1、word非線性動力學(xué)復(fù)習(xí)參考1、簡述繪制相軌線的原理與其作用。解：單自由度機(jī)械系統(tǒng)的自由振動，具動力學(xué)方程的一般形式為x f (x, x) 0(1)引入新的變量y表示速度xV 二E2如此系統(tǒng)的運動狀態(tài)由位置x與速度y所表現(xiàn),x和y構(gòu)成系統(tǒng)的狀態(tài)變 量，方程(1)可寫為狀態(tài)變量的一階微分方程組：x y,y f (x, y)設(shè)狀態(tài)變量的初始條件為1=0： -NO) =二 了。(4)方程(3)的滿足初始條件(4)的解x(t)和y(t)完全確定系統(tǒng)的運 動過程。以x和y為直角坐標(biāo)建立(x,y)平面，稱為系統(tǒng)的相平面。與系統(tǒng)的運動狀態(tài)一一對應(yīng)的相平面上的點稱為系統(tǒng)的相點。 系統(tǒng)的 運動過程可以用相點在相

2、平面上的移動過程來描述。 相點移動的軌跡 稱為相軌跡。不同初始條件的相軌跡組成相軌跡族?，F(xiàn)在我們來推導(dǎo)，如何利用該微分方程組得到相軌跡族。word將方程組(1.2,3)中兩式相除，消去時間微分辦后即得到確定相軌 跡族的一階微分方程(1.2.5)給定系統(tǒng)的作用力，即函數(shù)指定以后.方程(1.2.5)確定相平面(jc.y)內(nèi)各點的向量場，構(gòu)成相軌跡族，如 圖L7所示，在上半平面內(nèi)了0即上0, 隨著時間的推移，相點從左到右移動口下半 平面內(nèi)了0,即$0,相點從右到左移動， 在橫坐標(biāo)軸上各點處有y =貝U(dW dw)-0 f8,相軌跡與橫坐標(biāo)軸正交口繪制相軌跡線的作用：相軌跡線可以幫助我們定性地了解系

3、統(tǒng)在不同初始條件下的運 動全貌。當(dāng)系統(tǒng)是強(qiáng)非線性振動的時候，近似解析法如小參數(shù)攝動 法，多尺度法不再適用，此時可以采用相軌跡法來研究。相軌跡的奇點和極限環(huán)分別對應(yīng)于系統(tǒng)的平衡狀態(tài)和周期運動 分析。奇點和極限環(huán)的類型可以判斷平衡狀態(tài)和周期運動的穩(wěn)定性, 以與受擾動后可能具有的振動特性。word6、簡述非線性單自由度保守系統(tǒng)自由振動的主要特點與其與線性系統(tǒng)的區(qū)別。X yy f (x)解：1非線性保守系統(tǒng)的動力學(xué)方程的一般形式為x f(x) X yy f (x)化為狀態(tài)方程為業(yè)二一 /(工)對應(yīng)的相軌跡微分方程為2相軌跡線在平面上，只有當(dāng)總能量大于勢能時，速度才有實 數(shù)解，而且y關(guān)于X軸對稱；3相軌

4、跡微分方程決定了相平面上的一個方向場：f(x)=0處有水平切線，y=0時，有豎直切線；當(dāng)f(x),y同時為零時，相軌線的斜率不定，稱這一點為奇點， 奇點的速度、加速度都為零，代表了平衡點，其它各點的斜率 都是確定的，稱為正常點，所以保守系統(tǒng)的相軌線在正常點是 互不相交的。4勢能函數(shù)在局部是單調(diào)函數(shù)；有孤立的極大值鞍點；有孤立 的極小值中心;5保守系統(tǒng)自由振動的周期，一般情況下隨初始條件的不同而變 化；6保守系統(tǒng)的勢能在平衡狀態(tài)處有非孤立極小值，如此平衡狀態(tài) 不穩(wěn)定；word(7)恢復(fù)力與位移不成線性比例或阻尼力與速度不成線性比例；8非線性單自由度保守系統(tǒng)自由振動的機(jī)械能守恒。非線性系統(tǒng)與線性系

