1、第3講空間角專題二立體幾何板塊三專題突破核心考點(diǎn)考情考向分析以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點(diǎn)，熱點(diǎn)為異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角的求解，向量法作為傳統(tǒng)幾何法的補(bǔ)充，為考生答題提供新的工具熱點(diǎn)分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一異面直線所成的角(1)幾何法：按定義作出異面直線所成的角(即找平行線)，解三角形解析答案解析方法一如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個相同的長方體ABBAA1B1B1A1.連接B1B，由長方體性質(zhì)可知，B1BAD1，所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角.連接DB，故選C.方法二如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分

2、別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.(2)(2018浙江省杭州二中月考)已知異面直線a，b所成的角為50，過空間一定點(diǎn)P最多可作n條直線與直線a，b均成角，則下列判斷不正確的是A.當(dāng)65時，n3 B.當(dāng)n1時，只能為25C.當(dāng)30時，n2 D.當(dāng)75時，n4解析答案解析將空間直線平移，異面直線的夾角不變，則可將異面直線a，b平移到同一平面內(nèi)，使得點(diǎn)P為平移后的直線a，b的交點(diǎn)，則當(dāng)025時，n0；當(dāng)25時，n1，此時該直線為直線a，b所成銳角的角平分線所在的直線；當(dāng)2565時，n2，此時這兩條直線在平面內(nèi)的投影為直線a，b所成銳角的角平分線所在的直線；當(dāng)65

3、時，n3，此時其中兩條直線在平面內(nèi)的投影為直線a，b所成銳角的角平分線所在的直線，另一條直線為直線a，b所成鈍角的角平分線所在的直線；當(dāng)6590時，n4，此時其中兩條直線在平面內(nèi)的投影為直線a，b所成銳角的角平分線所在的直線，另外兩條直線在平面內(nèi)的投影為直線a，b所成鈍角的角平分線所在的直線；當(dāng)90時，n1，此時直線為過點(diǎn)P且與平面垂直的直線.綜上所述，B選項(xiàng)的說法錯誤，故選B.(1)運(yùn)用幾何法求異面直線所成的角一般是按找證求的步驟進(jìn)行.(2) 兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角，即cos |cos |.思維升華跟蹤演練1(2018浙江省衢州二中模擬)如圖，已知等腰三角形ABC中

4、，ABAC，O為BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在線段OB上(不含端點(diǎn))，記APC，現(xiàn)將APC沿AP折起至APC，記異面直線BC與AP所成的角為，則下列結(jié)論一定成立的是解析答案所以cos cos ，熱點(diǎn)二直線與平面所成的角(1)幾何法：按定義作出直線與平面所成的角(即找到斜線在平面內(nèi)的投影)，解三角形.例2(2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)在如圖所示的幾何體中，平面DAE平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，四邊形DCFE為菱形.已知ABCD，ABC60，CD 1. (1)線段AC上是否存在一點(diǎn)N，使得AE平面FDN？證明你的結(jié)論；解答解在線段AC上存在點(diǎn)N，使得AE平面FDN，且N是AC的中點(diǎn).如圖，取A

5、C的中點(diǎn)N，連接NF，DN，連接EC交DF于點(diǎn)O，連接ON.四邊形CDEF為菱形，O為EC的中點(diǎn).在ACE中，由中位線定理可得ONAE.ON平面FDN，AE平面FDN，AE平面FDN，在線段AC上存在點(diǎn)N，使得AE平面FDN，且N是AC的中點(diǎn).(2)若線段FC在平面ABCD上的投影長度為 求直線AC與平面ADF所成角的正弦值.解答解方法一DECF，DE在平面ABCD上的投影長度為過點(diǎn)E作EOAD于點(diǎn)O，平面DAE平面ABCD，且平面DAE平面ABCDAD，EO平面DAE，EO平面ABCD，則OD在等腰梯形ABCD中，由已知易得ADBC1，點(diǎn)O為線段AD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)C到平面FDA的距離為h，VC

6、FDAVFADC，hSFDAEOSADC，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，取CM的中點(diǎn)P，連接AP，DP，F(xiàn)P，OP.O，P分別為AD，MC的中點(diǎn)，AMDCEF，且AMDCEF，OPEF且OPEF，四邊形OPFE為平行四邊形，OEFP，OEFP，F(xiàn)P平面ABCD.DF2AD2AF2，ADF為直角三角形，設(shè)直線AC與平面FDA所成的角為，方法二DECF，DE在平面ABCD上的投影長度為過點(diǎn)E作EOAD于點(diǎn)O，平面DAE平面ABCD，且平面DAE平面ABCDAD，EO平面DAE. EO平面ABCD，則OD在等腰梯形ABCD中，由已知易得ADBC1.點(diǎn)O為線段AD的中點(diǎn).以O(shè)為原點(diǎn)，OE所在直線為z軸，過

