2間斷點(diǎn)1 f x x 1 f x 00，因此xf x的第一類可去型間斷，是函數(shù)211 112x2x2x2x點(diǎn) xf x b在區(qū)間7設(shè)是函數(shù)上使用 Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求極限limbb0解： b f x x b，使得在區(qū)間上應(yīng)用Lagrange中值定理，知存在 b 21因此，2所以，arcsinb令tarcsinb，則有 1 所以，3bb0第 2 頁 11 xf x e 2ydy，求 f x dx8設(shè)解：y00 xf x e 2ydy 中，

4、令x1，得在方程y0 f xxf x e 2ydyx兩端對 求導(dǎo)，得2ex ，再在方程y01 1 1 xf x dxf x dx xf x10 xf x dx因此，000 , 內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)e ax2 a09研究方程x在區(qū)間解： 2x exf x ax2e 1 f x 2axeax2ex axxx設(shè)函數(shù)， 0f x f x 的駐點(diǎn)x，得函數(shù)x2令12由于a0，所以 f x因此，得函數(shù)的性態(tài), 020 f x114 12e2 4 10f x ax e 1 , 0 2 若，即a時(shí)，函數(shù)在、內(nèi)各有一22 x4在, 內(nèi)有3個(gè)實(shí)根e ax2個(gè)零點(diǎn)，即方程xe2 f x ax e 1 , 0時(shí)，函數(shù) 在 、

5、4 10 若，即a內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即22 x4在, 內(nèi)有2個(gè)實(shí)根e ax2方程xe2 4 10f x ax e 1 , 0e ax在，即a時(shí)，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)，即方程22xx2 若4, 內(nèi)有1個(gè)實(shí)根第 3 頁 f x10設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且滿足 f x試求函數(shù)的極值解： 1f t t f t f x x f x 1x在方程中令t，得，即 xf x f x x f x xfx x f x，得在方程組中消去t f 0 0 tx2f x f 0 ，得積分，注意dt即1t20 xx f x 12xx22 f xx x 1 2f x而由得函數(shù)的駐點(diǎn)所以，1x2121x21 f 0 0 f x f 1 1 ln

6、2f x是函數(shù) 極大值所以，是函數(shù)極小值；24三應(yīng)用題及證明題（本題滿分20分，共有2道小題，每道小題10y xl 及直線x 0 x 2和x所圍成的圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為最小解： 1t,ty y x t,在t處的切線方程為設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可知曲線2 t11 xt xty t y ，或2 t2 t因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 82232 0得駐點(diǎn)t，舍去t所以，由于4 t23 162d2V 0，因而函數(shù)V在t處達(dá)到極小值，而且也是最小值因此所求切線方程為3dt24 t222tt33312y x4 ，1 ，1 f x12設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且第 4 頁1 ，1 f 證明：至少存在一點(diǎn)解：，使得1 arctan2 f x 12 因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，所以由積分中值定理，知存在，使得21212 e1 0 arctanf x arctane xdxff由于2，所以，再由，得0 g x e , 1 1 , 1 arct