1、摘要在高等數(shù)學的學習中,積分不等式的證明一直是一個無論在難度還是技巧性方面都很復雜的內容.對積分不等式的證明方法進行研究不但能夠系統(tǒng)的總結其證明方法,還可以更好的將初等數(shù)學的知識和高等數(shù)學的結合起來.并且可以拓寬我們的視野、發(fā)散我們的思維、提高我們的創(chuàng)新能力,因此可以提高我們解決問題的效率.本文主要通過查閱有關的文獻和資料的方法,對其中的內容進行對比和分析,并加以推廣和補充,提出自己的觀點. 本文首先介紹了兩個重要的積分不等式并給出了證明,然后分類討論了證明積分不等式的八種方法,即利用函數(shù)的凹凸性、輔助函數(shù)法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用積分的性質、利用泰勒公式、利用重積分、利用

2、微分中值定理,最后對全文進行了總結關鍵詞：積分不等式,定積分,中值定理,柯西-施瓦茲不等式,單調性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skillIn this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of ele

3、mentary mathematicsand higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergenciedandinnovationabilitycanbeimproved,soastoimproveourefficiencyofproblem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing relatedcontent,complementi

4、ngandpromotingrelatedcontent.Inthispaper,twoimportant integralinequalitiesalongwiththeirproofmethodsaregivenfirst,andtheneightapproachesto proofintegralinequalitiesareintroduced,suchasconcavityandconvexityoffunction,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theo

5、rem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper issummarizedKeywords:IntegralInequality,DefiniteIntegral,MeanTheorem, Cauchy-SchwarzInequality,Monotonicty引言不等式在數(shù)學中有著重要的作用,在數(shù)量關系上,盡管不等關系要比相等關系更加普遍的存在于人們的現(xiàn)實世界里,然而人們對于不等式的認識要比方程遲的多.直到 17 世

6、紀之后,不等式的理論才逐漸的成長起來,成為數(shù)學基礎理論的一個重要組成部分.眾所周知, 不等式理論在數(shù)學理論中有著重要的地位,它滲透到了數(shù)學的各個領域中,因而它是數(shù)學領域中的一個重要的內容.其中積分不等式更是高等數(shù)學中的一個重要的內容實際上關于定積分的概念起源于求平面圖形的面積和一些其他的實際問題.有關定積240和的方法計算過拋物線弓形和其他圖形的面積.在歷史上,積分觀念的形成要比微分早.然17 Newton-Leibniz 式建立之后,有關計算的問題得以解決后,定積分才迅速的建立并成長起來本論文研究的積分不等式結合了定積分以及不等式.關于它的證明向來是高等數(shù)學中的一個重點及難點.對積分不等式的

7、證明方法進行研究，并使其系統(tǒng)化，在很大程度上為不同的數(shù)學分支之間架起了橋梁.深刻的理解及掌握積分不等式的證明方法可以提升我們對其理論知識的理解,同時可以提高我們的創(chuàng)造思維和邏輯思維在論文的第三部分中對積分不等式的證明方法進行了詳細的闡述.分別從利用函數(shù)的凹凸性、輔助函數(shù)法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用泰勒公式、利用重積分、利用微分中值定理、利用定積分的性質這八個方面給出了例題及證明方法.這樣通過幾道常見的積分不等式的證明題,從不同的角度,用不同的方法研究、分析了積分不等式的特點,歸納總結出了其證明方法.同時論文中也對有的題目給出了多種證明方法,這啟示我們對于同一道積分不等式而言它

8、的證明方法往往不止一種,我們需要根據(jù)實際情況采用合適的方法去證明,從而達到將問題化繁為簡的目的幾個重要的積分不等式在高等數(shù)學的學習中我們遇到過許多重要的積分不等式,如 Cauchy-Schwarz 不等式,Young 不等式等.它們的形式及證明方法都有很多種,在這一小結中我們將給出這兩種積分不等式的證明方法Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz 不等式的另一個重要不等式其形式有在實數(shù)域中的、微積分中的、概率空間FP中的以及n 4 種形式.接下來在這一部分中我們將對其在微積分中的形式進行研究定理 2.11 設 f ( x) , g(x) 在a, b上連續(xù),則有a b f

