1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.認識平面向量基本定理及其意義2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算4。理解用坐標表示的平面向量共線的條件熱點題型一平面向量基本定理及其應用例1、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且AD錯誤!BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點。設錯誤!a，錯誤!b，試用a,b為基底表示向量錯誤!，錯誤!，錯誤!.剖析：錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!ba錯誤!b錯誤!ba，錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!b錯誤!錯誤!ba。錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!b錯誤!a錯誤!b?！咎岱置伢拧坑闷矫嫦蛄炕径ɡ斫鉀Q問題的一般思路(1）合理地選用基底是解題必

2、定具備的意識和能力.用基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再經(jīng)過向量的運算來解決。2)要注意運用平面幾何的一些性質(zhì)、定理來解題。熱點題型二平面向量的坐標運算學必求其心得，業(yè)必貴于專精例2、【2017課標3，理12】在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上。若AP=AB+AD，則+的最大值為A3B22C5D2【答案】A【剖析】以以下圖,成立平面直角坐標系設A0,1,B0,0,D2,1,Px,y【變式研究】已知A(2，4)，B(3，1），C(3，4）,設錯誤!a，錯誤!b，錯誤!c，且錯誤!3c，錯誤!2b。(1)求3ab3c;學必求其心得，業(yè)必貴于專精(2)求知

3、足ambnc的實數(shù)m，n；（3)求M，N的坐標及向量錯誤!的坐標。剖析：由已知得a（5,5），b(6，3），c(1，8)。1）3ab3c3（5,5)(6，3)3(1,8)(1563,15324）(6，42).2)mbnc(6mn，3m8n）（5，5），錯誤!解得錯誤!剖析:由已知得a（5，5)，b(6，3），c（1,8)。（1）3ab3c3（5，5）（6，3)3(1，8）(1563，15324）（6，42)。2)mbnc（6mn,3m8n)（5，5），錯誤!解得錯誤!【提分秘笈】向量坐標運算的方法技巧向量的坐標運算主假如利用加、減、數(shù)乘運算法例進行的.若已知有向線段兩頭點的坐標,則應先求出向量

4、的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及運算法例的正確使用?！矩灤蝗凇?已知平面向量a（1，1），b(1，1)，則向量a錯誤!b()2A(2，1）B（2，1)C(1，0）D(1,2）剖析:錯誤!a錯誤!，錯誤!b錯誤!，學必求其心得，業(yè)必貴于專精故錯誤!a錯誤!b(1，2)。答案：D熱點題型三平面向量共線的坐標表示例3【2017課標II，理12】已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則PA(PBPC)的最小是（)A。2B。3C。2D。1【答案】B43【剖析】如圖，以BC為x軸,BC的垂直均分線DA為y軸，D為坐標原點成立平面直角坐標系，則A0,3,B1,0,C1,0，設Px

5、,y，所以PAx,3y，PB1x,y,PC1x,y，所以PBPC2x,2y，PAPBPC2x22y3y2x22(y3)233,222當P0,2時，所求的最小值為3，應選B3平面內(nèi)給定三個向量a(3,2），b（1，2）,c（4，1)?；卮鹨韵聠栴}：(1）若(akc)（2ba）,求實數(shù)k;學必求其心得，業(yè)必貴于專精2)設d(x，y）知足（dc)(ab）且|dc1，求d。剖析：（1）akc(3，2）k(4，1）（34k，2k），2ba（2,4）（3，2)(5，2），34k5錯誤!。68k105k.k錯誤!?！咎岱置伢拧?依照向量共線的坐標運算求參數(shù)的值利用向量共線轉(zhuǎn)變?yōu)楹瑓?shù)的方程,解方程可求參數(shù).

6、2利用向量共線的坐標運算求三角函數(shù)值利用向量共線的坐標運算轉(zhuǎn)變?yōu)槿欠匠?再利用三角恒等變學必求其心得，業(yè)必貴于專精換求解。【貫串交融】已知梯形ABCD，其中ABCD,且DC2AB，三個極點A(1，2),B（2，1），C(4,2），則點D的坐標為_。1?！?017課標3,理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=AB+AD，則+的最大值為A3B22C5D2【答案】A【剖析】以以下圖，成立平面直角坐標系學必求其心得，業(yè)必貴于專精設A0,1,B0,0,D2,1,Px,y依照等面積公式可得圓的半徑是2，即圓的方程是x2y24525APx,y1,AB

