1、相似矩陣及二次型04相似矩陣及二次型04目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6方陣的特征值與特征向量相似矩陣實(shí)對稱矩陣的相似對角化二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與正定矩陣向量的內(nèi)積、長度及正交性目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6方目錄/Contents4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性一、向量的內(nèi)積、長度二、正交向量組三、施密特正交化過程四、正交矩陣目錄/Contents4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性一、向量一、向量的內(nèi)積、長度一、向量的內(nèi)積、長度一、向量的內(nèi)積、長度證明一、向量的內(nèi)積、長度證明一、向量的內(nèi)積、長度一、向量的內(nèi)積、長度二、正交向量組二、正交向

2、量組定理 1二、正交向量組定理 1二、正交向量組二、正交向量組解二、正交向量組解二、正交向量組二、正交向量組三、施密特正交化過程三、施密特正交化過程三、施密特正交化過程解三、施密特正交化過程解三、施密特正交化過程解例3三、施密特正交化過程解例3四、正交矩陣證明123四、正交矩陣證明123四、正交矩陣四、正交矩陣四、正交矩陣證明例4四、正交矩陣證明例4目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的內(nèi)積、長度及正交性相似矩陣實(shí)對稱矩陣的相似對角化二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與正定矩陣方陣的特征值與特征向量目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向目錄/Conten

3、ts4.2方陣的特征值與特征向量一、方陣的特征值與特征向量的 概念及其求法二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)目錄/Contents4.2方陣的特征值與特征向量一、方陣的定 義設(shè) 是 階矩陣, 如果數(shù) 和 維非零列向量 使關(guān)系式那么數(shù) 稱為矩陣 的特征值，非零向量 稱為 的對應(yīng)于特征值 的特征向量.例如，矩陣，則有所以數(shù)3是矩陣 的特征值， 是 的對應(yīng)于特征值3的特征向量.成立，一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法定 義設(shè) 是 階矩陣, 如果數(shù) 可見， 是 個(gè)未知數(shù) 個(gè)方程的齊次線性方程組 的非零解. 假設(shè)矩陣 有特征值 ，對應(yīng)于特征值 的特征向量為 ，則有 . 一個(gè)任意給定的 階矩陣 會(huì)有多

4、少個(gè)特征值？ 對應(yīng)的特征向量又該如何求呢？而方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零，即將 改寫成一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法 可見， 是 個(gè)未知數(shù) 記 則 是 的 次多項(xiàng)式，稱為矩陣 的特征多項(xiàng)式. 從而公式 可以寫成 ，這是以 為未知數(shù)的一元 次方程，稱為 的特征方程，而 的特征值就是特征方程的根. 我們知道，一元 次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有 個(gè)根 (重根按重?cái)?shù)計(jì)算). 因此， 階矩陣 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有 個(gè)特征值，通過解矩陣 的特征方程就可以得到這 個(gè)特征值.一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法記 則 是 的 次那么 便是 的對應(yīng)于特征值 的特征向量. 若 為復(fù)數(shù)，則 可取

5、復(fù)向量.）例 1求矩陣的特征值和特征向量.可求得非零解 ，設(shè) 為矩陣 的一個(gè)特征值，則由方程 （若 為實(shí)數(shù)，則 可取實(shí)向量；一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法那么 便是 的對應(yīng)于特征值 的解矩陣 的特征多項(xiàng)式為所以 的全部特征值為,由此例可知，對角矩陣的全部特征值就是它的對角線上的元素.一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法解矩陣 的特征多項(xiàng)式為所以 的全部特征值當(dāng) 時(shí)，解方程 ，得基礎(chǔ)解系于是 是對應(yīng)于特征值 的全部特征向量.由當(dāng) 時(shí)，解方程 ，得基礎(chǔ)解系由于是 是對應(yīng)于特征值 的全部特征向量.一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法當(dāng) 時(shí)，解方程 當(dāng) 時(shí)，解方程 ，得基礎(chǔ)解系于是

6、是對應(yīng)于特征值 的全部特征向量.由一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法當(dāng) 時(shí)，解方程 例 2求矩陣的特征值和特征向量的特征多項(xiàng)式為所以 的全部特征值為解一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法例 2求矩陣的特征值和特征向量的特征多項(xiàng)式為所以 的當(dāng) 時(shí)，解方程 ，得基礎(chǔ)解系對應(yīng)于 的全部特征向量為 （常數(shù) ）.由當(dāng) 時(shí)，解方程 ，得基礎(chǔ)解系由對應(yīng)于 的全部特征向量為 （常數(shù) ）.一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法當(dāng) 時(shí)，解方程 一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法例3解一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法例3解一、方陣的特征值與特征向量的概念及其求法一、方陣的特征值與特征向量的

7、概念及其求法設(shè) 階矩陣 的特征值為 ，則(i) (ii) 由此可見， 階方陣 可逆的充分必要條件是 的特征值全不為零.性質(zhì)1二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)設(shè) 階矩陣 的特征值為若 是方陣 的特征值， 為對應(yīng)于特征值 的特征向量，則性質(zhì)2若矩陣 的多項(xiàng)式是 ， 則方 陣 的特征值是 （其中 是關(guān)于 的多項(xiàng)式），對應(yīng)于特征值 的特征向量是 .04OPTION 是方陣 的特征值（ 為非負(fù)整數(shù)），對應(yīng)于特征值 的特征向量是 ；01OPTION 是方陣 的特征值（ 為任意常數(shù)），對應(yīng)于特征值 的特征向量是 ；02OPTION當(dāng) 可逆時(shí), 是方陣 的特征值，對應(yīng)于特征值 的特征向量是 ；03OPTION