9、(x)g(x)dx 2ab f (x)2dx abg(x)2dxa2證明：要證明原不等式成立,我們只需要證2bbb f 2xdxg2xdxbbf xdx 0 成立2a2a設F t t f2xdx t g2xdxt f xdx ,則只要證F b F a成立,aat由F t 在a, b上連續(xù),在a, b內可導,得taFt f2atg2xdxg2t f2xdx2f gf x g xdxaa t f 2 g2 x 2 f g f xg x g 2 f 2 xaaa t2 a f tgxgtf x x0由(2.1)式可知F在a,b上遞增,由ba,知FbFa,故原不等式成立證畢Cauchy-Schwarz

10、 為普遍的輔助函數(shù)法,它將要證明的原積分不等式通過移項轉變?yōu)榱伺袛嗪瘮?shù)在兩個端點Cauchy-Schwarz 以下行列式的形式bf xf xdxg xf xdxbaabba f xgxxa gxgxbb 0 ,由此我們可以聯(lián)想到是否可以將它進行推廣？答案是肯定的.下面我們將給出Cauchy Schwarz 不等式的推廣形式bb2.22 f xg xh x在b上可積,則bbba f xf xba gxf xa hxf xbaf xgxbabaf xhxbagxgxdxbbaagxhxbbaab h x g x dx 0 baah x h x baa證明：對任意的實數(shù)t2 t3 ,有b12a t

11、f xt gxt hx2 b12a t b f2t bg2xdxt b h2 xdxbbbbaa2t1t2a f xgxxt3a f xhxxt2t3a gxhxx0注意到關于t2 t3 從而其系數(shù)矩陣行列式為ab f 2 xabafxgxbabafxhxbagxfxdxbaab g 2 xbaabagxhxbah xf xdxbbaah xg xdx 0 bbaaab h2 xaCauchy-Schwarz 不等式的行列式由二階推廣到了三階的形式,事實上Cauchy-Schwarz不等式是一個在很多方面都很重要的不等式,例如在證明不等式,求函數(shù)最值等方面.若能靈活的運用它則可以使一些較困難的

12、問題得到解決.下面我們會在第三部Cauchy-Schwarz 不等式及其推廣形式在積分不等式證明中的應用除了Cauchy-Schwarz不等式之外還有很多重要的積分不等式,例如不等式,相較Cauchy-Schwarz不等式的了解比較少,實際上它也具有不同的形式不等式進行一些研究Young不等式Young 不等式,以及和它相關的 Minkowski 不等式,Hlder 不等式,這些都是在現(xiàn)代分析數(shù)學中應用十分廣泛的不等式,在調和函數(shù)、數(shù)學分析、泛函分析以及偏微分方程中這三個不等式的身影隨處可見,是使用得最為普遍,最為平凡的知識工具.下面我們將給出積分形式的 Young 不等式的證明定理 2.33

13、 f (x) 0c（c 0 ） 上連續(xù)且嚴格遞增, 若 f 0 a c且ab0, f(c,a號成立0 f(x)xb f 1 (x)dx ab ,其中 f 1 是 f 的反函數(shù),當且僅當b f (a) 時等0a證明：引輔助函數(shù)g(a)baf(x)dx,(2.2)把b 0看作參變量,由于g(a) b f (a) ,且 f 嚴格遞增,于是當 0a f1(bg(a0；當 a f1(bg(a0；當 a f1(bg(a0 因此 當a f1(bg (a取到g的最大值,即ga gx g f1(2.3)由分部積分得11f 1(b)f 1 (b)g(fb)fb)0f(x)x0f (x),作代換 y f (x) ,

