1、6.4 實二次型的正定性與正定矩陣定義1 有實二次型 , 如果對任意實向量有 ，則稱二次型 為正定二次型 稱n階實對稱矩陣A為正定矩陣.一、 正定二次型、正定矩陣的概念例 是否為正定二次型?【結論】單位陣為正定矩陣.定義2 有實二次型 , 如果對任意實向量有 ，則稱二次型 為負定二次型 稱n階實對稱矩陣A為負定矩陣.定義3 如果對任意實向量 , 有 則稱二次型 為半正定(半負定)二次型 稱n階實對稱矩陣A為半正定(半負定)矩陣.6.4 實二次型的正定性與正定矩陣定義1 有實二次型 例如 (1) 其中(2)(3)正定半正定負定【注】如果對某些向量X,實二次型 為正,而對另一些向量X,實二次型 為

2、負, 則稱該二次型是不定的.例如 (1) 其中(2)(3)正定半正定負定【注二、正定矩陣的充分必要條件 準則1 n階實對稱矩陣A正定 A的特征值全為正數(shù). 例1 判斷矩陣 是否為正定矩陣？ 準則1推論 A為正定矩陣 (4)判斷是否正定？【解析】可求得A的全部特征值為1(二重)和10, 則該實對稱矩陣A的特征值全大于0, 故A為正定矩陣.二、正定矩陣的充分必要條件 準則1 n階實對稱矩陣A正定 準則2 n階實對稱矩陣A正定 A與n階單位陣合同 準則2推論 （1）n階實對稱矩陣A正定 ，P為實數(shù)域上的可逆矩陣；與A合同的對角陣，對角線上元素為正；A的正慣性指數(shù)為n.（2）n個變量的實二次型正定 標

3、準形為 實數(shù)域上的規(guī)范形為 準則2 n階實對稱矩陣A正定 A與n階單位對于負定矩陣有類似的結論1. 實對稱矩陣A負定 A的特征值全為負.二次型為負定的 二次型的負慣性指數(shù)為n2. 實對稱矩陣A負定, 則當n為偶數(shù)時, 當n為奇數(shù)時,A正定 -A負定二次型 f 為正定 二次型 -f 為負定 對于負定矩陣有類似的結論1. 實對稱矩陣A負定 定義2 n階矩陣A的前k行k列交叉處的元素，按原來順序構成的行列式 ，稱為A的順序主子式.例如 ， ， 準則3 n階實對稱矩陣A正定 A的全部順序主子式都大于零.續(xù)例1 用準則3判斷矩陣 是否為正定矩陣 ？定義2 n階矩陣A的前k行k列交叉處的元素，按原來順例如

4、 例2 若二次型是正定的, 則 t 的取值范圍?【解析】已知二次型正定,反求其中未知參數(shù)的取值范圍一般用順序主子式求解.二次型矩陣為【注】需實對稱陣A的全部順序主子式都大于0才可判定A正定.例2 若二次型是正定的, 則 t 的取值范圍?【解析】已知若n階實對稱矩陣A為正定矩陣，則有1 ，A可逆；【注】 逆不真. 例如3A主對角線上元素三、 正定矩陣的性質【注】 逆不真.例如2 (k為正整數(shù)) ， 均正定；若n階實對稱矩陣A為正定矩陣，則有1 ，A5A正定, 且A與B合同 ，則 B 也正定. 6對角陣 正定4設A、B正定，則 A+B 也正定. 5A正定, 且A與B合同 ，則 B 也正定. 6對角

5、陣【總結】正慣性指數(shù)為n.n個變量的實二次型 正定-f 為負定二次型.實對稱矩陣A為正定矩陣實數(shù)域上的規(guī)范形為標準形為A的特征值均大于0A與單位陣E合同存在可逆陣P, 使得A的各階順序主子式 0【總結】正慣性指數(shù)為n.n個變量的實二次型 例5 證明（1）若 正定，有實數(shù)域上矩陣 ， ， 則 正定.【解析】看齊次線性方程組PX=O, 其為m個未知量, n個方程的齊次線性方程組, 由 , 則該方程組只有零解.則對任意m維非零列向量X, 有于是有故 正定.例4 A為n階實對稱矩陣, 且滿足 證明A為正定矩陣.例3 設A為n階正定矩陣, E為n階單位陣, 證明例5 證明【解析】看齊次線性方程組PX=O

6、, 其為m個未知（2）有實數(shù)域上的n階方陣A可逆，則 正定.【法二】由A可逆, 則對任意n維實列向量XO, 有AXO, 所以 正定.【法一】由A可逆, 則有 , 則與單位陣合同, 所以 正定.【解析】要注意首先要說明 是實對稱矩陣.（2）有實數(shù)域上的n階方陣A可逆，則 正定矩陣之間的關系等價A , B 都為mn 矩陣, 若存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q, 使得 則稱A與B等價.相似設A, B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣C，使得 ，則稱A與B合同，記作 .設A, B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣U，使得 ，則稱A與B相似，記作AB .合同矩陣之間的關系等價A , B 都為mn 矩陣, 若存在m階例2設A和B為實對稱矩陣，則（ ）成立.（A）ABA與B合同；AB（B）A與B合同CA(B)反例則A與B合同, 但不相似.例1設A和B為n階矩陣，則（ ）成立.（A）ABA與B合同；A和B等價；（C）AB（B）A和B等價A與B合同；（D）A和B等價AB（E） A與B合同 AB例2設A和B為實對稱矩陣，則（ ）成立.A與B合同；基本概念 正定二次