7、O且平行于DC的直線為y軸，過O且垂直于yOz平面的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得x軸在平面ABCD內(nèi).設(shè)平面ADF的法向量為n(x，y，z)，令x1，得平面ADF的一個法向量為若直線AC與平面ADF所成的角為，(1)運(yùn)用幾何法求直線與平面所成的角一般是按找證求的步驟進(jìn)行.(2)直線和平面所成角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，注意所求角和兩向量夾角間的關(guān)系.思維升華跟蹤演練2(2018杭州質(zhì)檢)如圖，在等腰三角形ABC中，ABAC，A120，M為線段BC的中點(diǎn)，D為線段BC上一點(diǎn)，且BDBA，沿直線AD將ADC翻折至ADC，使ACBD.證明(1)證明：平面AMC平

8、面ABD；證明因?yàn)锳BC為等腰三角形，M為BC的中點(diǎn)，所以AMBD，又因?yàn)锳CBD，AMACA，AM，AC平面AMC，所以BD平面AMC，因?yàn)锽D平面ABD，所以平面AMC平面ABD.(2)求直線CD與平面ABD所成的角的正弦值.解答解在平面ACM中，過C作CFAM交直線AM于點(diǎn)F，連接FD.由(1)知，平面AMC平面ABD，又平面AMC平面ABDAM，CF平面AMC，所以CF平面ABD.所以CDF為直線CD與平面ABD所成的角.設(shè)AFx，在RtCFA和RtCFM中，AC2AF2MC2MF2，熱點(diǎn)三二面角二面角有兩種求法：幾何法：利用定義作出二面角的平面角，然后計算.向量法：利用兩平面的法向量

9、.設(shè)平面，的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)，設(shè)二面角a的平面角為(0)，例3如圖，在矩形ABCD中，AB2，AD4，點(diǎn)E在線段AD上且AE3，現(xiàn)分別沿BE，CE所在的直線將ABE，DCE翻折，使得點(diǎn)D落在線段AE上，則此時二面角DECB的余弦值為解析答案解析如圖1所示，連接BD，設(shè)其與CE的交點(diǎn)為H，由題意易知BDCE.翻折后如圖2所示，連接BD，則在圖2中，BHD即為二面角DECB的平面角，圖1圖2(1)構(gòu)造二面角的平面角的方法(幾何法)：根據(jù)定義；利用二面角的棱的垂面；利用兩同底等腰三角形底邊上的兩條中線等.(2)向量法：根據(jù)兩平面的法向量.思維升華跟蹤演練3(2

10、018紹興質(zhì)檢)已知四面體SABC中，二面角BSAC，ASBC，ASCB的平面角的大小分別為，則解析答案解析設(shè)三棱錐的頂點(diǎn)S距離底面ABC無窮遠(yuǎn)，則三棱錐SABC近似為以ABC為底面的三棱柱，此時二面角的平面角，等于三角形ABC的三個內(nèi)角；若頂點(diǎn)S與底面ABC的距離趨向于0，則三棱錐SABC近似壓縮為四頂點(diǎn)共面，則當(dāng)S為ABC內(nèi)一點(diǎn)時，二面角的平面角，的大小都為，因此(，3)，故選C.真題押題精練真題體驗(yàn)1.(2017全國)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60角時，AB與b成3

11、0角；當(dāng)直線AB與a成60角時，AB與b成60角；直線AB與a所成角的最小值為45；直線AB與a所成角的最大值為60.其中正確的是_.(填寫所有正確結(jié)論的編號)解析答案解析依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長為1.由題意知，點(diǎn)B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓.設(shè)直線a的方向向量為a(0，1，0)，直線b的方向向量為b(1，0，0)，則B(cos ，sin ，0)，設(shè)直線AB與a所成的角為，4590，正確，錯誤；設(shè)直線AB與b所成的角為，當(dāng)直線AB與a的夾角為60，即60時，4590，60，即直線AB與b的夾角為60.正確，錯誤.2.(2017

12、浙江改編)如圖，已知正四面體DABC(所有棱長均相等的三棱錐)，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，APPB， 分別記二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角為，則，的大小關(guān)系為_.解析答案解析如圖，作出點(diǎn)D在底面ABC上的射影O，過點(diǎn)O分別作PR，PQ，QR的垂線OE，OF，OG，連接DE，DF，DG，則DEO，DFO，DGO.由圖可知，它們的對邊都是DO，只需比較EO，F(xiàn)O，GO的大小即可. 如圖，在AB邊上取點(diǎn)P，使AP2PB，連接OQ，OR，則O為QRP的中心.設(shè)點(diǎn)O到QRP三邊的距離為a，則OGa，OFOQsinOQFORsinORPa，OFOGOE，.證明3.(2018浙江)