14、上面積分變?yōu)閷?2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得g( f 1(b) b f 1(y)dy,(2.4)0ab a f (x)dx b f 1( y)dy b f 1(000即 a f (x)dx b f 1(x)dx ab00定積分不等式常見的證明方法關于積分不等式的證明方法較為繁多,難度及技巧性也較大,因此對其進行系統(tǒng)的歸納總結是很有必要的在這一部分中我們將歸納出利用輔助函數(shù)、微分中值定理、重要積分不等式及積分中值定理等證明積分不等式的方法利用函數(shù)的凹凸性在數(shù)學分析以及高等數(shù)學中,我們常常會遇到一類特殊的函數(shù)凸函數(shù)凸函數(shù)具有重要的理論研究價值和廣泛的實際應用,在有些不等式的證明中,若

15、能靈活地利用凸函數(shù)的性質往往能夠簡潔巧妙的解決問題下面給出一個例子加以說明定理 3.1 若t 定義在間隔m, M 內,且t 0 ,則t 必為下凸函數(shù)3.2 f x在ab上為可積分函數(shù),而m f (x M 在間隔m t M內為連續(xù)的下凸函數(shù),則有不等式1b f xdx1bf xdxbbaabaabba例 3.14 設 f x在a,b上連續(xù),且 f x 0 baf xx1f xdxba2 證明: 取u 1 , 因為u 1 0,u2 0 , u 0uu2即在u 0 時, y u 為凸函數(shù),故有1b f xdx u31bf xdx，baabaab ab1dxbaa f xbb1a即 bf xdx，故b

16、 af xdxa f xdxa 證畢a在上述的題目中我們可以發(fā)現(xiàn)在證明中常常先利用導數(shù)來判斷函數(shù)的凹凸性,然后再利用凹（凸）函數(shù)的性質來證明不等式然而對于實際給出的題目,我們往往需要先構造一個凹（凸）函數(shù),然后才能利用其性質來證明我們所要證明的問題輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法是積分不等式證明中的一種非常重要的方法,往往我們會根據(jù)不等式的特點,構造與問題相關的輔助函數(shù),考慮在相同的區(qū)間上函數(shù)所滿足的條件,從而得出欲證明的結論在第二部分中我們用輔助函數(shù)法對 Cauchy-Schwarz 不等式進行了證明,下面將對用輔助函數(shù)法證明積分不等式進行進一步的探討例 3.2.15 設函數(shù) f x在區(qū)間0,1上連續(xù)且

17、單調遞減,證明：對a (0,1) 時,a1有： f xxa0 f(x)x證明：令Fx 1x ft)t0 x,由fx連續(xù),得Fx可導x 0 x則Fxf xx0 f tx2 f x x f xx2 f x f ,x(0 x) 因為 f ( x) 在0,1 上單調減少,而0 x ,有 f x f ,從而Ft 0 , F x在(0,1 上單調減少,則對任意a (0,1) ,有F(a) F (1) 即 1 a f (x)dx 1 f xdx ,兩邊同乘a 即得af(x)dxaf xdx證畢1a00,001本題根據(jù)積分不等式兩邊上下限的特點,在區(qū)間(0,1) 上構造了一個輔助函數(shù),進一步我們可以思考對于一

18、般的情形,該題的結論是否依然成立呢？答案是肯定的.例 3.2.2 設函數(shù) f x在區(qū)間0,1上連續(xù)且單調遞減非負,證明：對 a, b (0,1) ,且0ab1時,有:a f xdx a b f (x)dx 0ba證明：令Fx 1x ft)t 0 xfx連續(xù),得Fx可導, 則x 0 xFxf xx2f f x x f 2 f x f ,(0 x) xxxf (x) 在 0 x f x f Ft 0 F x 在(0,1 上單調減少,則對任意0 a b 1,有F (a) F (b) ,即1 a f 1 b f a 0b 0f b f0b f(3.2)a結合(3.1)式和(3.2)式可得 1 a f