8、二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)若 是方陣 的特征值， 為對應(yīng)于特證所以 是方陣 的特征值，對應(yīng)于特征值 的特征向量是 .因 是方陣 的特征值， 為對應(yīng)于特征值 的特征向量，故有 . 于是所以 是方陣 的特征值，對應(yīng)于特征值 的特征向量是 .(i) (ii) 二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)證所以 是方陣 的特征值，對應(yīng)于特征(iii) 當(dāng) 可逆時(shí)，特征值均不為零，于是所以 是方陣 的特征值，對應(yīng)于特征值 的特征向量是 .由(i)可知，所以方陣 的特征值是 ，對應(yīng)于特征值 的特征向量是 .(iii) 二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)(iii) 當(dāng) 可逆時(shí)，特征值均不為零，于是所以 設(shè)3階矩陣的

9、特征值為 ，求 的特征值.因 的特征值全不為0，知 可逆，故 . 這里， 雖不是矩陣多項(xiàng)式，但也具有矩陣多項(xiàng)式的特性，從而可利用性質(zhì)2(iv)來由 得 的特征值為例 4解而 ，記計(jì)算 的特征值. 二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)設(shè)3階矩陣的特征值為 ，求 如果 與 是方陣 的同一特征值 所對應(yīng)的特征向量，則 ( 、 不同時(shí)為零)也是特征值 所對應(yīng)的特征向量.由，得所以 ( 、 不同時(shí)為零)也是特征值 所對應(yīng)的特征向量.性質(zhì)3證明二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)如果 與 是方陣 的同一設(shè) 是方陣 的 個(gè)互不相同的特征值， 是依次與之對應(yīng)的特征向量，則 線性無關(guān).設(shè) 和 是矩陣 的兩個(gè)不同的特征值

10、， 和 是分別對應(yīng)于 和 的線性無關(guān)的特征向量，則線性無關(guān). 性質(zhì)4性質(zhì)5二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)設(shè) 二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)證明二、方陣的特征值與特征向量的性質(zhì)證明目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的內(nèi)積、長度及正交性方陣的特征值與特征向量實(shí)對稱矩陣的相似對角化二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與正定矩陣相似矩陣目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向目錄/Contents4.3相似矩陣一、方陣相似的定義與性質(zhì)二、方陣的相似對角化目錄/Contents4.3相似矩陣一、方陣相似的定義與性質(zhì)一、方陣相似的定義與性質(zhì)一、方陣相似的定義與性質(zhì)

11、定理 1一、方陣相似的定義與性質(zhì)證明定理 1一、方陣相似的定義與性質(zhì)證明一、方陣相似的定義與性質(zhì)一、方陣相似的定義與性質(zhì)一、方陣相似的定義與性質(zhì)一、方陣相似的定義與性質(zhì)把矩陣 列分塊為由 ，得 ，即于是有可見 為 的特征值，而 的列向量 就是 對應(yīng)于特征值 的特征向量. 二、方陣的相似對角化把矩陣 列分塊為由 反之，如果 階矩陣 恰好有 個(gè)特征向量，則這 個(gè)特征向量即可構(gòu)成矩陣 , 由上面的討論即有： 推論定理2并且這 個(gè)特征向量必定是線性無關(guān)的，從而 可逆，因此有 . 使得 . 階矩陣 與對角陣相似(即 能對角化)的充分必要條件是 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 如果 階矩陣 的 個(gè)特征值互不相

12、等， 則 與對角陣相似.二、方陣的相似對角化 反之，如果 階矩陣 恰好例 1解設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，求 與 應(yīng)滿足的條件.因?yàn)榫仃?是3階矩陣，又有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以 可以相似對角化. 由二、方陣的相似對角化例 1解設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，求 與 故對應(yīng)重根 應(yīng)有2個(gè)對應(yīng)單根 ，可求得線性無關(guān)的特征向量恰好有1 個(gè)， 由 可知，要使系數(shù)矩陣 的秩 ，必須 .得到 的特征值為線性無關(guān)的特征向量，亦即系數(shù)矩陣的秩 .有 2個(gè)線性無關(guān)的解，即方程 二、方陣的相似對角化故對應(yīng)重根 應(yīng)有2個(gè)對目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的內(nèi)積、長度及正交性方陣的特征

13、值與特征向量相似矩陣二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與正定矩陣實(shí)對稱矩陣的相似對角化目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向目錄/Contents4.4實(shí)對稱矩陣的相似對角化一、實(shí)對稱矩陣的特征值和 特征向量的性質(zhì)二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化目錄/Contents4.4實(shí)對稱矩陣的相似對角化一、實(shí)對稱一、實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1一、實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1一、實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)一、實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)一、實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)一、實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似

14、對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化例1解二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化例1解二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化例2解二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化例2解二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的內(nèi)積、長度及正交性方陣的特征值與特征向量相似矩陣實(shí)對稱矩陣的相似對角化正定二次型與正定矩陣二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形目錄/Contents4.14.24

15、.34.44.54.6向目錄/Contents4.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形目錄/Contents4.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其標(biāo)一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

16、二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例1解二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例1解二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形目錄/Contents4.14.24.34.44.54.6向量的內(nèi)積、長度及正交性方陣的特征值與特征向量相似矩陣實(shí)對稱矩陣的相似對角化二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型與