5、統(tǒng)的區(qū)別：1非線性保守系統(tǒng)振動周期隨初始條件的不同而變化；而線 性保守系統(tǒng)的振動周期與初始條件無關(guān)。(2) 線性系統(tǒng)，質(zhì)量不變、彈性力和阻尼力與運動參數(shù)成線性 關(guān)系，其數(shù)學(xué)描述為線性常系數(shù)常微分方程。而非線性系統(tǒng)不滿足此 條件。7、簡述非線性單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動特點。解：在各種近似解析方法中，諧波平衡法是最簡單明了的，其根本思想是將振動系統(tǒng)的激勵項和方程的解都展成傅里葉級數(shù)。從物理意義考慮，為保證系統(tǒng)的作用力與慣性力的各階諧波分量自相平衡， 必須令動力學(xué)方程兩端的同階諧波的系數(shù)相等，從而得到包含未知系 數(shù)的一系列代數(shù)方程，以確定待定的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。非線性單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵

6、下的強(qiáng)迫振動特點：1word弱非線性系統(tǒng)是本章討論的主要對象單自由度弱非線性系統(tǒng)的動力學(xué)方程可寫為x + ctijj- = F(z ) +八1.9)其中力(，,為非線性項是足夠小的與工，工無關(guān)的獨立參數(shù)， 稱為少參數(shù) 當(dāng)E=0時，方程2,1.9)化為線性系統(tǒng)的受迫振動方程：2自由振動的頻率隨振幅改變，而不同于線性系統(tǒng)的固有頻率；3周期解中除基頻為w的諧波以外，還有頻率為3w,5w.的高 次諧波存在，是非線性系統(tǒng)區(qū)別于線性系統(tǒng)的本質(zhì)特點；4振幅突然變化的現(xiàn)象一一突跳現(xiàn)象， 也是非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn) 象之一；5在非線性系統(tǒng)中，當(dāng)干擾力頻率在派生系統(tǒng)固有頻率附近變化 而受迫振動振幅很大時，發(fā)生主共振。

7、一定條件下還會發(fā)生超 諧共振、亞諧共振、組合共振等非主共振現(xiàn)象。8、簡述自激振動產(chǎn)生的主要原因與其特點。解：自激振動靠系統(tǒng)外的來源補充能量，但能源是恒定的，而不是周期變化的，系統(tǒng)以自己的運動狀態(tài)作為調(diào)節(jié)器， 以控制能量的輸 入。這類系統(tǒng)能自主地從定常的能源汲取能量， 調(diào)節(jié)器的作用使輸入 的能量具有交變性。當(dāng)輸入的能量與耗散的能量達(dá)到平衡時， 系統(tǒng)即可維持等幅振動。自振系統(tǒng)由三局部構(gòu)成，即：1恒定的能源；2word耗散的振動系統(tǒng)；3受系統(tǒng)運動狀態(tài)反應(yīng)的調(diào)節(jié)器自振系統(tǒng)框圖自激振動有以下特征：1振動過程中，存在能量的輸入與耗散，因此自振系統(tǒng)為非保守 系統(tǒng)。2能源恒定，能量的輸入僅受運動狀態(tài)，即振動系