19、x 1 b f x a0ba即 a f a b f x證畢0ba3.2.36 f (x在ab上連續(xù),f x 0 試證：bba f(x)xbb1 dx(ba)2f(x)xax3.1 中我們給出了本題利用函數(shù)的凹凸性證明的過程,xax證明: 構造輔助函數(shù) xf tdtdtf xa2, 則x f x x dtf dt2xa x f xdt x f t dt x2dtxa f txf xa f ta f xax f xf b a f t f x2t 0,bba所以 x是單調遞增的,即 b a 0 baf xx1f xdxba2證畢例 3.2.47 設 f x在a,b上連續(xù)且單調增加,證明：b xf x

20、dx a b b f xdx 證明: 原不等式即為a2ab xf xdx a b b f xdx 0 ,構造輔助函數(shù)a2aF t xf xdx a t t f xdx , t a, b,a2a則Ft tf t 1 t f xdx a tf 1af t f xdx2a222 1 a f f a,t2a因為a tf x單調增加,所以Ft0故F在b上單調遞增,且Fa0, 所以對x(ab,有Fx F0當xbFb0即b xf xdxab b f xdx0,故原不等式成立,證畢a2a通過以上幾道題目的觀察我們可以發(fā)現(xiàn)：當已知被積函數(shù)連續(xù)時,我們可以把積分的上限或者是下限作為變量,從而構造一個變限積分,然后

21、利用輔助函數(shù)的單調性加以證明輔助函數(shù)法實際上是一種將復雜的問題轉化為容易解決的問題的方法在解題時通常表現(xiàn)為不對問題本身求解而是對與問題相關的輔助函數(shù)進行求解,從而得出原不等式的結論利用重要積分不等式2 Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推廣形式的證明過程,實際上 Cauchy-Schwarz 不等式的應用也很廣泛,利用它可以解決一些復雜不等式的證明.在這一小節(jié)中我們將通過具體的例子來加以說明它在證明積分不等式中的應用3.3.18 f x在f f 0 0 ,1f2 xx 11f2xx0證明：由 f x1可得14 0 x10ftt f 0f x xx1f t dt f 122x 22xx

22、xx002 001f xftdt1 dtf00dt xfx x,(x,2),2121 212121f xx ft1 tx ftt 1x)0 fx,(x,1 ) 1因此 2 f 2 1 1f 2,(3.3)08 01 f2 xdx 11 f2 xdx(3.4)81082將(3.3式和(3.4式相加即可以得到1 f2 xx 11 f2xx證畢ba04 ba2b2bf xgx在b0m f xM,g xdx 0 ,則以下兩個積分不等式b fxgxdxf2bg2xdxm2a g 2 xdx 及bfxgxdxba2 M m 2 f2aaabg 2 xdx 成立baM m aab證明：取hx1,由bg xd

23、x 0 及定理 2.2 知ab f 2 xdxabaf xgxbabgxfxdxbaab g 2 xbaaf xdxba0baa f x0b aaaabbb2 bb2aaababa因此baf 2xdxg2xdxa f x g2xdxa f xgxdx 0 bfbfxgxdxaaf 2xdxg2xdx1b2bg2 xdxba fbg2 xdxb由mf x可知a f x2ba2 ,b2因而b fxgxdxb2f2xdxbg2xdxm2a g 2 xdx aaaMma M m 2由于0 m f x M ,因此 f x2b化簡得 f 2 x Mm M m f x,b 22兩邊同時積分得bf2xdxaM

24、mf xdx ,aaaaa2b f2xdxa b f2xdxaaa于是aa b f 2xdx2M m24Mma f xdx則1b fxdx2bg2xdxb2baa f xbabf2xdxbbg 2 xdxbba aaab f2 xdxaa2 4Mmb f 22 M mbb g 2 xdx a2 M m2 a(3.6)aa由式(3.5)和式aaa f xgxM m f 2 xdxg2xdx證畢Cauchy-Schwarz Cauchy-Schwarz f x與gx,有時還需對積分進行適當?shù)淖冃卫梅e分中值定理積分中值定理展現(xiàn)了將積分轉化為函數(shù)值,或者是將復雜函數(shù)積分轉變?yōu)楹唵魏瘮?shù)積分的方法.其在

