1、認識無窮多認識無窮多目 錄“無窮多”能實證和感知嗎？“無窮多”到底是多少？“無窮多”的存在性案例。目 錄“無窮多”能實證和感知嗎？“無窮多”到底是多少？“01 “無窮多”能實證和感知嗎？01 我們常在課堂上聽到：“線段上有畫不完的點，所以，線段上有無窮多個點?！币渤Ｂ牭揭苫蟮穆曇簦骸坝邢薜木€段上怎能畫出無限多的點？鉛筆削得再尖, 只要不停地畫下去, 最后肯定會畫滿的！”我們常在課堂上聽到：“線段上有畫不完的點，所以，線段上有無窮在現(xiàn)實中，你能在線段上畫出一個沒有“大小”的點嗎？數(shù)學(xué)點和線（包括直線、射線、線段），和現(xiàn)實生活中的點和線是不相同的。數(shù)學(xué)中的點和線是由現(xiàn)實中的點和線抽象而成，但在現(xiàn)實

2、中卻是找不到數(shù)學(xué)中的點和線。如果點有“大小”，有限的線段就不可能畫出無窮多個點?！盁o窮多”能實證和感知嗎？在現(xiàn)實中，你能在線段上畫出一個沒有“大小”的點嗎？數(shù)學(xué)點和線如果就算能畫出1萬個，10萬個點，也還是有限的。8萬億個點，課堂上能畫完不？“畫不完”也不能等同于“無窮多”?！熬€段上有無窮多個點”不能實證和感知，只能想象。想用實證的方法來驗證無窮多個，只會是緣木求魚、南轅北轍。那我們怎么說明“線段上確實有無窮多個點”呢? 如果就算能畫出1萬個，10萬個點，也還是有限的。8萬億個點，02“無窮多”到底是多少？02提到“無窮多”或“無窮大”的概念，你首先想到的是什么呢？是浩瀚的宇宙？還是永遠數(shù)不到

3、頭的數(shù)？相信大家都認可：“要多少有多少，沒完沒了，無窮無盡”才能算無窮多。“無窮多”到底是多少？提到“無窮多”或“無窮大”的概念，你首先想到的是什么呢？是浩當我們從1開始數(shù)2，3，4，5，6的時候，我們想象得到自然數(shù)是無盡頭的。無論數(shù)到一個多么大的數(shù)，永遠都會有很多比它大的后繼數(shù)，不會有“最后的自然數(shù)”。因此，存在著無窮多的自然數(shù)?；谧匀粩?shù)無限性，我們對“無窮多”的深入認識：與自然數(shù)“一樣多” 或者比自然數(shù)還要多就是無窮多?！盁o窮多”到底是多少？當我們從1開始數(shù)2，3，4，5，6的時候，我們想象得到自如果一個集合A與自然數(shù)集合N能建立“一一對應(yīng)”關(guān)系（A的元素個數(shù)與自然數(shù)一樣多），或者集合A

4、的一個子集合（部分）與自然數(shù)集合N能建立“一一對應(yīng)”關(guān)系（A的元素個數(shù)不少于自然數(shù)的個數(shù)），我們也可以說A元素個數(shù)是無窮多。如果一個集合A與自然數(shù)集合N能建立“一一對應(yīng)”關(guān)系（A的元素03“無窮多”的存在性案例03基于自然數(shù)無限性可以直接得到：有理數(shù)，實數(shù)有無窮多個。因為自然數(shù)集合是有理數(shù)集合、實數(shù)集合的子集合；偶數(shù)集合、奇數(shù)集合、3的倍數(shù)集合，12與25公倍數(shù)的集合有無窮多個元素。 1.直接證明存在“無窮多” 基于自然數(shù)無限性可以直接得到：有理數(shù)，實數(shù)有無窮多個。 1.案例1：線段上有無窮多個點案例1：線段上有無窮多個點 2.用反證法來間接證明存在“無窮多” 2.用反證法來間接證明存在“無窮

5、多” 假設(shè)只有k個質(zhì)數(shù)，設(shè)它們是p1, p2, , pk 。構(gòu)造一個大于1的整數(shù)，N = p1 p2pk + 1由算術(shù)基本定理可知，N可以唯一分解為質(zhì)因數(shù)的乘積，因而，N至少有一個質(zhì)因數(shù)pi，pi整除N。 pi是p1 p2pk的因數(shù)，所以，pi整除乘積p1 p2pk。 由整除的性質(zhì)，pi整除差 N-p1 p2pk,即pi整除1，“質(zhì)數(shù)是1的因數(shù)”是不可能的，從而得出矛盾。所以質(zhì)數(shù)不可能是有限個。案例2：證明質(zhì)數(shù)有無限多個等假設(shè)只有k個質(zhì)數(shù)，設(shè)它們是p1, p2, , pk 。構(gòu)問 題 研 究（1）證明：不論是大圓還是小圓，它們的半徑一樣多，而且都是無窮多。 （2）證明：根號2是無限不循環(huán)小數(shù)。問 題