8、統(tǒng)的位移和速 度的調(diào)節(jié)，因此自振系統(tǒng)不顯含時間變量，為自治系統(tǒng)。3振動的特征量，如頻率和振幅，由系統(tǒng)的物理參數(shù)確定，與初 始條件無關(guān)。4自治的線性系統(tǒng)只能產(chǎn)生衰減自由振動，無耗散時也只能產(chǎn)生 振幅由初始條件確定的等幅自由振動。因此自振系統(tǒng)必為非線性系 統(tǒng)。5自激振動的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互關(guān)系。假如 振幅偏離穩(wěn)態(tài)值時，能量的增減能促使振幅回至穩(wěn)態(tài)值， 如此自激振word動穩(wěn)定。如圖a反之，自激振動不穩(wěn)定如圖b自振系統(tǒng)能量振幅關(guān)系曲線word10.簡述非線性系統(tǒng)的分叉和混沌現(xiàn)象。解：分岔現(xiàn)象是指振動系統(tǒng)的定性行為隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變而發(fā)生質(zhì)的變化，它起源于力學(xué)失穩(wěn)現(xiàn)象的研究。突然變化，

9、則稱這種變化為分岔.因此可招分岔的定義敘述為： 對于含參數(shù)的系統(tǒng)：x = /（x /I）（5.1.1 ）其中16定為狀態(tài)變量，為分岔參數(shù)，即 1，2.4中定義的分岔參 數(shù)在熱維情形的拓廣.當(dāng)參數(shù)以連續(xù)地變動時，若系統(tǒng)（5.L1）的相軌 跡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在尸曲處發(fā)生突然變化J則稱系統(tǒng)在= 處 出現(xiàn)分岔.阿稱為分岔值或臨界值二（認(rèn)J）稱為分岔點.在參量M的空 間）f中，由分岔值構(gòu)成的集合稱為分岔集:在（工產(chǎn)）的空間曖x;卻中，平衡 點和極限壞隨參數(shù)件變化的圖形稱為分岔圖，在一些應(yīng)用問題中，有時只需要研究平衡點和閉軌跡附近相軌跡的變化，即在平衡點或閉軌跡的某個鄰域中的分岔， 這類分岔問題稱 為局局部岔。

10、如果需要考慮相空間中大X圍的分岔性態(tài)，如此稱為全word局分岔。顯然，系統(tǒng)的“局部和“全局性質(zhì)是密切相關(guān)的，局局 部岔本身也是全局分岔研究的重要內(nèi)容。如果只研究平衡點個數(shù)和穩(wěn)定性隨參數(shù)的變化，如此稱為靜態(tài)分岔，動態(tài)分岔是指靜態(tài)分岔之外的分岔現(xiàn)象.分岔現(xiàn)象的研究主要可以概括為四個方面。1確定分岔集，即 建立分岔的必要條件和充分條件；2分析分岔的定性性態(tài)，即出現(xiàn) 分岔時系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)隨參數(shù)變化情況3計算分岔解，尤其是平衡 點和極限環(huán)4考察不同分岔的相互作用，以與分岔與混沌等其它 動力學(xué)現(xiàn)象的關(guān)系.分岔理論的重要方面是系統(tǒng)的降維，即將原來需要研究的高維系 統(tǒng)轉(zhuǎn)化為較低維數(shù)的系統(tǒng)而保持分岔特性不變。李雅

11、普諾夫施密特約 化簡稱LS約化是將高維非線性系統(tǒng)平衡點分岔問題等效地簡化 為低維系統(tǒng)問題的一種方法。中心流形方法是非線性系統(tǒng)理論的重要內(nèi)容。 中心流形是線性系 統(tǒng)的中心子空間概念在非線性系統(tǒng)中的推廣。 在高維非線性系統(tǒng)非雙 曲平衡點的鄰域內(nèi)，存在一類維數(shù)較低的局部不變流形，當(dāng)系統(tǒng)的相 軌跡在此流形上時可能存在分岔， 而在該流形之外，動力學(xué)行為非常 簡單，例如以指數(shù)方式被吸引到該流形。word分岔理論的另一重要問題是降維以后所得到系統(tǒng)的簡化， 在保持 分岔特性的前提下盡可能轉(zhuǎn)化為較為簡單和規(guī) X的形式。在分岔理論 中系統(tǒng)的簡化主要有兩種方法即龐加萊-伯克霍夫X式和奇異性理 論。在分岔研究中，一般