25、應用中最重要的作用就是將積分號去掉或者是將復雜的被積函數(shù)轉化為相比較而言較為簡單的被積函數(shù),從而使得問題能夠簡化.因此合理的利用積分中值定理能夠有效的簡化問題.下面將通過兩道例題來說明定理 3.3 （積分第一中值定理） f x) 在ab上可積且 m f (x M bu,M使af(xxuba)成立.特別地,當 f(x)在a,b上連續(xù),則存在ca,b,使bbaf(x)dxf(cba成立b3.4（積分第一中值定理的推廣） f xgx在區(qū)間f x連gx在上不變號,則在積分區(qū)間上至少存在一個點 ,使得下式成立b f f b aa積分第二中值定理的推廣）f xgx在區(qū)間f x為單調函數(shù),則在積分區(qū)間上至少

26、存在一個點 ,使得下式成立bbf fagxdx fbgxdx 3.4.1 f x在區(qū)間ab ,且0 a b 1時,有a f xdx a b f (x)dx ,其中 f x 0 0ba3.2.2 可以用積分第一中值定理來證明,下面我們將給出證明過程證明：由積分中值定理知a011 f xdx f a , a011,a；b f xx f ba,a, b；a22因為 2 f xf f ,a22即1 a fxdx1b f xdx 1 b f xdx,a0baaba0故a f xdx a b f x0b3.4.2 f x在上連續(xù)且單調增加,b xf xdx a b b f xdx a2a同樣地，在之前的證

27、明中我們給出了此題利用輔助函數(shù)法證明的過程,仔細分析觀察這道題目我們還可以發(fā)現(xiàn)它可以用積分第一、第二中值定理的推廣形式來證明,接著我們將給出此題在這兩種方法下的證明過程證法一baba b abb ab22a xf xdx2a xf xdx 2ab xf xdx 23.4 可知,分別存在 aa b a b b ,1222a b 2222aba b 22a b 使得a x 2 f xdx f 1a x dx ,b x a b f xdx f b x a b dx ,2ab 22bab2ab22 ab 2因此 ax2 f xdx8f f f 單調增加的, 且012 1,所以有f 2 f 10從而 b

28、x ab f xdx0,故原不等式成立,證畢a 2證法二證明:由定理 3.5 可知：存在 a, b,使得bxab f xdx f x abdx f b x a b dxa 2a 2 2f a f babf x單調增加及 abf f b 0 a 0 b 0 可得 bx ab f xdx0,故原不等式成立,證畢a 2通過上述兩道題目我們可以了解到積分中值定理在實際應用中起到的重要作用就是能夠使積分號去掉,或者是將復雜的被積函數(shù)轉化為相對而言較簡單的被積函數(shù),從而使問題得到簡化.因此,對于證明有關結論中包含有某個函數(shù)積分的不等式,或者是要證明的結論中含有定積分的,可以考慮采用積分中值定理,從而去掉積

29、分號,或者化簡被積函數(shù)利用積分的性質關于積分的性質在高等數(shù)學的學習中我們已經(jīng)學到了很多,我們可以利用它來證明許多問題.在這里我們主要利用定積分的比較定理和絕對值不等式等性質對問題進行分析處理例 3.5.19 設 f x在0,1上導數(shù)連續(xù),試證： x 0,1,1有f x0 fx f xx1證明：由條件知f x在上連續(xù),則必有最小值, 即存在0 0,f 0 f x,x由ftt f x f 0 f x f 0 xf t dt ,00 xx1xxf x f 0 xx0ftt f 0 0ftt f 0 0 ftdt111110 1f 0 dt0ftdt 0f tdt0 ftdt 0 f tft0 fxf

