1、4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的 在直角三角形ABC中，C=90，sin，cos，tan分別叫作角的正弦、余弦和正切，它們的值分別等于什么？ABC 在直角三角形ABC中，C=90，sin，cos 當(dāng)角不是銳角時(shí)，我們必須對(duì)sin，cos，tan的值進(jìn)行推廣，以適應(yīng)任意角的需要.如何定義任意角的三角函數(shù)呢? 當(dāng)角不是銳角時(shí)，我們必須對(duì)sin，cos，ta1. 正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù). （重點(diǎn)）2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在四個(gè)象限內(nèi)的符號(hào).（重點(diǎn)）3.借助單位圓理解任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義.(難點(diǎn)

2、)1. 正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù). （重點(diǎn)）思考：在直角坐標(biāo)系中，作以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓，對(duì)于任意角 ，使角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于唯一的點(diǎn)P(u,v),正弦函數(shù)、余弦函數(shù)又該如何表示呢？探究點(diǎn)1 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義思考：在直角坐標(biāo)系中，作以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的探究點(diǎn)1 任意角如圖所示，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v叫作的正弦函數(shù)， 記作v=sin，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u叫作的余弦函數(shù)， 記作u=cos.(1,0)OP(u,v)Mx(1,0)OP(u,v)Mx(1,0)OP(u,v)Mx(1,0)OP(u,v)Mxyyyy如圖所示，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v叫作的正

3、弦函數(shù)， 記作v=sin小結(jié)：1.對(duì)于給定的角，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v,橫坐標(biāo)u都是唯一確定的，所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓的點(diǎn)的坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù).(1,0)OP(x,y)yMx小結(jié)：1.對(duì)于給定的角，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v,橫坐標(biāo)u都是唯一確3.如圖，在給定的單位圓中，對(duì)于任意角可以是正角、負(fù)角或是零角，所以正弦函數(shù)v=sin，余弦函數(shù)u=cos的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)(1,0)OP(u,v)Mx(1,0)OP(u,v)Mx(1,0)OP(u,v)Mx(1,0)OP(u,v)Mxyyyy3.如圖，在給定的單位圓中，對(duì)于任意角可以是正角、負(fù)角或是思考：由三角函數(shù)的定義，如何求任意角的正弦、余弦

4、值？提示：求任意角的正弦、余弦值分兩步，第一步求出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，第二步寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，其中縱坐標(biāo)為正弦值，橫坐標(biāo)為余弦值.思考：由三角函數(shù)的定義，如何求任意角的正弦、余弦值？探究點(diǎn)2 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)思考1 角的正弦、余弦、正切的值的正負(fù)與誰(shuí)有關(guān)？提示：與角終邊所在的象限有關(guān).思考2 如何判斷角的正弦、余弦、正切值的正負(fù)？提示：角的正弦、余弦、正切值的正負(fù)只與點(diǎn)P(u,v)的坐標(biāo)u,v的正負(fù)有關(guān)，所以可通過u,v的正負(fù)來(lái)判斷角的正弦、余弦、正切值的正負(fù).探究點(diǎn)2 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)思考1 角的正弦、余弦根據(jù)三角函數(shù)的定義，研究三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào).OxyOxy

5、+_+_口訣： 全正，正弦，全負(fù)，余弦根據(jù)三角函數(shù)的定義，研究三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào).Oxy提升總結(jié)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號(hào) 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 圖示 正弦函數(shù)符號(hào) 余弦函數(shù)符號(hào) +-+-提升總結(jié)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號(hào) 象限 第一象(1,0)OMxyQPN(1,0)OMxyQPN解：（1）如圖，以原點(diǎn)為角的頂點(diǎn)，以 x軸非負(fù)半軸為始邊，順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，與單位圓交于點(diǎn)P， ，即為所求作的角.例2 在直角坐標(biāo)系的單位圓中，(1)畫出角.(2)求出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo).OyMx1P解：（1）如圖，以原點(diǎn)為角的頂例2 在直角坐標(biāo)系的單位

6、圓中，例3 已知角 終邊上一點(diǎn)P 求角 的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.解: 因?yàn)辄c(diǎn)P 在角 的終邊上，所以 可知?jiǎng)tsin = cos =例3 已知角 終邊上一點(diǎn)P 求角 的正弦函數(shù)010-1010-101 在直角坐標(biāo)系的單位圓中，求各個(gè)角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，并將各特殊角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值填入下表觀察此表格中的數(shù)據(jù),你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=sinx和y=cosx的變化有什么特點(diǎn)嗎？010-1010-101 在直角坐標(biāo)系的單位圓中，求各個(gè)角總結(jié)：用x表示自變量，即x表示角的大小，用y表示函數(shù)值，于是任意角三角函數(shù)可以表示為 它們的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù).總結(jié)：用x表示自變量，即x表示角的大小，1.已知角的終邊經(jīng)過 ，求的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值解：xyOP1.已知角的終邊經(jīng)過 ，求的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)2.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào):解:（1）因?yàn)?50是第三象限角,所以cos2500.（2）因?yàn)?.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào):解:（1）因?yàn)?50是第三象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的