1、24.2點和圓、直線和圓的位置關系24.2.1點和圓的位置關系知識點一知識點二知識點三知識點一點與圓的位置關系點與圓有三種位置關系:點在圓內、點在圓上、點在圓外.名師解讀:確定點與圓的位置關系的方法有兩種:一是可用圖形上的位置來判斷:如圖所示,知識點一知識點二知識點三設圓O的半徑為r,則有:(1)若點A在圓O的內部,則OAr.反之:(1)若OAr,則點C在圓O的外部.二是利用數(shù)量關系來判斷:一般地,如果P是圓所在平面內的一點,d表示點P到圓心O的距離,r表示圓的半徑,則有:點P在O上d=r;點P在O內dr.知識點一知識點二知識點三例1如圖,以點O(1,1)為圓心,OO為半徑畫圓,判斷點P(-1

2、,1),點Q(1,0),點R(2,2)和O的位置關系.知識點一知識點二知識點三要確定點與圓的位置關系,主要確定點與圓心的距離(d)與半徑(r)的大小關系;根據(jù)它們之間的對應關系確定即可. 知識點一知識點二知識點三知識點二不在同一條直線上的三點確定圓不在同一條直線上的三點確定一個圓.經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點,叫做這個三角形的外心.名師解讀:(1)一個三角形有且只有一個外接圓,而一個圓可以有無數(shù)多個內接三角形.(2)三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等,都等于三角形外接圓的半徑.知識點一知識點二知識點三例2三角形外心具

3、有的性質是()A.到三個頂點距離相等B.到三邊距離相等C.外心必在三角形外D.到頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍解析:三角形的外心是任意兩邊垂直平分線的交點,線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等,外心到三個頂點距離相等.答案:A知識點一知識點二知識點三理解三角形的外心是任意兩邊垂直平分線的交點是解答的關鍵.知識點一知識點二知識點三知識點三反證法假設命題的結論不成立,由此經(jīng)過推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設不正確,從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.名師解讀:用反證法證明命題的一般步驟:(1)否定結論假設命題的結論不成立;(2)推出矛盾從假設出發(fā),根據(jù)已知條件,經(jīng)過推理論證,得

4、出一個與命題的條件或已知的定義、基本事實、定理等相矛盾的結果;(3)肯定結論由矛盾判定假設不正確,從而肯定命題的結論正確.知識點一知識點二知識點三例3用反證法證明命題“在直角三角形中,至少有一個銳角不大于45”時,應先假設()A.有一個銳角小于45B.每一個銳角都小于45C.有一個銳角大于45D.每一個銳角都大于45答案:D知識點一知識點二知識點三(1)使用反證法的前提是直接證法比較“困難”.(2)解答問題的關鍵是第一步“假設”,在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況,如:“都是”的否定是“不都是”,大于的否定是“不大于”即“小于等于”等等.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一圓的存

5、在性與點和圓的位置關系例1A,B,C是平面內的三點,AB=3,BC=3,AC=6,下列說法正確的是()A.可以畫一個圓,使A,B,C都在圓上B.可以畫一個圓,使A,B在圓上,C在圓外C.可以畫一個圓,使A,C在圓上,B在圓外D.可以畫一個圓,使B,C在圓上,A在圓內解析:A,B,C是平面內的三點,AB=3,BC=3,AC=6,AB+BC=AC,則B是線段AC的中點,可以畫一個圓,使A,B在圓上,C在圓外.答案:B拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二幾何圖形上的點與圓的位置關系例2在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,A的半徑為r,若B,D在A內,C在A外,則r的取值范圍

6、是()A.3r4B.3r5C.4r4拓展點一拓展點二拓展點三解析:如圖所示,要想矩形的頂點B,D在A內,C在A外,r必須大于AD,且小于AC,而AD=4,AC= =5,所以r的范圍為4r5.答案:C拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題抓住點到圓心的距離與圓半徑的大小關系,數(shù)形結合,根據(jù)已知得出r與各邊長的關系是解題關鍵.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三與外接圓有關的綜合題例3在等腰ABC中,AB=AC=13 cm,BC=10 cm,求等腰ABC外接圓的半徑.分析:設O為ABC外接圓的圓心,連接AO,并延長AO交BC于D,連接OB,OC,得出ADBC,BD=DC,根據(jù)勾股定理求出AD,設出等腰A

7、BC外接圓的半徑,在RtOBD中,由勾股定理得出OB2=OD2+BD2,代入求出即可.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,關鍵是通過作輔助線,利用外接圓的性質和等腰三角形的性質進行分析.由于是等腰三角形,容易想到過A作AD垂直于BC交于點D,此時需要說明圓心O在AD上,否則錯誤.24.2.2直線和圓的位置關系知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點一直線與圓的位置關系 直線和圓有兩個公共點,這時我們就說這條直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線.直線和圓只有一個公共點,這時我們就說這條直線和圓相切,這條直線叫做圓的切線.直線和圓沒有公共點,這時我們說這條直線和圓相離

8、.設O的半徑為r,點O到直線l的距離為d,則直線l和O相交dr.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五名師解讀:直線和圓的位置關系,還可用下表表示: 判定一條直線與圓的位置關系時,既可以用直線與圓的公共點的個數(shù)來判定它們的位置關系,也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小關系來判定它們的位置關系.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五例1如圖,ABC中,C=90,B=60,AO=x,O在AB上,且O的半徑為1.問當x在什么范圍內取值時AC與O相離、相切、相交?分析:由三角形的內角和定理可求出A的大小,根據(jù)含30角的直角三角形的性質即可得到OD和AO的關系,(1)若圓O與AC相離,則有OD大于r