13、如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)證明：AB1平面A1B1C1；證明方法一由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，故AB1A1B1.由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，故AB1B1C1.又因?yàn)锳1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，因此AB1平面A1B1C1.方法二如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.又A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1，所以AB1平面A1B1C1

14、.解答(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.解方法一如圖，過點(diǎn)C1作C1DA1B1，交直線A1B1于點(diǎn)D，連接AD.由AB1平面A1B1C1，得平面A1B1C1平面ABB1.由C1DA1B1，平面A1B1C1平面ABB1A1B1，C1D平面A1B1C1，得C1D平面ABB1.所以C1AD即是直線AC1與平面ABB1所成的角.方法二設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為.設(shè)平面ABB1的一個法向量為n(x，y，z).押題預(yù)測如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，SA底面ABCD，E，F(xiàn)分別為線段AB，SD的中點(diǎn).押題依據(jù)定義法求直線與平面所成的角的關(guān)鍵是利用直線與平面所成

15、角的定義去構(gòu)造一個直角三角形，通過解三角形的知識求角.方法一求解第(2)問的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，證明AFE為直線EF與平面SCD所成角的余角.證明押題依據(jù)(1)證明：EF平面SBC；證明方法一如圖，過點(diǎn)E作EGSB，交SA于點(diǎn)G，連接GF.因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以G為SA的中點(diǎn)，又F為SD的中點(diǎn)，所以GFAD，所以GFBC，又BC平面SBC，GF平面SBC，所以GF平面SBC.因?yàn)镚ESB，SB平面SBC，GE平面SBC，所以GE平面SBC，又GEGFG，GE，GF平面GEF，所以平面GEF平面SBC，又EF平面GEF，所以EF平面SBC. 方法二取SC的中點(diǎn)H，連接FH，BH，因?yàn)镕是SD的中

16、點(diǎn)，又CDAB，CDAB，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以FHBE，F(xiàn)HBE，所以四邊形EFHB是平行四邊形，所以EFBH，又BH平面SBC，EF平面SBC，所以EF平面SBC.解答(2)設(shè)SAAD2AB，試求直線EF與平面SCD所成角的正弦值.解方法一如圖，連接AF.因?yàn)镾AAD，SAAD，所以AFSD.因?yàn)镾A平面ABCD，所以SACD.因?yàn)锳DCD，SAADA，SA，AD平面SAD，所以CD平面SAD，因?yàn)锳F平面SAD，所以CDAF， 又SDCDD，SD，CD平面SCD，所以AF平面SCD.所以AFE即為直線EF與平面SCD所成角的余角.令SAAD2AB4， 設(shè)直線EF與平面SCD所成的角為，方

17、法二因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，SA底面ABCD，所以直線AB，AD，AS兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)SAAD2AB4，則S(0，0，4)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，E(1，0，0)，F(xiàn)(0，2，2).設(shè)平面SCD的法向量為a(x，y，z)，取y1，所以a(0，1，1)是平面SCD的一個法向量.設(shè)直線EF與平面SCD所成的角為，編后語有的同學(xué)聽課時容易走神，常常聽著聽著心思就不知道溜到哪里去了；有的學(xué)生，雖然留心聽講，卻常?！案簧喜椒ァ保季S落后在老師的講解后。這兩種情況都不能達(dá)到理想的聽課效果。聽

18、課最重要的是緊跟老師的思路，否則，教師講得再好，新知識也無法接受。如何跟上老師飯思路呢？以下的聽課方法值得同學(xué)們學(xué)習(xí)： 一、“超前思考，比較聽課” 什么叫“超前思考，比較聽課”？簡單地說，就是同學(xué)們在上課的時候不僅要跟著老師的思路走，還要力爭走在老師思路的前面，用自己的思路和老師的思路進(jìn)行對比，從而發(fā)現(xiàn)不同之處，優(yōu)化思維。 比如在講林沖棒打洪教頭一文，老師會提出一些問題，如林沖當(dāng)時為什么要戴著枷鎖？林沖、洪教頭是什么關(guān)系？林沖為什么要棒打洪教頭？ 老師沒提了一個問題，同學(xué)們就應(yīng)當(dāng)立即主動地去思考，積極地尋找答案，然后和老師的解答進(jìn)行比較。通過超前思考，可以把注意力集中在對這些“難點(diǎn)”的理解上，保證“好鋼用在刀刃上”，從而避免了沒有重點(diǎn)的泛泛而聽。通過將自己的思考跟老師的講解做比較，還可以發(fā)現(xiàn)自己對新知識理解的不妥之處，及時消除知識的“隱患”。 二、同步聽課法 有些同學(xué)在聽課的過程中常碰到這樣的問題，比如老師講到一道很難的題目時，同學(xué)們聽課的思路就“卡殼“了，無法再跟上老師的思路。這時候該怎么辦呢？ 如果“卡殼”的內(nèi)容是老師