12、只考慮參數(shù)在分岔值附近時系統(tǒng)定性性態(tài)的 變化。然而，在分岔參數(shù)的整個變化 X圍內(nèi)，系統(tǒng)可能在不同的分岔 值處相繼地出現(xiàn)分岔。這種相繼地分岔對于研究系統(tǒng)隨參數(shù)演變的全 局過程起重要作用。分岔理論的研究不僅揭示了系統(tǒng)的各種運動狀態(tài)之間的相互聯(lián) 系和轉(zhuǎn)化，而且與混沌密切相關(guān)，成為非線性動力學(xué)的重要組成局部線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)存在許多本質(zhì)差異， 非線性振動系統(tǒng)中的 混沌稱為混沌振動，也簡稱為混沌。混沌振動是非線性系統(tǒng)特有的一種振動形式，是產(chǎn)生于確定性系 統(tǒng)的敏感依賴于初始條件的往復(fù)性非周期運動，類似于隨機(jī)振動而具有長期不可預(yù)測性?；煦缯駝拥耐鶑?fù)非周期特性可以利用相平面圖的幾何方法表示出來。周期運動每隔

13、一個周期就要重復(fù)以前的運動，即存在常數(shù)T滿足wordX()= X(f+ T)故周期運動的相軌跡曲線x(t) = x(t + T)是閉曲線?；煦绮痪哂兄芷谛?，因而混沌振動的相軌跡曲線是不封閉 的曲線，而運動的往復(fù)性如此反映在相軌跡曲線局限于一有界區(qū)域 內(nèi)，不會發(fā)散到無窮遠(yuǎn)倍周期分岔是一種廣泛存在的產(chǎn)生混沌振動的典型途徑.設(shè)系統(tǒng)有 參戟只考慮里參數(shù)并不失一般性當(dāng)系統(tǒng)有多個參數(shù)時，可以設(shè)定其 余參款而僅讓其中一個變化,如果件=%時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動有周期T. 隨著變化到=尸01瑁態(tài)振動變?yōu)橹芷?T,這種運動性質(zhì)的突然改 變即是倍周期分岔一般地,* =分時稿態(tài)振動的周期為2rT,財產(chǎn)二 為”時.穩(wěn)態(tài)振動變

14、為周期/ + 1T-由于周期不斷加倍，最后變?yōu)橹芷?京窮大的運動，也就是非周期運動一隊龐加菜映射可觀察到力個點變?yōu)?2個點,2個點變?yōu)?個點，等等，隨著倍周期分岔的不斷出現(xiàn)，最終變?yōu)?無窮點集,周期運動相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為混沌運動：值得注意的是，倍周期分叉 值四所構(gòu)成無窮序列|小的差商極限：3 = lim / f61.1)月*+1 產(chǎn)m是一個常數(shù).而且?guī)最惒煌南到y(tǒng)可能有相同的常數(shù).因此被稱為普適常 數(shù)普適常數(shù)的存在反映了倍周期分岔產(chǎn)生混沌途徑的特點.借周期分 岔產(chǎn)生混沌這一途徑是19的年由費根鮑陽(F.J.FcigmWum)對映射的 研究所發(fā)現(xiàn)，并引起人們廣泛注受.隨著對混沌研究的深入，可以從不同的角度對混沌概念進(jìn)展拓廣:word前述混沌概念是針對非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運動而言，但一些非線性系統(tǒng)可能具有很長的過渡性動力學(xué)行為，最后呈現(xiàn)周期性的穩(wěn)態(tài)運 動。這種相當(dāng)長的過渡過程假如為具有初態(tài)敏感性的往復(fù)非周期運 動，可稱為暫態(tài)混沌。在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)運動之前，暫態(tài)混沌與真正的混沌極難區(qū)分。 彈 性