30、 xx.故原不等式成立,證畢利用泰勒公式在現(xiàn)代數(shù)學中泰勒公式有著重要的地位,它在不等式的證明、求極限以及求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值等方面有著重要的作用.關于泰勒公式的應用已經(jīng)有很多專家學者對其進行了深入的研究,下面我們將舉例說明利用泰勒公式也是證明積分不等式的一種重要方法定理 3.6(帶有拉格朗日型余項的Taylor 公式) 設函數(shù) f ( x) 在點x0 處的某鄰域內具有n 1階連續(xù)導數(shù),則對該鄰域內異于x0 的任意點x ,在x0 與x 之間至少存在一點 ,使得：f (x) f (x ) f (x )(x x ) f (x0 )(x x )2 ) (x x )n R (x)(1)0f n (x

31、0n!f (f n (x0n!02!00nR (x(x x )n1 （ 在x 與x 之間）稱為拉格朗日型余項,(1)式稱為泰勒公n(n1)!00式 3.6.110 f x ab f f b 0 xa,bb試證:bf xdx b a 312證明：對x a, b,由泰勒公式得2f a f x fxax 1 f ax2 ,a,x,2f b f x fxbx1 f bx2 ,x,b,2兩式相加得f x fxx ab 1f ax2 f bx2 ,242兩邊積分得f b fxx abx1 b f ax2 f bx2 x,a4a bb2其中b fxx abdx bxab xbb2f x dx ,a2a 2a

32、于是有b f xx 1 b f ax2 f bx2x,a8a 故b f xx Mb ax2 bx2x M ba3 證畢a8 a 例 3.6.26 設 f x在a, b上有二階導數(shù),且 f x 0 ,求證b f xdxaf aba2f x在 a b 處作泰勒展開得到2ababa bababf x f 2 f2x 22 f x2 , 2因為f x0,所以可以得到f x f ab fabx ab,222對不等式兩邊同時積分得到aab f xdx f a b b a f a b b x a b aa222222因為 bxabdx0,所以有 b f xdxaf ab證畢a 2a2通過這兩道題目我們大致可

33、以了解到當題目中出現(xiàn)被積函數(shù)在積分區(qū)間上有意義且有二階及二階以上連續(xù)導數(shù)時,是提示我們用泰勒公式證明的最明顯的特征一般情況下我們選定一個點xo ,并寫出 f x在這個點xo 處的展開公式,然后進行適當?shù)姆趴s或與介值定理相結合來解決問題利用重積分在一些積分不等式的證明中,由于被積函數(shù)的不確定,從而我們不能求出其具體的數(shù)值,這時我們可以將定積分轉換為二重積分再利用其性質來求解以下列舉了 3 種利用重積分來證明積分不等式的方法,這種技巧在高等數(shù)學中雖然不常見,但卻是很重要的,下面我們將通過 3 道例題來進一步說明直接增元法命題一11：若在區(qū)間abf (x g(xba f(xxbba g(xx b例

34、3.7.111 設 f ( x) , g(x) 在a, b上連續(xù),且滿足：xxbbbbaftt a gtt xa,baftt a gtt a f(xxag(xxxx證明：由題得aftt a gtt ,bxbxbxb從而可以得到adxa ftdt adxa gtdt,即axa ft)gtt 0b左式a dxa ft)gtdt ft)gtt (其中D (x,t)|a xb,at )Dbba dtt ft)gtdx a btft)gtbbbbbbbbft)ta gt)ta tft)ta tgt)ta tft)ta tgt)t0bbb則a ft)ta gt)t 0,即a f(x)xa g(x)xbbb

35、xx在本題中我們將一元積分不等式a f(xdx a g(xdx的兩邊同時增加一個積分變量bax 法達到證明一元積分不等式的方法.b轉換法在利用重積分來證明積分不等式的時候，我們不但可以采用直接增元法，還可以采用轉換法.關于轉換法又分為將累次積分轉換為重積分，以及將常數(shù)轉換為重積分這兩種形式.下面我們將依次來介紹這兩種方法.將累次積分轉為重積分命題二11 若 f ( x) 在a, b 上可積, g( y) 在c, d 上可積,則二元函數(shù) f (x)g( y) 在平面區(qū)域 D ( x, y) | a x b, c y d 上可積,且bdbdf(x)g(y)y Df(x)xg(y)y f(x)xg(