7、0,1,AD2,0，若知足APABAD即x2，x,1y，所以xy1,設zxy1，即y1222xz0，點Px,y在圓x224上，所以圓心到直線的距y1y2252z2z3，所以z的最大值是3，即離dr，即15，解得114的最大值是3，應選A。【考點】平面向量的坐標運算；平面向量基本定理2。【2017課標II,理12】已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則PA(PBPC)的最小是()A。2B。3C。423D.1【答案】B學必求其心得，業(yè)必貴于專精【考點】平面向量的坐標運算;函數(shù)的最值3【.2017課標1,理13】已知向量a，b的夾角為60，a|=2，b|=1，則|a+2b=?！敬?/p>

8、案】23【剖析】利用以以以下圖形，能夠判斷出a2b的模長是以2為邊長的菱形對角線的長度,|a2b|2|a|24ab4|b|24421cos60412所以|a2b|1223。學必求其心得，業(yè)必貴于專精【考點】平面向量的運算.1.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足DA=DB=DC，DB=DBDC=DCDA=2,動點P,M知足APDA=1，PM=MC，則2的最大值是（)BM4349376337233（A）4（B）4(C）4（D）4【答案】B【剖析】甴已知易得ADCADBBDC120,DADBDC2.以D為原點,直線DA為x軸成立平面直角坐標系,以以下圖,則A2,0,B1,3,

9、C1,3.設Px,y,由已知AP1，得x2y21，2又PMMC,Mx1,y3,BMx1,y33,222222y332x+12y2BM4，它表示圓x21上的點x，y與點1212249,應選321,33的距離的平方的BM3314，max44B。學必求其心得，業(yè)必貴于專精【2015高考福建，理9】已知ABAC,AB1,ACt,若P點是ABCt所在平面內(nèi)一點AB4AC，則PBPC的最大值等于,且APACAB(）A13B15C19D21【答案】Ay【剖析】以A為坐標原點，成立平面直角坐標系,以以下圖，則B(1C,0)，C(0,t)，tAP（1，0)+4(0,1)=(1,4)，即P（1，4),所以PB=（

10、11，-4)，PC=（A1，t-4)，所以PBPCt114t1617(14t)，因為tt1214，所以PBPC的最大值等4t4tttPBx于13，當1t4t,即t12時取等號【2015高考湖北，理11】已知向量OAAB，|OA|3，則OA?OB?！敬鸢浮?學必求其心得，業(yè)必貴于專精【剖析】因為OAAB，|OA|3，所以OA?OBOA?(OAAB)|OA|2OA?OB|OA|2329。1（2014重慶卷)已知向量a(k，3)，b（1，4），c(2，1)，且(2a3b）c，則實數(shù)k（）A錯誤!B0C3D。錯誤!【答案】C【剖析】2a3b2(k，3）3（1，4)(2k3，6），又(2a3b）c，(2

11、k3)2(6）0，解得k3.2（2014福建卷）在以下向量組中，能夠把向量a（3，2）表示出來的是(）Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1（1，2)，e2(5，2）Ce1(3，5）,e2（6，10)e1(2,3)，e2（2，3)【答案】B【剖析】由向量共線定理，選項A，C，D中的向量組是共線向量，不能夠作為基底;而選項B中的向量組不共線，能夠作為基底，應選B。3(2014山東卷)已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n），函數(shù)f(x)ab,且yf(x）的圖像過點錯誤!和點錯誤!.（1)求m，n的值;學必求其心得，業(yè)必貴于專精(2）將yf（x)的圖像向左平移（0）個單位后獲取函數(shù)yg(

12、x)的圖像，若yg(x)圖像上各最高點到點（0，3)的距離的最小值為1，求yg（x)的單一遞加區(qū)間2）由（1)知f(x)3sin2xcos2x2sin錯誤!.由題意知,g(x)f（x）2sin錯誤!。設yg（x)的圖像上切合題意的最高點為（x0,2)由題意知，x錯誤!11，所以x00，即到點（0,3）的距離為1的最高點為（0，2)將其代入yg(x)得,sin錯誤!1。因為0，所以錯誤!.所以，g(x)2sin錯誤!2cos2x。由2k2x2k，kZ得k錯誤!xk，kZ,所以函數(shù)yg(x）的單一遞加區(qū)間為錯誤!，kZ.學必求其心得，業(yè)必貴于專精4（2014陜西卷）設0錯誤!，向量a(sin2,c

13、os),b(cos，1)，若ab，則tan_【答案】錯誤!【剖析】因為向量ab，所以sin2coscos0，又cos0,所以2sincos,故tan錯誤!。5(2014陜西卷)在直角坐標系xOy中,已知點A（1，1），B(2，3),C（3,2）,點P(x，y)在ABC三邊圍成的地區(qū)(含界線）上1）若錯誤!錯誤!錯誤!0,求|錯誤!；2）設錯誤!m錯誤!n錯誤!（m,nR），用x，y表示mn，并求mn的最大值【剖析】（1）方法一：錯誤!錯誤!錯誤!0，又錯誤!錯誤!錯誤!（1x,1y）（2x,3y）（3x,2y）(63x，63y)，錯誤!解得錯誤!即錯誤!（2，2），故錯誤!|2錯誤!.方法二：

