1、 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 主講 賈啟芬Mechanical and Structural Vibration工程振動與測試目錄Mechanical and Structural Vibration 2.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 2.2 計算固有頻率的能量法 2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動 2.6 周期激勵作用下的受迫振動 2.7 任意激勵作用下的受迫振動 2.8 響應譜 第2章單自由度系統(tǒng)的振動 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動Mechanical and Structural Vibration 第2章單自由度系統(tǒng)的振動 受迫振動激勵形式系

2、統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動。 外界激勵一般為時間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。 簡諧激勵是最簡單的激勵。 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動Mechanical and Structural Vibration振動微分方程 簡諧激振力F0為激振力的幅值，w為激振力的圓頻率。以平衡位置O為坐標原點，x軸鉛直向下為正，物塊運動微分方程為 具有粘性阻尼的單自由度受迫振動微分方程，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動Mechanical and Structural Vibration簡諧激勵的響應全解有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵力作用下的運動微分方程 微分方程全解：

3、齊次方程的解加非齊次方程的特解齊次解: x1(t)特解: x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解Mechanical and Structural Vibration振動微分方程 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解 x2(t)-有阻尼系統(tǒng)簡諧激勵響應中的特解是指不隨時間衰減的穩(wěn)態(tài)響應：Mechanical and Structural Vibration振動微分方程 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動這表明：穩(wěn)態(tài)受迫振動是與激勵頻率相同的諧振動。 穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅與滯后相位差均與初始條件無關，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵的特性。Mechanical

4、 and Structural Vibration振動微分方程 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動Mechanical and Structural Vibration受迫振動的振幅B、相位差 的討論 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當 1時，1，Bb，即電機的角速度遠遠大于振動系統(tǒng)的固有頻率時，該系統(tǒng)受迫振動的振幅趨近于 。 幅頻特性曲線和相頻特性曲線例 題 Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動例 題 Mechanical and Structural Vibration 在圖示的系統(tǒng)中，物塊受粘性欠阻尼作

5、用，其阻尼系數(shù)為c，物塊的質量為m，彈簧的彈性常量為k。設物塊和支撐只沿鉛直方向運動，且支撐的運動為 ,試求物塊的運動規(guī)律。 建立物塊的運動微分方程 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動Z代替 x 令其中 y = b例 題 Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動x = z + yand例 題 Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動例 題 Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動例 題 Mechanical

6、 and Structural Vibration 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動受迫振動系統(tǒng)力矢量的關系 已知簡諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動的響應為現(xiàn)將各力分別用 B、 的旋轉矢量表示。應用達朗貝爾原理，將彈簧質量系統(tǒng)寫成式不僅反映了各項力之間的相位關系，而且表示著一個力多邊形。慣性力阻尼力彈性力激振力Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動Mechanical and Structural Vibration（a）力多邊形 (b) 1 (c) = 1 (d) 1受迫振動系統(tǒng)力矢量的關系 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動受迫振動系統(tǒng)的

7、能量關系 從能量的觀點分析，振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動的實現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結果?，F(xiàn)將討論簡諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動中的能量關系。受迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為周期 1. 激振力在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差 ，激振力在一周期內(nèi)做功為 ，做功最多。 Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動對于無阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差 。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動。 或2. 粘性阻尼力 做的功 上式表明，在一個周期內(nèi)，阻尼做負功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動在共振

8、區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實現(xiàn)的。Mechanical and Structural Vibration受迫振動系統(tǒng)的能量關系 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動3. 彈性力 做的功能量曲線表明彈性力在一個振動周期內(nèi)做功之和為零。 在一個振動周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量Mechanical and Structural Vibration受迫振動系統(tǒng)的能量關系 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動等效粘性阻尼 在工程實際中，振動系統(tǒng)存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的數(shù)學描述比較復雜。為了便于振動分析，經(jīng)

9、常應用能量方法將非粘性阻尼簡化成等效粘性阻尼。等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量。假設在簡諧激振力作用下，非粘性阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應仍然是簡諧振動，即非粘性阻尼在一個周期內(nèi)做的功粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量相等等效粘性阻尼系數(shù)Mechanical and Structural Vibration 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動利用式得到在該阻尼作用下受迫振動的振幅Mechanical and Structural Vibration等效粘性阻尼 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動庫侖阻尼阻尼力表示為一周期內(nèi)庫侖阻尼消耗的能量為 等效粘性阻尼系數(shù) 得到穩(wěn)態(tài)

10、振動的振幅表達式相等Mechanical and Structural Vibration等效粘性阻尼 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動結構阻尼 一周期內(nèi)結構阻尼消耗的能量為 相等等效粘性阻尼系數(shù) 具有結構阻尼系統(tǒng)的運動微分方程可寫為 Mechanical and Structural Vibration等效粘性阻尼 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵響應是瞬態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應疊加。先考慮在給定初始條件下無阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應,系統(tǒng)的運動微分方程和初始條件寫在一起為通解是相應的齊次方程的通解與特解的和,即Mechanical and S

11、tructural Vibration 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動根據(jù)初始條件確定C1、C2 。于是得到全解為 特點是:振動頻率為系統(tǒng)的固有頻率,但振幅與系統(tǒng)本身的性質及激勵因素都有關。無激勵時的自由振動系統(tǒng)對初始條件的響應穩(wěn)態(tài)強迫振動伴隨激勵而產(chǎn)生自由振動, 稱為自由伴隨振動Mechanical and Structural Vibration 對于存在阻尼的實際系統(tǒng),自由振動和自由伴隨振動的振幅都將隨時間逐漸衰減,因此它們都是瞬態(tài)響應。簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動共振時的情況假設初始條件為由共振的定義, 時上式是 型,利用洛必達法則算出共振時的響

12、應為 Mechanical and Structural Vibration簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動可見,當時 ,無阻尼系統(tǒng)的振幅隨時間無限增大.經(jīng)過短暫時間后,共振響應可以表示為此即共振時的受迫振動.反映出共振時的位移在相位上比激振力滯后 ,且振幅與時間成正比地增大 圖 共振時的受迫振動Mechanical and Structural Vibration簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應.在給定初始條件下的運動微分方程為 全解為式中Mechanical and Structural

13、 Vibration簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動如果初始位移與初始速度都為零，則成為可見過渡階段的響應仍含有自由伴隨振動。 過渡階段的響應Mechanical and Structural Vibration簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 2.5 簡諧激勵作用下的受迫振動在簡諧激勵的作用下，有阻尼系統(tǒng)的 總響應由三部分組成 無激勵時自由振動的初始條件響應，其振幅與激勵無關。 伴隨激勵而產(chǎn)生的自由振動自由伴隨振動，其振幅不僅與系統(tǒng)特性有關，而且與激勵有關。 以激勵頻率作簡諧振動，其振幅不隨時間衰減穩(wěn)態(tài)受迫振動。 第一部分和第二部分振動的頻率都是自由振動頻率pd；由于阻尼的作用，這兩部分的振幅都時間而衰減。Mechanical and Structura