36、x)dx 其中 D ( x, y) | a x b, c y d例 3.7.211 設 p(x) , f ( x) , g(x) 是a, b 上的連續(xù)函數(shù),在a, b 上, p(x) 0 , f ( x) , g(x)為單調遞增函數(shù),試證：bbbba p(x)f(x)xa p(x)g(x)xa p(x)xa p(x)f(x)g(x)xbbbb證明：由ap(xf(x)xa p(x)g(x)xa p(x)xa p(xf(xg(x)x可知：bbbba p(x)xa p(x)f(x)g(x)xa p(x)f(x)xa p(xg(x)x0,bbbb令 I a p(x)dxa p(x) f (x)g(x)

37、dx a p(x) f (x)dxa p(x)g(x)dx ,下證 I 0 ；bbbI a p(x)xa p(x)f(x)g(x)xa p(x)f(x)xa p(xg(x)bbbbbba p(x)xa p(y)f(y)g(y)ya p(x)f(x)xa p(yg(y)bbbb bp(x)p(y)f(y)g(y)dxdyp(x) f (x) p( y)g y dxdyb ba aa ab bb ba a p(x)p(y)g(yf(y) f(xy(3.7)同理bbbbI a p(x)xa p(x)f(x)g(x)xa p(x)f(x)xa p(xg(x)bbba p(y)ya p(x)f(x)g(

38、x)xa p(y)f(y)ya p(xg(x)bbbb b aapyp(x)g(xf(x fyy (3.7) (3.8) 得b bb b2I a a p(x)p(yg(y)g(xf(y) f(xy,f xg(x同為單調增函數(shù),所以gy g(x) f y f (x 0又因為 p(x) 0 , p( y) 0 ,故b b2I a a p(x)p(yg(y)g(xf(y) f(xy 0,即I 0證畢將常數(shù)轉換為重積分的形式3.7.2 3.7.3 中我們將對常數(shù)轉換為重積分來進行說明我們可以發(fā)現(xiàn)有這樣一個命題,若在二重積分中被積函數(shù)f (xy k ,則可得到kd k(b a)2 D xy| a x b

39、a y bDbb3.7.3 fx在ab上連續(xù),fx0試證：ba f(x)x1 dx(ba)2f(x)bb本題與前面的例 3.1 以及例 3.2.3 是同一道題目,在這里我們將利用重積分證明此題bb證明：原題即為a f(x)x1 dy f (y)d ,D移項可得( f (x) 1)d 0 ,Df (y)2( f (x) 1)d ( f (x) 1)d ( f ( y) 1)d 0 ,Df (Df (Df(x)所以即為證( f (x) fy2)d 0fx0fy0f (x)f ( y) 2 0 Df(y)f(x)f(y)f(x)故 ( f (xf y 2)d 0 bbf (x)dx1 dx(ba)2

40、成立,證畢Df(y)f(x)aa f(x)通過以上三道例題我們可以大致了解到，在這一類定積分不等式的證明過程中我們一般先將所要證明的不等式轉化為二次積分的形式,進一步再轉換為二重積分,最后利用二重積分的性質或其計算方法得出結論.這種方法克服了數(shù)學解題過程中的高維數(shù)轉化為低維數(shù)的思維定勢,豐富了將二重積分與定積分之間互化的數(shù)學思想方法利用微分中值定理微分中值定理是數(shù)學分析中的重要的一個基本定理,它是指羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理這四種定理.關于微分中值定理的應用也是很廣泛的,證明不等式是微分中值定理最基本的應用之一.在這里我們將對利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理證明積分不等式進行研究.下面將通過兩個例子來具體說明這兩個定理在證明積分不等式中的應用,以及不同的微分中值定理在證明不等式時的區(qū)別3.