14、錯誤!錯誤!錯誤!0，則(錯誤!錯誤!）(錯誤!錯誤!)（錯誤!錯誤!）0，錯誤!錯誤!(錯誤!錯誤!錯誤!）(2，2)，錯誤!|2錯誤!。2)錯誤!m錯誤!n錯誤!，(x，y）（m2n，2mn)，錯誤!學必求其心得，業(yè)必貴于專精兩式相減得，mnyx,令yxt，由圖知,當直線yxt過點B(2,3)時，t獲取最大值1,故mn的最大值為1。1.已知向量a=（2,4)，b=(1，1），則2a-b=（)A。(5，7)B。(5，9）C.（3，7）D。(3，9）【剖析】選A。2a-b=2(2，4)-（-1，1)=（5,7)。2.在ABC中,已知A（2，1）,B(0，2），BC=(1,2)，則向量AC=()

15、A.（0，0）B。(2，2)C。(-1，-1）D.（-3,-3)【剖析】選C。因為A(2，1），B(0，2),所以AB=(2，1).又因為BC=（1,-2）,所以AC=AB+BC=（-2，1)+(1，-2）=(-1，1).3。若向量a=（2，1)，b=(2，3)，則以下向量中與向量2a+b學必求其心得，業(yè)必貴于專精共線的是()A。（5，2)B。（4，10)C。(10，4）D.1，2)【剖析】選B。因為向量a=（2，1），b=(-2，3）,所以2a+b=(2，5）.又(4,10)=2(2，5)=2(2a+b)，所以B項與2a+b共線。4。已知a=（1，1）,b=(1,2)，c=(5，-1)，則c

16、可用a與b表示為(）A。a+bB.2a+3bC.3a2bD。2a-3b【剖析】選C。因為a=（1，1)，b=（-1,2)，c=（5,-1),所以a+b=（0，3）c，2a+3b=2(1，1）+3(1,2)=（-1，8)c，3a-2b=3(1，1）-2(1,2）=(5，1）=c，2a3b=2(1,1)-3(1，2）=（5，4）c.應選C.5。在ABC中，點P在BC上,且BP=2PC，點Q是AC的中點，）若PA=(4，3）,PQ=(1，5),則BC=（A.(2,7)B。（6，21）學必求其心得，業(yè)必貴于專精C.（2，-7)D.(6，21）【剖析】選B。由條件知，PC=2PQ-PA=2(1，5）-（

17、4，3)=(-2，7)，因為BP=2PC=(-4，14),所以BC=BP+PC=(-6，21）.6。在ABC中，已知a，b,c分別為A，B,C所對的邊，S為ABC的面積，若向量p=(4，a2+b2c2），q=(1，S)知足pq，則C=()A.4B。3C。2D。347.在ABC中，點D在線段BC的延伸線上，且BC=3CD，點O在線段CD上(與點C,D不重合)，若AO=xAB+（1x）AC,則x的取值范圍是（）A。(0，1B。(0，12)3)C。(-21，0)D.(-31，0)學必求其心得，業(yè)必貴于專精【剖析】選D.如圖.依題意，設BO=，其中13，BC4則有+=+=ABAOABBOBC=+（AB

18、）=(1)+。ABACABAC31，0)，即又AO=xAB+(1x)AC，且AB，AC不共線,于是有x=1(-x的取值范圍是(-13，0).8。設e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a=e1+2e2，b=e1+e2，若e1+e2=xa+yb,則x+2y=（)A。13B。13C。1D。0【剖析】選D。因為e1+e2=xa+yb.a=e1+2e2，b=-e1+e2，所以e1+e2=x(e1+2e2)+y(-e1+e2)=(xy）e1+（2x+y)e2.由平面向量基本定理,得x-y=1，2x+y=1，x=2，3所以1y=-3.學必求其心得，業(yè)必貴于專精故x+2y=32+2(-31)=0.9。已知A（7，1)、B(1,4）,直線y=21ax與線段AB交于C，且AC=2CB，則實數(shù)a等于。【剖析】設C（x，y），則AC=(x7，y-1),CB=(1-x，4y).因為AC=2CB，所以x-7=2(1-x)，解得x=3，所以C（3，3）.y-1=2(4-y)