9、,列出關于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范圍;(2)若圓O與AC相切,則有OD=r,求出x的值即可;(3)若圓O與AC相交,則有OD小于r,列出關于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范圍.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五解答這類問題時,可以先畫出草圖,利用直線與圓的位置關系由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系來判斷.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點二切線的判定經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.名師解讀:切線的判定方法可以歸納為兩種:(1)定義法:和圓有唯一公共點的直線是圓的切線或到圓心的距離等于

10、圓的半徑的直線是圓的切線;(2)切線的判定定理.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五例2如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,O為AB上一點,以O為圓心,OB長為半徑的圓交BC于D,DEAC交AC于E.求證:DE是O的切線.分析:連接OD,由OB=OD,AB=AC,可得到ODB=C,即ODAC,而DEAC,即可得到ODDE,從而得到DE是O的切線.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五證明:如圖所示,連接OD,則OB=OD,OBD=ODB.又AB=AC,OBD=C.ODB=C.ODAC.又DEAC,ODDE.DE是O的切線.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五當已知直線過圓上一點,

11、要證明它是圓的切線,則要連接圓心和這個點,證明這個連線與已知直線垂直即可.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點三切線的性質圓的切線垂直于過切點的半徑.名師解讀:切線的性質定理與判定定理互為逆定理,切線的判定定理是由“垂直得切線”;而性質定理是由“切線得垂直”.當已知條件中有切線,而圖形中沒有經(jīng)過切點的半徑(或直徑)時,通常作出經(jīng)過切點的半徑,這是解答這類問題的常規(guī)輔助線.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五例3如圖,P是O外一點,PA是O的切線,A為切點,PO與O相交于B點,已知P=28,C為O上一點,連接CA,CB,則C的度數(shù)為()A.28B.62C.31D.56知識點一知識點

12、二知識點三知識點四知識點五知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五當題目中有圓的切點,而過切點的半徑又沒有時,一般作出這條半徑,再利用切線的性質定理結合圓周角等其他知識來求解.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點四切線長及其定理切線長:經(jīng)過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間線段的長,叫做這點到圓的切線長.定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.名師解讀:理解“切線長”時可以類比“兩點間的距離”,切線長是數(shù)量,而不是圖形.運用切線長定理可以得出角相等和線段相等,因此,在解答與兩條切線有關的問題時,常常運用此定理找相等的角或線段.知識

13、點一知識點二知識點三知識點四知識點五例4如圖,PA,PB分別切O于A,B,PA=10 cm,C是劣弧 上的點(不與點A,B重合),過點C的切線分別交PA,PB于點E,F.則PEF的周長為()A.10 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五解析:由于PEF的三邊都是變化的,而圖形中有三條圓的切線,故易考慮到使用切線長定理進行轉化.PA,PB分別切O于A,B,PB=PA=10 cm.EA與EC為O的切線,EA=EC,同理得到FC=FB,PEF的周長=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=10+10=20(cm)

14、.答案:C知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五解答本題關鍵是運用切線長定理得出EC=AE,CF=FB,最后把三角形的周長轉化成兩條切線長的和.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五知識點五內切圓及內心內切圓:與三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.內心:內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內心.名師解讀:(1)一個三角形有且只有一個內切圓,而一個圓的外切三角形有無數(shù)多個.(2)三角形的內心是三角形三個內角的平分線的交點,這點到三角形三邊的距離相等,一定在三角形的內部.知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五例5如圖,O是RtABC的內切圓,D,E,F分別為切點,ACB

15、=90,則EDF的度數(shù)為()A.25B.30C.45D.60知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五解析:由于EDF是圓周角,所以考慮構造出所對的弧所對的圓心角,又有切點,所以想到連接OE,OF.O是RtABC的內切圓,D,E,F分別為切點,OEBC,OFAC.OEC=OFC=90.C=90,由四邊形的內角和得EOF=90.EDF= EOF=45.答案:C知識點一知識點二知識點三知識點四知識點五解答這類問題的關鍵是構造出EDF所對應的圓心角. 拓展點一拓展點二拓展點一直線與圓的位置關系的靈活運用例1如圖所示,正方形的邊長為4,O的半徑為1,正方形中心O1與圓心O在直線l上,O與CD邊相切,O以

16、1 cm/s的速度向左邊運動.(1)當運動時間t在何數(shù)值范圍時O與CD相交?(2)當t為何值時,O與AB相切?拓展點一拓展點二分析:(1)由t=0或t=2時,O與CD邊相切,得出當0t2時,O與CD相交;(2)由t=4或6時,O到AB的距離d=1,得出O與AB相切.解:(1)根據(jù)題意得,當t=0或t=2時,O與CD邊相切,故當0t2時,O到CD的距離d1,O與CD相交.(2)根據(jù)題意得,當t=4時,O到AB的距離d=1,O與AB相切;當t=6時,O到AB的距離d=1,O與AB相切.綜上所述,當t=4或6時,O與AB相切.拓展點一拓展點二解答這類問題,仔細觀察圖形,由題意得出圓心到直線的距離d與半徑r的數(shù)量關系是解決問題的關鍵.拓展點一拓展點二拓展點二證明圓的切線的常用方法例2如圖,已知AB為O的直徑,過點B作O的切線BC,連接OC,弦ADOC.求證:CD是O的切線.拓展點一拓展點二分析:本題中既有圓的切線是已知條件,又證明另一條直線是圓的切線.